函数零点问题典例含答案

1、函数零点问题典例(含答案)11、(1)求函数f(x) = 2x吩一2的零点；(2)已知a,b是实数，1和一1是函数f(x) = x3+ax2+bx的两个极值点.求实数a和b的值；设函数g(x)的与函数g' (x)=f(x)+2,求函数g(x)的极值点.2、(1)判断函数f(x) = 2xlg(x+1)的零点个数；e2(2)已知函数 f(x)=-x2+2ex+11, g(x) = x+-(x>0).x ''若函数g(x) m有零点，求实数m的取值范围；确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x) f(x)=0有两个相 异实根3、已知函数f(x)=2x+ln(1x)

2、,讨论函数f(x)在定义域内的零点个数.4、已知函数 f(x)=x2+2mx+ 2m+ 1.(1)若函数f(x)的两个零点xi, x2满足xiW(1,0), x2W(1,2),求实数m 的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)=0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值 范围,215、已知函数 f(x) = §x+2, h(x)=，k (1)设函数 F(x)=18f(x) x2h(x)2, 求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设 aW R,解关于 x 的方程 log4：3f x1 -4 =log2h(a x) log2h(4x).xln x, x>0,6、已知函数f(x)=

3、,八xln x , x<0.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程kf(x)= 1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围.1、分析 、一1(1)求函数的零点，即求方程2x下一2=0的根.(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点.极值点一定是导函数的零 占 八、【解析】人1令 2x了2=0,由2x>0,方程两边同时乘以 2x,得(2x)2 2X2x 1 = 0.由一元二次方程的求根公式，得2x= 1也.由 2x>0,知 2x=1 +/.，函数 f(x) = 2x2 的零点是 x=log2(1+V2).由题设，知 f' (

4、x)=3x2+2ax+b 且 f' (1) = 32a+b=0,f (1) = 3+2a+b = 0.解得 a=0, b = 3.由(1),得函数 f(x)=x33x.，f(x)+2=(x1)2(x+2).方程g' (x)=0的根是 x1 = x2= 1 , x3= - 2.函数g(x)的极值点只可能是1或一2.当 x< 一2 时，g' (x)<0,当一2<x<1 时，g' (x)>0,，2是极值点.又当一2<x<1或x>1时，g' (x)>0,故1不是极值点.，函数g(x)的极值点是一2.【点评】含

5、指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式.注意导数的零点的意义.2、分析(1)直接解方程f(x)=0有困难，可以作由函数 y=2-x及y=lg(x+1)的图象，还 可以用判定定理.(2)画由函数图象，结合最值与交点情况求解.【解析】(1)方法一：令 f(x)=0,得 2-x=lg(x+1),作由函数 y=2-x&y= lg(x+1)的图象(如图2161),可知有一个交点.，函数 f(x)的零点有且只有一个.方法二：首先x> 1,在区间(一1, + oo)上2一X是减函数，|g(x+1)也是减函数, ，函数f(x)在区间(一1, + o

6、o)上为减函数且连续.1 vf(O) = 2o-lg 1 = 1 >0, f(9) = 2-9-lg 10 = -1<0, .*.f(0)f(9)<0.函数f(X)在区间(一1 , +上有唯一零点.(2)x>0 5 g(x) = x + >2/e2= 2e.当且仅当x=e时取等号.，函数g(x)的值域是2e, +00 ),要使函数g(x)m有零点，则只需 m>2e.若关于x的方程g(x) f(x)= 0有两个互异的实根，即函数 g(x)与f(x)的图象 有两个不同的交点，作由g(x) = x + e(x>0)的图象(如图2162).x、3、【解析】函数

7、f(x)的定义域为x|x<1且函数f(x)在定义域内的图象是连续的.11 2xf (x) = 2 + -(x<1).1 x1 x.一1令 f(x)= 0,得 x = 2.11当 x<5时，f' (x)>0；当2vxv1 时，f' (x)<011 函数f(x)在区间一8,2内为增函数，在区间 2, 1内为减函数.f 1 ,- 一 , 一 11 当x=2时，函数 f(x)有最大值 f2 =1 + ln5=1 ln 2>0.又 f(-2)=- 4+ln 3<0,1 f( 2)f 2 <0.一，、1 一八L ，、1 一八一，函数f(x)在

8、区间一2, 2内有唯一零点，即在区间8,I内有唯一零点.又 f(1 e- 10)= 2(1 e-10)+ ln(1 - 1 + e- 10)= - 8-2e- 10v 0,1，f(1 e 10)f 2 <0.1 1函数f(x)在区间2, 1e10内有唯一的零点，即在区间 万，1内有唯一零点.，函数f(x)在区间(s, 1)内有且只有两个零点.4、【解析】f 0 =2m+1<0,(1)根据函数f(x)的图象，f -1 =2>0,f 1 =4m + 2<0, f 2 =6m + 5>0.51化间，得一6Vm< 2.5、【解析】函数 F(x)=18f(x) x2h

9、(x)2=x3+12x+ 9(x>0),，F' (x) = - 3x2+ 12.令 F' (x) = 0,得 x=2(x= 一2 舍去).当 xS (0,2)时，F' (x)>0;当 x6(2, +s)时，F' (x)<0.故当xS 0,2)时，函数F(x)为增函数；当xS 2, +8)时，函数F(x)为减函数.故x=2为函数F(x)的极大值点且 F(2) = 8+24+9=25.(2)方法一：原方程可化为10g4(x 1) = log2/a-x- log2/4-x= loga x一且4xx<a,1<x<4.当awi时，方程无

10、意义，即方程无解.当 1<aW4 时，1<x<a,由 x 1 =, 得 x26x+a +4= 0.4 x6A= 364(a+4) = 20 4a>0, x=-土 202-4a-=3 A/5-a.此时方程仅有一解 x=3 "5a.若4<a<5,则Q0,方程有两解x= 3 若a=5,则A= 0,方程有一解x=3;若a>5,则A<0,方程无解.5 a;综上，当a41或a>5时，方程无解；当1va4时，方程有一解 x=3-5a；当4<a<5时，方程有两解 x= 3 ±j5a；当a=5时，方程有一解x= 3.a - x

11、当 a>4 时，1 <x<4,由 X 1 =,得 X?6x+a+4= 0.4 xA= 36-4(a+4) = 20-4a.6、【解析】函数f(x)的定义域为(s, 0)U(0, +oo).(1)当 x>0 时，-x<0,*, f(x) = xln x, f( x) = xln x, /.f(-x)=-f(x).当 xv0 时，一x>0,f(x) = xln(x), f( x)= xln( x), /.f(-x)=-f(x). f(x)是奇函数.(2)当 x>0 时，f(x) = xln x, 1f (x) = ln x+x = In x+ 1.zx令

12、f' (x)<0,得 0c x<1.当 x6 0, 1 时，f(x)为减函数. ee令 f' (x)>0,得 x> 1;当 x6 1, +0° 时，f(x)为增函数. ee又f(x)为奇函数，当x6 1,。时，f(x)为减函数；当x6 s, 1时，f(x)为增函数. ee函数f(x)的单调减区间为 一1, 0和0, 1 , ee单调增区间为一s, 1和1，+8 (3)原方程等价于f(x)=J,考察函数f(x)的图象变化,e ek由，知当x6。，函数f(x)的图象与函数y=k的图象应有3个不同的交点.k -11.一e<k<0 或0<k<e