差分方程建模

1、第五讲第五讲 差分方程建模差分方程建模处理动态的离散型的问题处理动态的离散型的问题处理处理对象虽然涉及的变量对象虽然涉及的变量( (如时间如时间) )是连续的，是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连续模型续模型( (微分方程微分方程) )化为离散型化为离散型( (差分方程差分方程) )问题问题 5.1 银行复利问题银行复利问题5.2 抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题 5.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动5.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长5.5

2、 差分基础知识差分基础知识5.1 5.1 银行复利问题银行复利问题 背背景景所付利息一年内复合所付利息一年内复合n n次，即把一年分次，即把一年分n n个相个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾尾 .给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额 分分析析帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和款之和 任何时候都可以存款任

3、何时候都可以存款模模型型假假设设1. 储蓄的年利率为储蓄的年利率为 r2. 任何时候都可以存款，但存款利息只任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息一天的存款即开始计算利息 :)(tyt期结束时的总存款期结束时的总存款 记号:)(tx第第t t期内的新存款期内的新存款 模 型)() 1()1 ()(txtyrtyn rrnn 1)1其其中中（注：注：上式中上式中n n=2=2时，相应于半年的复利，而时，相应于半年的复利，而n=365n=365则是相应于逐日计算的复利则是相应于逐日计算的复利5.2 抵押贷款买房问

4、题抵押贷款买房问题 背背景景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性付款优惠价付款优惠价40.240.2万元。若不能一次性付款也没万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为关系，只付首期款为1515万元，其余每月万元，其余每月1977.041

5、977.04元等额偿还，元等额偿还，1515年还清。年还清。( (公积金贷款月利息为公积金贷款月利息为3.6753.675）。）。问问题题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？假假设设贷款期限内利率不变贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算银行利息按复利计算 记记号号A（元）：贷款额（本金）（元）：贷款额（本金） n（月）：货款期限（月）：货款期限r ：月利率：月利率B(元元) :月均还款额月均还款额 C Ck k：第：第k个月还款后的欠款个月还款后的欠款模模型型BCrCkk1)1(AC00nC求求解解ArrrBnn1)1()1(代入代入n=180、

6、r=0.003675、 B=1977.04结果：结果： A=260000（元）（元） 一次性优惠价一次性优惠价9.89.8折折还款总额还款总额 ？ 利息负担总额利息负担总额 ？5.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动

7、（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且

8、与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。基本模型基本模型w(k) 第第k天天(末末)体重体重c(k) 第第k天吸收热量天吸收热量)()() 1()() 1(ktwkwkckwkw千卡）千克 /(80001 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异) : 因因运动运动,每小时每千克体重消耗的热量每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡) (因运动项目而异因运动项目而异)t: 每天运动时间每天运动时间(小时小时)某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千

9、克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案

10、。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(

11、kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975

12、. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25

13、lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkw

14、nkw)()1()(3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不运动不运动)(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容同前内容同前)5.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模

15、 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2, , n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di, 存活率存活率为为si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx

16、)(),(),()(21按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)() 1(11kxbkxinii(设至少设至少1个个bi0)稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识nkk, 3 , 2,1 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1， 若若L矩阵存在矩阵存在bi, bi+10, 则则 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssss

17、x11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布*1)(limcxkxkk 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布, 与初始分布无关。与初始分布无关。 各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减， 称固有增长率称固有增长率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kx

18、kxii)() 1(kLxkx与基本模型与基本模型比较比较3） =1时时*)() 1(cxkxkx 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为11121121nnsssbsbb稳态分析稳态分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1时时*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbb

19、bL处一阶向前差分处一阶向前差分 ixxf在在)(5.5 5.5 差分基础知识差分基础知识一一 差分差分 1.1.概念概念 nhxxn 0（h h为非零实数称为步长为非零实数称为步长 ）)(nnxff iiifff 1ikikikfff111 ixxf在在)(处处k k阶向前差分阶向前差分 1 iiifffixxf在在)(处一阶向后差分处一阶向后差分 111 ikikikfffixxf在在)(处处k k阶向后差分阶向后差分 2121 iiifff ixxf在在)(处一阶中心差分处一阶中心差分 211211 ikikikfff ixxf在在)(处处k k阶中心差分阶中心差分 2. 性质性质)()

20、()()1(xvxuxf ikikikuf )(!1)(! 21)()()()() 2()(2xfhnxfhxfhxfhxfxfnn kjjmkjmkfjkf0)1()3(kmkmkff )4(2kmkmkff 二二 常微分方程化为差分方程常微分方程化为差分方程 用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程代数方程-差分方程差分方程 以二阶常微分方程边值问题为例以二阶常微分方程边值问题为例 0)()()()()(21xqdbydaybxaxfyxqyihaxnab

21、hi 令令,)(,iixyy 目的求目的求iy差分差分法法21112)(hyyyxyiiii 0)()()()( iiiixfxyxqxy210211,)2(dydyfhyyqyniiiii一般k阶常系数线性差分方程为nnkknknfyayaya 110差分方程差分方程二二 偏微分方程偏微分方程化为差分方程化为差分方程以二阶椭圆方程的边值问题为例以二阶椭圆方程的边值问题为例),(),(),(),(2222yxyxuGyxyxfyuxu用两族平行坐标轴的直线用两族平行坐标轴的直线 x xxihiy yyjjii 000 1 20 1 2,正方形网格把区域正方形网格把区域G G剖分剖分 ),(,)

22、,(),(jiijjiyxuuyxji 记记节节点点节点可分三类节点可分三类 1通过该节点的网格线上的相邻四网点都在通过该节点的网格线上的相邻四网点都在G G内内, ,记记 G12在在G内部但不属于内部但不属于G1 ，记，记G23恰在边界上记恰在边界上记G3 确定各节点处解的近似值确定各节点处解的近似值uij，需要建立代，需要建立代数方程，每一节点建立一个代数方程数方程，每一节点建立一个代数方程任务任务1),(Gji (i，j-1) (i，j+1) (i-1，j) (i，j)(i+1，j) 21,1,222,1,1221,12),(2),(),(),( jiijjijijiijjijiijjiiiijjijiuuuyyxuhuuuxyxuuuyyxuhuuxyxu偏导数近偏导数近似式替代似式替代12122112