一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法

1、优秀学习资料欢迎下载一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法问题： 过点 P 2,3 的直线与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于点A, B ，求ABO 的面积最小值，以及此时所对应的直线方程。解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。在研究函数的最值时， 要注意函数的定义域对函数值的限制； 在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。解答这类问题的常用解题方法如下：一、利用三角函数的有界性求解解法1： 设过点 P 2,3的直线方程为：xy1 ，则231 ，于

2、是可设23ababa， b。sin 2cos2记ABO 的面积为 S ，则 S1 ab =sin 23122cos2sin 22因为 0<sin 221 ,所以： S 12 ，当 sin 21时，45 ，面积的最小值是： S 12 ，此时， a24， b36sin 2 45cos2 45所求的直线方程为：xy146评注 ：若正实数 m, n 满足 m n1 ，我们可以设msin 2， ncos2，把二元转化为关于的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。二、利用均值不等式求解解法 2：设过点 P 2,3的直线方程为：y3 k x2 ，直线与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于点A 232k

3、 . 由图知 k 0,0 ,B0,3k记ABO 的面积为 S ，则 S1 2332k2k优秀学习资料欢迎下载即 S1 12 4k92k因为 k0 ，所以，4k 0 ，90 。k利用均值不等式得：( 4k ) ( 9 ) 24k912 。kk所以 S1124k911212122k2当且仅当4k9，即 k3时ABO 的面积有最小值，此时所对应的直线方程为：k23y 3x23x2 y122评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。变形原则是能使产生的几个正数的积（或和）为定值。解法 3：设过点 P 2,3 的直线方程为：xy1，则 231 ，于是 a2bababb 3因为直线与 x

4、 轴、 y 轴的正半轴相交，则 a0,b0。记ABO 的面积为 S ，则 S1 ab =12bbb2b39622b3b3b3因为： a2b0.所以 b3 .b>0, b3于是： b392 b396 。b 3b 3所以： S = b9612 。3b 3的直线方程为： xy解法 4：设过点 P 2,31，则 231 ，于是 ab3a 2babab因为直线与 x 轴、 y 轴的正半轴相交，所以a0,b0 。利用均值不等式得：ab3a2b 26ab ，abab260 ，而ab0，所以 ab24 。记 ABO 的面积为 S ，则 S1 ab122当且仅当3a2b且ab24 时， a4,b6 。面积

5、有最小值S12 。优秀学习资料欢迎下载所求的直线方程为：xy416评注： 此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab 的最小值，从而获解。三、判别式法：设过点 P2,3 的直线方程为： y3k x2 ，解法 5直线与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于点A23,0 ,B0,32k . 由图知 k0k记 ABO 的面积为 S ，则S1332k22k化简得： 4k 22s12 k90（ 1）将上式视为关于k 的一元二次方程，因为kR ，所以，0 。即 2s 12 24490S12或 S0(舍去）。面积的最小值是：S12，代入（1）得： k323此时所对应的直线方程为：y3x232y122x评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求解。解法 6：设过点 P 2,3的直线方程为：xy1，则 231 ，于是 a2bababb 3因为直线与 x 轴、 y 轴的正半轴相交，则a0,b0。记 ABO 的面积为 S ，则 S1 ab =12bbb222b3b 3化简得： b2Sb3S0（ 2）将上式视为关于b的一元二次方程，因为bR ，所以，0 。即()2430S12。因为