平面向量三角形四心(有详解)

1、平面向量与三角形“四心”的应用问题三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中 所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本 文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考.1课本原题iIi 1 I 4I J例1、已知向量 OR,OP2,OP3满足条件 OR+OP2+OP=0, |OR |=| OP2 |=|OP31=1，求证: RP2P3是正三角形.分析对于本题中的条件iOPlhiOP>,iOP3i，容易想到，点o> PP2P3的外心，而另一个条件op'+OF2+0R =0表明，点o是厶

2、PP2B的重心.故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角 形.在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，贝吐匕三角 形为何种三角形？与本题实质是相同的.显然，本题中的条件|OR|斗O£|=|OP |=1可改为|OR|=|OP冃OP3|.2高考原题例2、O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OP- OA (AC)0：,：则.P的轨迹一定通过厶ABC的( ).|AB| |AC|A .外心B.内心C.重心D .垂心7AC，AF 誌，显然AE，AF都是单分析 已知等式即APAC)，设AE| AB|

3、| AC| AB|位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为.ABC的平分线，选B .例3、厶ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H ， OH =m(OA OB OC)，则实数m =.分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要 的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式ah|_bc=0，将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢，有（OH_OA）l（OCOB）=o ,将已知代入，有m（0A OB OC）-OAOC-0B） =0 ,即 mcOC'OB） .（m i）0AjBC=O ,由 o是外心，得 （m -1）0L_Bc =

4、0，由于 ABC是任意三角形，则OA.BC不恒为0,故只有m =1恒成立.1 -或者，过点O作OM _BC与M，则M是BC的中点，有OM =（OB OC） ; H是垂心，2贝U AH _ BC ,故 AH 与OM共线，设=kOM，贝u OH=OA+AH=OA+），又2OHm(OA OB OC)，故可得(m1)OA (mk)OB(m_k)OC=o,有 m'm上 o,2 2 2根据已知式子 0H.m（0A Ob OC） 中的OA+OB+OC部分，很容易想到三角形的重心 坐标公式，设三角形的重心为 G , O是平面内任一点，均OA亠OB亠OC有og=oa ob oc，由题意，题目显然叙述的是

5、般的结论，先作图使问题直观化，如图1,由图上观察, 很容易猜想到HG=2G0，至少有两个产生猜想的诱因,是,其一是，BF,OT均与三角形的边AC垂直，则BF/OT ;其二，点G是三角形的中线BT的三等分点.此时，会先猜想 BHGTOG,但现在缺少一个关键的条件，即图1BH =2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同 时，夹角对应相等可得相似.当然，在考试时，只需大胆 使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O G H分别是 ABC的外心、重心和垂心，则O G H三点共线，且OG： G* 1 : 2,利用向量表示就是 OH = 3OG .T例4、点O是三角

6、形ABC所在平面内的一点，满足 OALOB = OB_OC = OC_OA，则点0A.三个内角的角平分线的交点B .三条边的垂直平分线的交点是ABC的（）.C.三条中线的交点 条高的交点移项后不难得出点0是ABC的垂心，选D .3推广应用题例5 在厶ABC内求一点P，使AP2 BP2 CP2最小.分析 如图2,构造向量解决.取cA=a,cB二b为基向量，设cP二,有T 斗 T 彳屮AP二 x，a B P x. b4 4*4*44 2 #2 1 * 22_222'I2I2于是，AP2 BP2 CP2 =(x - a)2 (x -b)2 x =3x- (a b)2 a b -(a b)2

7、.331 2 2 2 1当 x = (a b)时，AP2 BP2 CP2 最小，此时，即 OP (OA - OB - OC)，则点 P ABC 33的重心.例 6|Oa|2 - |B?|2=|OB|2 |CA|2=|分析将iBCi2=(oC_点，满足已知 O 为 ABC所在平面内-OC |2 - |AB|2，则 OABC的心.OB)2=Oc2 Ob2 -2O5b，|Ca|2,|AB|2也类似展开代入，已知等式与例4的条件一样.也可移项后，分解因式合并化简，0为垂心.已知0ABC的外心，求证:OAsin BOC OBsin AOC Oc sin AOB =分析构造坐标系证明.如图3，以A为坐标原占八、)B在x轴的正半轴，C在X轴的上卜炉小)A方1Sa aob = X2y°，直线BC的方程是/T2/賈0)y32-3x -y 2x 3,由于点A与点0必在直AB(X2,y2)X线BC的同侧，且-X2y3 <0 ， 因此有图3X。七X3 yoX2-y° 0x2得'BOCQx3y0x2%).直线AC的方程是y3X -X3y = 0 ，由于点(1, 0与点O必在直线AC的同侧，且y 1 -X300，于 是 ，因此有x°y3丸丫。0，容易验证，得 Sa aocOA Sa boc O