理学旋转矢量表示法振动合成PPT课件

1、 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAo第1页/共51页一、旋转矢量A其模为简谐振动的振幅A，绕o点逆时针转动，角速度大小 ，为谐振动角频率。 )cos(tAx第2页/共51页xoAcos0Ax 当 时0t0 x1. t=0时，矢量与x轴夹角为谐振动的初相 ， xoAtt t)cos(tAx时 tt时刻与x轴夹角为t时刻谐振动的位相)cos( tAx二、表示法 第3页/共51页2.矢量的矢端在x轴上投影点做谐振动. 3.旋转一周，投影点在x轴上作一次全振动，所用时间与谐振动的周期相同 。 2 T)cos(tAx第4页/共51页)cos( tAx4.上半周 v0第5页

2、/共51页 求求：已知：已知例例,021vAxAx 3 求求：已知：已知例例,002vx2 第6页/共51页Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa三：速度和加速度的表示第7页/共51页 （旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的 图tx第8页/共51页AAx2AtoabxAA0讨论 相位差：表示两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttat3 TTt6123v2Abt 第9页/共51页0 xto同步 2）对于两个同频率的

3、简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txo反相第10页/共51页例1 计算下列情况的初相位 (1) t=0,x= A,v=0 (2) t=0,x=0,v=-A (3) t=0,x=0,v=A(4) t=0,x=A/2,v0解 （1）x=Acos =A cos=1 v=-A sin =0 sin=0 =0 (2) x=Acos =0 cos=0 v=-A sin = -A sin=1 =/2 oAxoAxv =0(1)(2)第11页/共51页解 （3）x=Acos =0 cos=0 v=-A sin =A s

4、in=-1 = -/2 (4) x=Acos = A/2 cos=1/2 v=-A sin 0 =/ 3 =- /2 =/3xoAv(3)oA/2xv(4)例1 计算下列情况的初相位 (3) t=0,x=0,v=A(4) t=0,x=A/2,v0 sin0第13页/共51页例2： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。t=0时，位移为0.06m，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设t1时刻为物体第一次运动到x=-0.06m处， 试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为tAxcosmA12. 01222 ST 由题意知第14页/共51

5、页方法一用数学公式求 cos0Ax mA12. 0mx06. 0021cos 30sin0Av3 mtx3cos12. 0第15页/共51页方法二用旋转矢量法求 3mtx3cos12. 0 x第16页/共51页mtx3cos12. 020601Ax .1cos A 01 v 34321or 321 平衡位置02 x02 v 232 65231212 )(tt（2）设t1时刻为物体第一次运动到x=-0.06m处， 试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。方法一：第17页/共51页-AAX 32 652312 )(ttsttt65656512方法二：（2）设t1时刻为物体第一次运动到x=-0

6、.06m处， 试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。第18页/共51页4-4谐振动的合成（Superposition of Harmonic Oscillation)引：-第19页/共51页一：两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx1）三角函数法第20页/共51页221212212cos()AAAA A11221122sinsincoscosAAarctgAAtx1x2xx结论：两个同方向、同频率的谐振动合成后 仍为同频率 的谐振动

7、cos()xAt第21页/共51页11A1xx0Ax2x2A22）矢量法)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(tAx证明： 所代表的谐振动就是合振动Ax 矢量代表的谐振动的圆频率与振动 相同；A21.xx 所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振幅与初相。A第22页/共51页(1) 振幅1A2AA1YXO212 a)(coscos12 a a )cos(12 2212122cosAAAA Aa221212212cos()AAA A221212212cos()AAA A与三角函数求得的振幅相同。221212212cos()AAAA A第23页/共51页11221122sinsin

8、coscosAAarctgAA与三角函数求得的初相相同。结论： 所代表的谐振动就是合振动Ax利用矢量求合振动只要利用平行四边形法则求出各谐振动的合振动矢量即可。(2) 位相22sinA1A2AA1 2YXO22cos A11cos A11sinA2 22112211coscossinsin AAAAtg 2211coscos AA 邻邻边边2211sinsin AA 对对边边第24页/共51页xxtooA21AAA max1A2AT1 相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论合振幅最大第25页/共51页xxtoo21AAA)cos(212212221A

9、AAAAT2A21AA2 相位差) 12(12k) , 1 0( ，k合振幅最小第26页/共51页3）一般情况2121AAAAA)cos(212212221AAAAA11A1xx0Ax2x2A2第27页/共51页二、同方向的两个不同频率，但周期相差不多的 的两个谐振动的叠加:一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂性的情况tx1x2x12xxx叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大的两个谐振动的叠加第28页/共51页1111cos()xAt2222cos()xAt若有：12设12但：为简单：12AAA令，12先用函数曲线叠加：声音时大时小-“拍现象”第29页/共51页 频率较大而频率之差

10、很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.第30页/共51页定量分析：11cos()xAt22cos()xAt12xxx12cos()cos()AtAt用和差化积公式：12122cos()cos()22xAtt随时间变化很慢可看作合振动的振幅随时间变化很快可看作谐振动的部分。振动的圆频率1211222212( )2cos()2A tAt合振动的振幅第31页/共51页若振幅变化的周期为T拍122,T拍1212()22tTt拍12121/2T拍12( )2cos()2A tAt 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫

11、拍。拍频（振幅变化的频率）2)(21振动频率第32页/共51页拍现象的应用：1）较正乐器2）测量超声波频率3）接收等幅电报第33页/共51页tx1x2x12xxxtx2x1x12xxx拍现象是两个频率较高但相差不多的两个谐振动的叠加。若相差甚远，叠加后已完全不是一个谐振动。注意第34页/共51页tx1x2x12xxx012( )coscos2f taatat12sinsin2btbt傅里叶定理：任何一个周期振动都可以看成是由各种频率不同的谐振动的合成。即周期T=2/的周期振动，是由一系列简谐振动的叠加，即：第35页/共51页三：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成)(sin)cos(212212

12、21222212AAxyAyAx质点运动轨迹1） 或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao （椭圆方程） 讨论第36页/共51页yx1A2Ao2）12xAAy123）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao第37页/共51页用旋转矢量描绘振动合成图第38页/共51页3）2121222212AyAx1cos()2xAt2cosyAtxy1A2Ao第39页/共51页简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差第40页/共51页四：两相互垂直不同频率的简谐运动的合成)

13、cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201测量振动频率和相位的方法李 萨 如 图第41页/共51页例1 两个同方向、同频率的谐振动，其位移曲线如图，求（1）分别求出两个谐振动方程；2）合振动方程。0m/ cxs/t2.0-5-5-2.5解 ：cmAA5)1(21 sT4 12122 sT 0,2, 010110 vAxt123 0,2, 020220 vAxt 322 第42页/共51页)322cos(51 tx)322cos(52 txcmAAAAA534cos55255)cos(222212212221 ）（ 10arctancoscossinsinarc

14、tan22112211AAAAcmtx)2cos(5 )cos( tAx练习十第43页/共51页角频率振幅maCkxv0dddd22kxtxCtxm0dd2dd2022xtxtx一 阻尼振动)cos(tAext22022022TvCFr阻尼力mk0mC 2固有角频率阻尼系数阻力系数XoFfm第44页/共51页otx三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线AAtOx)0(220)cos(tAext0dddd22kxtxCtxm220 b）过阻尼220 a）欠阻尼220 c）临界阻尼tAeTabctAetcos第45页/共51页二 受迫振动系统在周期性外力持续作用下的振动 tx稳定后，系统的运动是谐振动 且其周期为外力的振动周期，振幅与外力频率有关。第46页/共51页三 共振tfxtxtxp2022cosdd2ddPAo共振频率0大阻尼小阻尼阻尼0220r2共振频率220r2fA共振振幅第47页/共51页共振现象的应用：天坛的回音壁黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演第48页/共51页随后在大风中因产生共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动 发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。 第49页