导数与函数的最大值与最小值

1、7%期*” 科xi wmM血 羽 列订押曲F淞矩歎中滋U、；強加 Ljixshmp F巧厂F6；峙初:菟1'»Vw ><.>( /4HHEHK'. v k： R /、 x t*X： Vx_1rw" （：4：中T空址一 -»、一、复习与引入1 当函数f(x)在X。处连续时，判别f(Xo)是极大(小)值的方 法是： 如彙在X。附近的左侧附0右侧 附0,那么,f(x°) 基祓大值； 如果在X。附近的左侧广0右侧广0，那么,f(x°) 是极小值.2导数为零的点是该点为极值点的必要条件，而不是充 分条件极值只能在函数不可

2、导的点或导数为零的点 取到.=J3在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上， 哪个值最大，哪个值最小，而不是极值.新课观察右边1个定义在区间 a,b上的函数 y=f(x)的图象.函数的最值发现图中T(xJ、f(X3)是极小值, % 是极 去眉，在区间上的函数的最大值是f(b),最小局 是一哄)。问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出也3)是最小值，而f(b)是最大值呢?在册 1黜鑑翩严那):求y=f(x)在(a, b)内的极值(极大值与极小值);:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.求函数的最值时，应注意以下几

3、点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 据勰專翥議而言是在整体范围(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值开区间(a,b)内 包可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极 值必是函数的最值.（3）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值拼且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值），但除端点 外在区间内部的最大值（或最小值），则一定是极大值 （或极小值）.如果函数不在闭区间a,b±可导，则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.（5）在解决实际应用问

4、题中,如果函数在区间内只有一个 极值点（这样的函数称为单峰函数），那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值进行比较.三、例題选讲例1:求函y=x4-2x2+5在区间卜2,2上的最大值与最小 值.解:j' = 4x3-4x令 Jr = 0,#x=-1,0,1.当X变化时的变化情况如下表：X-2(-2,-1)-1(-1 ,o)0(0,1)1(1,2)2y'0+00+y13X4754/13从上表可知，最大值是13,最小值是4例2:求函数/(兀)=最小眉.x2 + l在区间卜1,3上的最大值与解:广(兀)=5(宀2兀_1)(*+1)2令广(兀)=0,得兀1

5、 =1 一血,兀2 =1 +厲，且旺,兀2引一1,3 相应的函数值为:/(1-厲)=空返J(l+d)二上竺 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f (3)=0比较得,f(x)在点旺=1-&处取得最大值一-一； 厂7-5V2在点x2=1+72处取得最小值23延伸 1 :设Va V1,函数/(兀)=X3-ax2 +b(-l<x<l)的最 知k为1撮小眉为一总，求匍数a,b2解:令广(兀)=3兀$ -3ax = 0得x=0或a.当x变化时,f (Q ,f(x)的变化情况如下表：X-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1(X)+00+f(x)-1 -33/2+bb-a

6、3/2+b1-3a/2+b由表知，当x=0时,f(x)取得极大值b,Mf(O)>f(a),f(O)>f(-1 )J(1 )>f(-1) 故需比较山)与购)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为 f(O)=b,故 bXf(-1 )-f(a)=(a+1 尸(a2)/2 vO,所 WJ(x)的辱|、值为 f ) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以翌一也亠“也223延伸2:设p>1,0<x<1，求函数f(x)=xP+x)p的值域.说明:由于f(x)在0,1±连续可导，必有最大值与最小值， 因此求函数f(x)的值域，可

7、转化为求最值.令f （兀）=0，则得 XP-1 =（1 -x）p_1 ,即 x=1-x,x=1 /2. 而/（扣解 fr(x) = pxp1-p(l-x)pl = pxp_1-(l-x)p-1.沪 (0)=f(1 )T,因为p",故 1" /2P-1. 所以f(x)的最小值为占,最大值为1 从而函数f(x)的值域为讣r，l练习1:求函f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间卜3,4上的最 大值和最小值.答案:最大值为f=142,最小值为f=7.练习2:求函数f(x)=p2x2(1x)P(p是正数)在0畀上的最 夫值.解:f Xx) = P2x(l - x)p-1 2 -

8、 (2 + p)x.2令f =0,解得 1=02=13=-在0,1 上有 f(0)=0,f(1 )=0, /(爲)=4(总严,p 、2+P故所求最大值是4(R)应用1 实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求函数的 最大（小）值的问题建立目标函数，然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时，一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个 点使/W=o的情形，如果函数在这个点有极大（小）值, 那么不与端点值比较迪可以知道这就是最大（小）值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.X60

9、nr图 3-13例1 :在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形，再把它的边沿虚 线折起(如图)，做成一个无 盖的方底箱子，箱底边长为 多少时，箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为X,则箱高h=(60x)/2 箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令 Vx) = 60x-x2=0，麻得 X=0(舍去),X=40 且 V(40)=16000. 2由题意可知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子 的容积很小，因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大，最大容积是16000cm3.类题:圆柱形金属饮料罐的容积

10、一定时，它的高与底半径 应怎样选取，才能使所用的材料最省？解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2Trrh+2Trr2 由V=Trr2h,得h =角，则S(r) = 2r-y + 2r2 = - + 2r2.7trr2VV令S"y) = +4/zr = 0，解得了 =，从而力=-2Th 上V 2”皿in，即h=2r.由于S(r)只有一个极值，所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时，所用的材料最省.例2:如图，铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 一条公路已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5 为了使原料

11、 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处？解:尊 DA=xkm,那么V400+x2km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元这样，每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为.y=5t CD + 3/BD=5/j400 +兀彳 + 3r(100-x)(0<x<100).令=二右一3) = 0,在0兀100的范围内有V400+X2唯一解x=15所以，当x=15(km),gpD点选在距A点15千米时，总运 费最省.注:可以进一步讨论，当AB的距离大于15千米时，要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;AB之间的距离 不超过15千米时，所选D点与B点重合.

12、练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时，圆柱体的体积最大.2 与数学中其它分支的结合与应用.例1:如图，在二次函数f(x)=4xx2的图象与X轴麻围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0vxv2),则A(x, 4x-x2).从而 |AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形 ABCD 的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).2 i 2 /3 Sr(x) = 6x2-24x + 16.

13、令Sx) = O =2+-9x2 =2- “(0,2),所以当“2-爭时,S器2斤 3932/3因此当点B为(2-已-,0)时，矩形的最大面积是;. 例2:已知x,y为正实数，且x22x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由 x2-2x+4y2=0 得:(x1 )2+4y2=1 设兀=1+COS0J = |sin6>,由X,y为正实数得:0 <0<tt1 2/. xy = J1 +cos&)sin&.设/(&) = (l + cos0)sin02 广(&) = *一 sin? 0+(1+cos0) cos& = (cos0+l)(co

14、的 一 -)2 2 令广(&) = 0,得 cos& = -l,cos& = i ;又0 <0 <7r,:.0 = . y(f)=半，又f(o)=f(Ti)=o, /(&)_ = 故当时,(叽=¥i i2例3：证明不等式：lnx + (x-l)2>l + -(l-x)3(x>0). x 23证:设/(工)+ 丄_”(工_1)2 +半(工一1)'(工 >0).贝 0/r(x) (x-l) + 2(xI)2 = (xI)3,X X兀令厂二。，结合x>0得x=1而Ovx<d时/<0;x>1时f (

15、兀)> 0,所以x=1是f (x)的 极小值点.所以当x=1时,f(x)取最小值f=1从而当X>0时,f(X)>1恒成立，即：1 nx + * - * (兀一 1)2 2q星+評7)成立.五、小结1 求在a,b±连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的 最值的步骤：求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个 是小的一个是赢小值.2 求函数的最值时，应注意以下几点:(1 )要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必肴最大值与最小鹿(3)旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话，不 要忘记在步骤(2)中，要把