最优控制习题及参考答案

1、最优控制习题及参考答案习题 1求通过 x(0) = 1 ， x(1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：75t fJ = (x 2 +1)dtt0解： 由已知条件知： t0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得：(2x ) = 0dtx = C1x = C1t + C2将 x(0) = 1，x(1) = 2 代入，有：C2 = 1，C1 = 1得极值轨线： x* (t) = t +1习题 2求性能指标：J = 1(x 2 +1)dt0在边界条件 x(0) = 0 ， x(1) 是自由情况下的极值曲线。12解：由上题得： x* (t) = C t + Cx* (t) x由 x(0) =

2、0 得： C2 = 00L由x t=t f= 2x (t f ) = 2C1 t=t = 0tf01于是： x* (t) = 0【分析讨论】对于任意的 x(0) = x0 ，x(1) 自由。2010有： C = x ， C = 0 ，即： x* (t) = x其几何意义： x(1) 自由意味着终点在虚线上任意点。习题 3已知系统的状态方程为：x 1 (t) = x2 (t) ， x 2 (t) = u(t) 边界条件为： x1 (0) = x2 (0) = 1 ， x1 (3) = x2 (3) = 0 ，3 1试求使性能指标 J = 0u2 (t)dt 2取极小值的最优控制 u* (t) 以

3、及最优轨线 x* (t) 。 x 解：由已知条件知： f = 2 u Hamiton 函数： H = L + T fH = 1 u2 + x+ u = 0 = 由协态方程： 12121 22 = C得： 112 = C1t + C2H由控制方程：u= u + 2 = 0得： u = 2 = C1t C2由状态方程： x 2 = u = C1t C2得： x (t) = 1 C t2 C t + C22由状态方程： x 1 = x2123得： x (t) = 1 C t3 1 C t 2 + C t + C16 1223410将 x(0) = ， x(3) = 0 代入，,1 10联立解得： C

4、1 =由、式得：u* (t) = 10 t 29， C2 = 2 ， C3 = C4 = 1 91x* (t) =5 t3 t 2 + t +127x* (t) = 5 t2 2t +129习题 4已知系统状态方程及初始条件为x =u ，x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1J = 0解：H = x2e2t + u2e2t + ux = u列方程： = 2xe2t2e2t u + = 0(x2 + u2 )e2t dt由得， u代入得，x1 e2t = 21 e2t = 2x1 e2t e2t =+2将，代入，并考虑到 u = x x 1 e2t (2xe2t ) + e2t

5、 (2e2t x ) 2= 整理可得： x + 2x x = 0特征方程： s2 + 2s 1 = 0s1 = 1+2，s2 = 1212于是得： x* (t) = C es1t + C es2t) =u = * (t 2e2t 2e2t x * (t) = 2e2t(C1s1es1t + C s es2t )2 2s2由 x(0) = 1 ，得： C1 + C2 = 1s1由 (t f ) = (1) = 0 得： C1s1e+ C2 s2e= 0、联立，可得 C1、C2求导代回原方程可得 x* u*（略）习题 5求使系统： x 1 = x2 ， x 2 = u由初始状态 x1 (0) =

6、x2 (0) = 0出发，在 t f= 1 时转移到目标集 1x1 (1) + x2 (1) = 1，并使性能指标 J =1u2 (t)dt20为最小值的最优控制 u* (t) 及相应的最优轨线 x* (t) 。解： 本题 f (i)，L(i) 与习题 3 同，故 H (i) 相同方程同通解同1 = C1，2 = C1t + C2x = 1 C t3 1 C t2 + C t + C有： 16 12234x = 1 C t 2 C t + C 22123u = C1t C20x(0) = 0由，有： C3 = C4 = 0由 x1 (1) + x2 (1) = 1，有：1 C 1 C+ 1 C

7、 C = 16 1222 122 C 3 C = 13 122 T由 (1) =+ = 0 ， = x1 + x2 1xx1有： (1) = = 0 (1) = (1)112于是： C1 = C1 + C22C1 = C236、联立，得： C1 =- 、C2 = -77于是： u* = 3 t + 677x * = 1 t3 + 3 t 21147x * = 3 t 2 + 6 t2147习题 6已知一阶系统： x (t) = x(t) + u(t) ， x(0) = 3f（）试确定最优控制 u* (t) ，使系统在 t = 2 时转移到 x(2) = 0 ，并使性能泛函2J =(1+ u2

8、)dt = min0ff（）如果使系统转移到 x(t ) = 0 的终端时间 t 自由，问 u* (t) 应如何确定？解：H = 1+ u2 + u xx = x + u列方程： = 2u + = 01由协态方程得： = C et1t由控制方程： u=C1et2t f1t代入状态方程： x = x C1e2= 2，x(2) = 0 x(t) = C2e 1 C et4 1C 1 C = 3 24 1C e2 1 C e2 = 0 24 112解得： C1 = 4，e 13e4C2 = 4e 1代入得： u* (t) = x(t f ) = 2，t f自由6ete4 1C 1 C = 3 24

9、1C et f 1 C et f = 04 21H (t f ) = 0解得： C1 =40 6 = 0.325u* (t) = 0.162et习题 7设系统状态方程及初始条件为x (t) = u(t) ， x(0) = 1试确定最优控制 u* (t) ，使性能指标1t f2fJ = t +20u dt为极小，其中终端时间 t f 未定，x(t f ) = 0 。解：H = 1 u2 + u2由协态方程得： = 0 = C1由控制方程： u + = 0 u = C1由状态方程： x = u = C1 x(t) = C1t + C2由始端： x(0) = 1 C2 = 1由末端： x(t f )

10、 = 0 C1t f +1 = 0考虑到： H (t f ) = t t = 1 f f1 2有：u + u = 121 C 2 C 2 = 1 C 2 = 22 111C1 =± 2当 C1 =2 时，代入有： t f= 1 = 1C12当 C1 = 2 时，代入有： t f= 1 = 1 ，不合题意，故有 C =21C12最优控制u* = 2习题 8设系统状态方程及初始条件为x 1 (t) = x2 (t) ， x1 (0) = 2性能指标为x 2 (t) = u(t) ，J = 1 t f u2 dtx2 (0) = 120要求达到 x(t f ) = 0 ，试求：（1） t

11、f= 5 时的最优控制 u* (t) ；f（2） t 自由时的最优控制 u* (t) ； 解：本题 f (i )，L(i )，H (i ) 与前同，故有1 = C12 = C1t + C2x = 1 C t3 1 C t2 + C t + C6 112234x = 1 C t 2 C t + C 22123u = C1t C220C4 = 2C3 = 112525由 x(0) = x(5) = 0 ，得： C1 C2 + 5C3 + C4 = 01 62 25C 5C + C = 0123 2联立得： C1 = 0.432，C2 = 1.28 ，u*= 0.432t 1.28 t f 自由C

12、= 1 4C3 = 21 C t3 1 C t 2 + C t+ C = 061 f22 f3 f4 1 C t2 C t+ C = 0 2 1 f2 f3H (t f ) = 0联立有： C 2t 2 2C t+ 2 = 0 ，无论 C 为何值， t 均无实解。2 f2 f2f习题 9给定二阶系统x (t) = x (t) + 1 ， x (0) = 1124141x 2 (t) = u(t) ，1x2 (0) = 4控制约束为 u(t) ，要求最优控制 u* (t) ，使系统在 t = t2f并使时转移到 x(t f ) = 0 ，其中 t f 自由。t fJ =u2 (t)dt = mi

13、n0解： H = u2 + x+ 1 + u1 24 12 1 1 2 22本题属最小能量问题，因此：u* (t) = 1 > 122 1< 122 = 0 = C由协态方程： 11121212 = = C t + C2 是 t 的直线函数。当 u* (t) = 1 = 1 C t 1 C时（试取）2 22 122x (t) = 1 C t2 1 C t + C24 1223x (t) =1 C t3 1 C t2 + 1 t + C t + C112 1424341由始端条件 C3 = C4 =4由末端条件 1 Ct 3 1 C t2 + 1 t+ 1 = 012 1 f42 f

14、2 f41 Ct 2 1 C t+ 1 = 04 1 f22 f4另： H (t f ) = 01联立解得： C1 =，C2 = 0，t = 39f于是， 1 t2 = 1时，t < 02 =92= 1时，t = 9在 t 从 0 3 段， 2 1满足条件。故， u*= 1 = 1 t2 218101234t习题 10设二阶系统x 1 (t) = x1 (t) + u(t) ， x1 (0) = 1x 2 (t) = x1 (t) ，x2 (0) = 0控制约束为 u(t) 1 ，当系统终端自由时，求最优控制 u* (t) ，使性能指标J = 2x1 (1) + x2 (1)取极小值，并

15、求最优轨线 x* (t) 。解：由题意， fx1 + u =， = x+ x ,L = 0 ，H = u x+ x1211 12 1x11由控制方程可得： u* = +11 < 01 > 0 = = C et + C由协态方程可得： 112121 2 = 02 2 = C1由 (t) = C = 1，C= e1fx(t f )112 = et 1 +1 在t > 0的范围内 > 1 11故： u* = 1t 0,12 = 1若需计算 最优轨线 ，只需把 u* = 1 代入状态 方程，可 得： x * (t) = 2et 1 1x * (t) = 2et t + 2 2习题 11设系统状态方程为x 1 (t) = x2 (t) ， x1 (0) = x10性能指标为 J = 120x 2 (t) = u(t) ，1(4x2 + u2 )dtx2 (0) = x20试用调节器方法确定最优控制 u* (t) 。01解： 由已知条件得： A = 000， B = ，140Q = 00， R = 110BAB = 01, 可控 最优解存在考虑到Q = 40 = 2 20 = DT D ，故000 D = 20 D 20 = DA02闭环系统渐近稳定由 Riccati 方程 AT P + PA PBR1BT P