第三章 两个自由度系统振动

1、内容重点：内容重点：1.运动方程建立运动方程建立2.模态频率、模态振型模态频率、模态振型3.广义座标与座标耦合广义座标与座标耦合4.动力减振动力减振 内容重点：内容重点：1.固有模态及其振动固有模态及其振动 2.对初始条件响应对初始条件响应3.广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合一、固有模态振动一、固有模态振动1.运动微分方程运动微分方程1m2m11m x 22m x 11k x21ckxx22k x 1F t 2Ft1m1k2mck2k1x2x 2Ft 1F t由由0 xF =得得: :1 1121212 21222cccmxkkxk xFm xk xkkxF=（1） 写成矩阵方程：写成矩阵

2、方程：111112222200cccckkkmxxFkkkmxxF=（2）一般形式：一般形式： MxKxF=（3）式中：式中：M,K分别叫作分别叫作 ，即：即： ,TTMMKK= ,xxF分别为分别为 2.固有模态振动固有模态振动图示自由振动方程为：图示自由振动方程为： 11111212221222000mxkkxmxkkx=（4）设：设：12sinsinnnxAtxBt=（5）（ 5）代入（）代入（4）得：）得：21111222122200nnAkmkBkkm = （6）A,B有非零解的条件为：有非零解的条件为：2111122212220nnkmkkkm=（7）受初始扰动受初始扰动 00,x

3、x 后，系统如何发生运动后，系统如何发生运动2111122212220nnkmkkkm=（7）展开后方程的两个根，即特征值为0)(21222112112221421=kkkkmkmmmnn4)(212121222112211122212111222122,1mmkkkmmkmkmmmkmkmn=12,nn分别叫系统第一阶固频、第二阶固频 211111122112112221211nnkmBkurAkkmu= = =（8）211212122222212222212nnkmBkurAkkmu= = =（9）12sin()nxAtxB = 12,rr分别反映系统以某阶固频作自由振动形状或振型分别反映

4、系统以某阶固频作自由振动形状或振型则系统两个固有模态振动为：则系统两个固有模态振动为： 111112111sinnxtx tAtxtr = 122222221sinnxtx tAtxtr=（11）12nn将，分别代入（6）式21111222122200nnAkmkBkkm = 得：1112111uuur = （10）1122221uuur = 系统自由振动一般表达式即方程的通解：系统自由振动一般表达式即方程的通解： 11122212xtxtxtx txtxtxt=111222121112221211sinsinsin11sinnnnnAtAtrrAtAtrr = = （12）系统自由振动是系统

5、两个固有模态振动的线性组合系统自由振动是系统两个固有模态振动的线性组合，只有只有在某些特定条件下，系统才会只作某个固有频率的自由振动在某些特定条件下，系统才会只作某个固有频率的自由振动。例：对于图示系统，设：例：对于图示系统，设：1212,2 ,2cmm mm kkk kk=试求系统的固有模态试求系统的固有模态。1m1k2mck2k1x2x 解：运动方程解：运动方程：11220200230 xxmkkxxmkk = 频率方程：频率方程：222032nnkmkkkm=24222750nnmmkk=由（由（8）（）（9）两式可得：）两式可得：121,0.5rr= 111112221211,10.5

6、uuuuuu = 122uu121uu0.51m1k2mck2k1x2x2111122212220nnkmkkkm= 二、初始条件引起的自由振动二、初始条件引起的自由振动方程通解（方程通解（12）中）中1212,A A 由初始条件确定：设t0时： 11011000 xxxx= 22022000 xxxx=将初始条件代入方程（将初始条件代入方程（12）可得）可得：222102012102022111nr xxAr xxrr=221 102021 102022121nrxxArxxrr=121020121020nr xxtgr xx=21 102021 1020nrxxtgrxx=11122212

7、11( )sinsinnnx tAtAtrr = ：三、广义坐标与坐标耦合三、广义坐标与坐标耦合1.什么叫坐标耦合什么叫坐标耦合2.坐标耦合产生的原因坐标耦合产生的原因:0,0 xcFM=根据可得：121 12 111221 12 11 12 10000cmkkk ak bxxJk ak bk ak b = 111112112221222200mxkkxFmxkkxF = 1 111 112212221 12222m xk xk xFm xk xk xF=1a1b1k2k,cm JccJ（1）取质心）取质心C在垂直方向的运动在垂直方向的运动 1x t，车身绕质心车身绕质心C的的 t转动作为描述

8、系统转动的坐标。c1x1mx 111kxa211kxb静力耦合弹性耦合 （2）选）选21222,xk ak b=为坐标描述系统运动，且122222012220000mmekkxxmeJk ak b = 112233212200Ammakkk LxxmaJk Lk L = （3）选）选3,xcJ2x2m xe122k xa222kxbce2a2bd3x31()m xa1 3k x23kxcccJ1ag动力耦合惯性耦合即含有动力耦合又含有静力耦合 ： （5）选取不同坐标，不会影响系统的性质，其固有特）选取不同坐标，不会影响系统的性质，其固有特性不变。性不变。（1）描述系统运动坐标选择不唯一；）描述

9、系统运动坐标选择不唯一；（2）对同一系统，坐标不同，运动方程形式也不同；）对同一系统，坐标不同，运动方程形式也不同；（3）坐标耦合决定于坐标选择，不是系统固有性质；）坐标耦合决定于坐标选择，不是系统固有性质；（4）若方程存在耦合，则方程不能单独求解；）若方程存在耦合，则方程不能单独求解； 一、本节研究内容一、本节研究内容11121111212122221222sin0mmxkkxFtmmxkkx = 研究的解具有的一般性的解具有的一般性。根据线性叠加原理根据线性叠加原理：11112222sin01.sinsinsin0FtFttFtF= 11222.n,nFtFtTFtFtT= 112200F

10、tFFtF= 二、方程解二、方程解 sin()j tM xK xFtF e=取虚部（1） j tx tX e=设：（2） 2(2)(1)KMXF=代入得：（3）（4） 2KM=设：Z2ijijijzkm=(4)(3)XF=代 入得 ：Z（5） 1XF=Z（6） 1HZ=令（7） XHF= （8） 221212111210ZZFXZZXZ=221221111122122110ZZFZZZ ZZ Z=111221220HHFHH=（9） 11122122zzzz=z 1( )XZF= 122211111122122121221211221221jjZ FXHFX eZ ZZ ZZ FXHFX eZ

11、 ZZ Z=（10） 11221122XXXXArgXArgX =式中：（11） 122211111122122121221211221221jjZ FXHFX eZ ZZ ZZ FXHFX eZ ZZ Z=（10） 1212jtjtj tjtX ex tX eXeX e =方程解（12）系统对简谐激励力系统对简谐激励力sin0Ft稳态响应为： 1122sinsinXtx tXt=（13）（1）12XX无阻尼系统 和 表达式中的各元素都是实数120和分 别 为 和（2）对于给定系统，可画出）对于给定系统，可画出 12XX， 12 ，分别叫幅频与相频特性曲线分别叫幅频与相频特性曲线。 例：图示系

12、统，在质量例：图示系统，在质量 12XX统稳态响应，幅频响应曲线。1sinmFt上作用激励力，画出系121222cmmmmkkkkk=已知： 12XX求作，曲线。1m1k2mck2k1x2xsinFt112202sinsin02300 xxmkkFtFtxxmkk=2ijijijZKm=利用公式 2221121122122111221221Z FZ FXXZ ZZ ZZ ZZ Z=可得：可得：21422242232275275km FXmmkkkFXmmkk=令上式分母为零可解得：令上式分母为零可解得：1252nnkkmm= 211122122222123225111511nnnnnFXXkF

13、XXk=2/n11/n或12XX或 一、吸振目的：减小振动本身的振动强度一、吸振目的：减小振动本身的振动强度二、无阻尼动力吸振器吸振原理二、无阻尼动力吸振器吸振原理运动方程：运动方程：111221222220sin00mxkkkxFtmxkkx = (1) 根据公式：根据公式： 2211122122121211221221( )|( )|Z FZ ZZ ZZ FZ ZZ Z=可得：可得： 222122212122222222121222()( )()()( )()()kmFkkmkmkk Fkkmkmk=(2) 1m1ksinFt1x2m2k2x 令： 1221201211,kkmFmmkm=

14、 =则则(2)式可变为：式可变为：220122222112211 () ( )1()() 1 ()() =(3)022222211221( )1()() 1 ()() =(4)当当 2=时，由方程由方程(4)可得：可得： 22( )Fk= (5)若 由由(3)式知：式知： 2,=10 =则则吸振器则吸振器 2m的运动为：的运动为： 22( )sinFx ttk= (6)1m1ksinFt1x2m2k2x 三、无阻尼吸振器的特点三、无阻尼吸振器的特点1/ 10XX11动力减振区给给 吸振器吸振器 2m运动通过弹簧运动通过弹簧 2k1m的力为：的力为： 22( )sink x tFt= (7)与激

15、振力与激振力 sin()Ft平衡，平衡， 1m故不振。不振。 1.无阻尼动力吸振器，无阻尼动力吸振器，针对某个给定的工作频率针对某个给定的工作频率设计设计(图知：减振器频率范图知：减振器频率范围小围小) 2.安装无阻尼吸振器，系安装无阻尼吸振器，系统变为两个自由度，有两个统变为两个自由度，有两个振峰，增加了系统共振的可振峰，增加了系统共振的可能性，过渡过程不好能性，过渡过程不好 1m1ksinFt1x2m2k2x 3.令令(3)式分母为零，得主系统与吸振器组成的两个自式分母为零，得主系统与吸振器组成的两个自由度系统的特征方程，可求得由度系统的特征方程，可求得 12,.nn22012222211

16、2211() ( )1()() 1()() =(3)2m1m1k2k1x2x2m1m1c2c22221221()()0m xc xxk xx=一、自由振动一、自由振动221()k xx221()c xx1 1k x1 1c x 1 1m x 22m x 图示系统运动方程为图示系统运动方程为:1 11 11 1221221()()0m xc xk xc xxk xx= 111221122122222222000mxcccxkkkxmxccxkkx=(1)一般形式：一般形式： 0MxCxKx=(2)设：设： ( ) tx tB e=(3) (3)代入代入(2)得：得：2( ) 0MCKB=(4)

17、B为非零向量解的条件为为非零向量解的条件为：22111111121212222121212222220mckmckmckmck=(5) 由由(5)可解得四个特征值可解得四个特征值 1,234:, c Tcc= 系统运动随时间不断减小系统运动随时间不断减小(正阻尼正阻尼) 1,234, 应是负实数或具有负实部的复根。应是负实数或具有负实部的复根。 1,234, 将分别代入分别代入(4)式可得：式可得： 222111111212121221121212222222iiiiiiiiiiiBmckmckrBmckmck= = =(6) 过阻尼或临界阻尼过阻尼或临界阻尼 负实根负实根 欠阻尼欠阻尼 振幅

18、按指数函数衰减的简谐运动振幅按指数函数衰减的简谐运动 3124131111214232212224( ) ( )( )ttttBx tBBBx teeeeBx tBBB=(7)3124111121314321241( )111: ( )( )ttttx torx tBeBeBeBerx trrr = (8)方程通解为方程通解为: 特征值出现三种可能组合：特征值出现三种可能组合： (1)所有的四个特征值都是负实根所有的四个特征值都是负实根方程解同方程解同(7)或或(8)式式 (2)两对共轭复根两对共轭复根1,2113,422ndndjj= = (9)方程的通解为：方程的通解为：121111211

19、1121212121314213143342( )1111 ( )cossin( )1111cossinnntddtdx tx teBBtj BBtx trrrreBBtj BBrrrr = 2dt(10)式中：式中： 11121314BBBB1234和，和，r和r，r和r为共轭复数对，为共轭复数对， 使正使正 弦和余弦前的系数为实数。弦和余弦前的系数为实数。 (3)两个特征值为负实数，另两个特征值为具有负实部两个特征值为负实数，另两个特征值为具有负实部的共轭复根，则方程通解为：的共轭复根，则方程通解为： 1211112212131413143344( )11 ( )( )1111cossin

20、nnntttddx tx tBeBex trreBBtj BBtrrrr = (11)式中：式中： 1112121314, ,BBr rBB34为实数。和，r和r为共轭复数对。为共轭复数对。 二、强迫振动二、强迫振动111211112111121212222122221222sin00j tmmxccxkkxFtmmxccxkkxFe=令令 （取虚部）（取虚部） (12) 设(14)式为： ( ) ZF =(15)2( )ijijijijZkmj c=(16)令1 ( ) ( ) ZFHF =(17)1222111222( )|( )|( )|( )|jjZ FeZZ FeZ= = 1122j

21、 txex=设：(13)将(13)代入(12)得： 2( ) KMjCF =(14)12()1()21122 sin() ( )sin()jtjtexetx tt= 一、有阻尼与无阻尼吸振器区别一、有阻尼与无阻尼吸振器区别: 有阻尼适用于转速变化较大的工有阻尼适用于转速变化较大的工作设备。作设备。二、有阻尼吸振器吸振原理二、有阻尼吸振器吸振原理11112212222220sin00mxxkkkxccFtmxxkkxcc=(1)222221222211221122222()|( )|()()()|( )|( )|Z Fkmj c FZkmm kj c kmmZ Fkj c FZZ = =(2)2

22、222211222222222()(FkmcabFkcab = = =有(3)1m1ksinFt1xc2m2k2x 22211222222112()()()akmkmk mbc kmm=式中：120121122211111,2kkkmmmcrmm= =F引入符号：(4)分下面几种情况讨论有阻尼动力吸振器原理：分下面几种情况讨论有阻尼动力吸振器原理：2.c= 212222015(1)rr =由（ ）取极限得：(7)则则(3)式第一式可简化为下式无量纲形式：式第一式可简化为下式无量纲形式：222222122222 2222220()4(1)()4(1)rrrrrrrr=（5)1m1ksinFt1x

23、c2m2k2x1.0c=由由(5)式得：式得： 2222122222220()(1)()rrrr=(6) 1,0.1,0.1,0.3220=取： 根据根据(5)(6)(7)式作幅频响应式作幅频响应曲线曲线 由图可知：四条幅频响应曲由图可知：四条幅频响应曲线都交于线都交于S、T两点两点。3. S、T两点坐标值两点坐标值（1）横坐标值横坐标值: 由（由（6）式（）式（7）式得：）式得：2222222221(1)()1rrrrrr= (8)若取若取“”号，由（号，由（8）可得：）可得：40,0(rr=舍去）9sTrr由（ ）可求得 ， 值sT(9)02221222224=rr取负号得 （2）纵坐标值

24、：）纵坐标值： 1s1T1s1T1s1T=,使使都使下降后和处在曲线极大值点2,1(1)11sTr=11(1)1101sT= 使由（）可得： sT=220122011111TTTSSSrrXXrrXXrS、rT 分别代入（7）式得： 110021sT=11(2),sT使13由（）式知：11(3)sT使下降后和处在曲线极大值点：由（5）求 10r=令且将（11）（12）代入可得： 23(3)8(1)2s T=取取S.T点均值：点均值： ,338(1)S T=sT 三、有阻尼动力吸振器设计步骤三、有阻尼动力吸振器设计步骤1.根据主系统允许最大振动，由式：根据主系统允许最大振动，由式： 110021

25、st=确定确定 ，从而确定从而确定 21mm=m值，222211112.1kkmkm=由确定 值，确定值31133.8(1)c2s Tcm=由求得 值确定 值 一、柔度影响系数一、柔度影响系数1.柔度矩阵柔度矩阵1dk=称为柔度称为柔度（1） MxCxKxF t=作用力方程作用力方程 111KMxKCxxKF t=位移方程位移方程1k2k1x2x2m1m111dk=221dk=1F2F设设12mm和上分别作用静力上分别作用静力12F和F，对于线性系统对于线性系统12F和F等于同时作用引起静等于同时作用引起静12F和F分别作用引起静分别作用引起静位移总和位移总和。位移位移 111111FxFdK

26、=121111Fxd FK=(2)212121Fxd FK=222212212()FFxddFKK=当F1与F2同时作用时有：111121112xxxd Fd F=2212211122()xxxd FddF=(3)111111222xddFdddxF=(4) ijxF=ijd（6）即：x=DF（5）1k2k1x2x2m1m111dk=221dk=1F2F 2.柔度影响系数柔度影响系数dij仅在第仅在第j点作点作用一单位力时用一单位力时,在在第第i点点 引起的位移。引起的位移。 根据定义可求得柔度矩阵：根据定义可求得柔度矩阵：111111dxdk=2121111dxdd=1212111dxdk=

27、2222121211dxddkk= 1112112122112ddddDddddd=1k2k1x2x2m1m111dk=221dk=1F2F 3.刚度影响系数定义：刚度影响系数定义：Kij仅在第仅在第j点产生点产生单位位移，在第单位位移，在第i点点所需施加力的大小。所需施加力的大小。 iijjFKx=(7)K11K1+K2 K21K2 1112122212222KKKKKKKKKK=K12K2 ， K22K21k2k1x2x2m1m111dk=221dk=1F2F4.柔度矩阵与刚度矩阵关系柔度矩阵与刚度矩阵关系如图如图3.6-1 若在若在m1和和m2上分别作用动态力上分别作用动态力 1( )F t 和和 2(