数学（理科）高三一轮复系列《一轮复讲义》（配套PPT课件）51第八章 立体几何与空间向量 8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直（免费下载）

1、8.7立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析课时作业1基础知识 自主学习PART ONE1.两个重要向量知识梳理ZHISHISHULIZHISHISHULI直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量.显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量无数无数2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20

2、直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm01.直线的方向向量如何确定？【概念方法微思考】2.如何确定平面的法向量？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.()基础自测JICHUZICEJICHUZICE123456题组二教材改编2.P1

3、04T2设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.12345解析当v(3，2，2)时，uv(2，2，5)(3，2，2)0.当v(4，4，10)时，v2u.6123453.P111T3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.垂直612345612345ON与AM垂直.64.直线l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1，3，5)，则有A.l B.lC.l与斜交 D.l或l12345题组三易错自纠解析

4、由an知，na，则有l，故选B.6123455.已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则A. B.C.，相交但不垂直 D.以上均不对6解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直.123456.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是A.(1，1，1) B.(1，1，1)6xyz.故选C.2题型分类深度剖析PART TWO题型一利用空间向量证明平行问题师生共研师生共研例1如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的

5、中点.求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，PB 平面EFG，PB平面EFG.若本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.引申探究又EF 平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平

6、面PBC.又EFGFF，EF，GF平面EFG，平面EFG平面PBC.利用空间向量证明平行的方法思维升华线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题跟踪训练1如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.求证：MN平面BDE.由题意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0

7、，1)，N(1，2，0).设n(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，因为MN 平面BDE，所以MN平面BDE.题型二共线定理、共面定理的应用例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1平面A1BD.多维探究多维探究命题点1证明线面垂直证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，方法二取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面B

8、CC1B1，且平面ABC平面BCC1B1BC，AO平面ABC，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，故AB1平面A1BD.命题点2证明面面垂直例3如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.求证：平面BCE平面CDE.证明设ADDE2AB2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设平面CDE的法向量为n2(x2，y2，z2)，设平面BCE的法向量为n1(x1，y1，z1)，所以

9、n1n2，所以平面BCE平面CDE.利用空间向量证明垂直的方法思维升华线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；证明取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为

10、x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.PABD.(2)平面PAD平面PAB.又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.题型三利用空间向量解决探索性问题师生共研师生共研例4(2019林州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EFCD；证明如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.思维升华对于“是否存在”型问题

11、的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD ，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，PA平面ABCD.(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、

12、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，令y1，则n(1，1，2).存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点.3课时作业PART THREE12345678910111213141516基础保分练1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，1，1)，则A.l B.lC.l或l D.l与斜交解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，an0，即an，l或l.123456789101112131415162.若a(2，3，m)，b(2n，6，8)，且a，b为共线向量，则mn的值为A.7 B.C.6 D.8解得m4，n2，则mn6.故选C.3.

13、已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是A.P(2，3，3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)12345678910111213141516点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内.123456789101112131415164.如图，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1FDE，则有12345678910111213141516解析以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0

14、，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，z1，B1EEB.123456789101112131415165.设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量.若，则t等于A.3 B.4 C.5 D.6解析，uv262(4)4t0，t5.12345678910111213141516123456789101112131415167.(2018广州质检)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_.解析设平面的法向量为m(x，y，z)，m(1，1，1)，mn，mn，.123456789

15、1011121314151612345678910111213141516ABAP，ADAP，则正确；又ABADA，AP平面ABCD，123456789101112131415169.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和为_.112345678910111213141516解析以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CEx，DFy，则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1y)，B(1，1，1)，1234567891011121314151

16、612345678910111213141516证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.由题意得Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，12345678910111213141516又DQDCD，DQ，DC平面DCQ，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.1234567891011121314151611.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点.(1)证明：ACBC1；12345678910111213141516证明因为直三棱

17、柱ABCA1B1C1的底面边长分别为AC3，BC4，AB5，所以ABC为直角三角形，ACBC.所以AC，BC，C1C两两垂直.则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，4，4)，D.如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间12345678910111213141516(2)证明：AC1平面CDB1.因为DE平面CDB1，AC1 平面CDB1，所以AC1平面CDB1.1234567891011121314151612.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正

18、方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点.求证：(1)MN平面A1B1C1；12345678910111213141516证明由题意，知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以AA1，AB，AC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2)，C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1).由题意知AA1A1B1，AA1A1C1，12345678910111213141516又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1

19、，所以AA1平面A1B1C1.又MN 平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.12345678910111213141516(2)平面MBC1平面BB1C1C.12345678910111213141516证明设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2，1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0，1，1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面MBC1平面BB1C1C.12345678910111213141516技能提升练12345678910111213141516解析设AC与BD相交于O点，连接OE，AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线的交点，M为线段EF的中点.12345678910111213141516A.相交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内12345678910111213141516解析以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标