最新一轮北师大版理数学教案：选修44 第1节　坐标系 Word版含解析

1、 选修44坐标系与参数方程第一节坐标系考纲传真1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点p(x，y)对应到点p(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图1所示，在平面内取一个定点o，叫作极点，从o点引一条射线ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面

2、极坐标系，简称为极坐标系图1(2)极坐标极径：设m是平面内任意一点，用表示线段om的长，叫作点m的极径极角：以极轴ox为始边，射线om为终边的角xom叫作点m的极角，记为.极坐标：有序实数对(，)叫作点m的极坐标，记作m(，)3极坐标与直角坐标的互化设m是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(00)5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程是(r)(2)直线l过点m(a,0

3、)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为cos a.(3)直线过m且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为sin_b(0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点p的直角坐标为(1，)，则点p的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程

4、为()【导学号：57962483】a，0b，0ccos sin ，0dcos sin ，0ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(教材改编)在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线c的极坐标方程为2sin ，则曲线c的直角坐标方程为_x2y22y0由2sin ，得22sin .所以曲线c的直角坐标方程为x2y22y0.4已知直线l的极坐标方程为2sin，点a的极坐标为a，则点a到直线l的距离为_由2sin，得2，yx1.由a，得点a的直角坐标为(2，2)点a到直线l的距离d.5(20xx·江苏高考)已知圆c的极坐标方程为22s

5、in40，求圆c的半径解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点o，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xoy.2分圆c的极坐标方程可化为2240，4分化简，得22sin 2cos 40.6分则圆c的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆c的半径为.10分平面直角坐标系中的伸缩变换 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.(1)求曲线c的方程；(2)设直线l：2xy20与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换

6、下变为曲线c上的点(x，y)，依题意，得2分由xy1得x21，故曲线c的方程为x21.5分(2)由解得或6分不妨设p1(1,0)，p2(0,2)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线斜率为k，8分于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为.10分规律方法1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点p(x，y)与变换后的点p(x，y)的坐标关系，利用方程思想求解2求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将xcos ，ysin 代入转化变式训练1在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：

7、(1)求点a经过变换所得点a的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程解(1)设点a(x，y)，由伸缩变换：得2分x×31，y1.点a的坐标为(1，1).5分(2)设p(x，y)是直线l上任意一点由伸缩变换：得8分代入y6x，得2y6·2x，yx为所求直线l的方程.10分极坐标与直角坐标的互化(20xx·全国卷)在直角坐标系xoy中，直线c1：x2，圆c2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求c1，c2的极坐标方程；(2)若直线c3的极坐标方程为(r)，设c2与c3的交点为m，n，求c2mn的面积解(1)因

8、为xcos ，ysin ，所以c1的极坐标方程为cos 2，c2的极坐标方程为22cos 4sin 40.4分(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.8分故12，即|mn|.由于c2的半径为1，所以c2mn的面积为.10分迁移探究1若本例条件不变，求直线c1与c2的交点的极坐标解联立方程解得且2.6分所以交点的极坐标为.10分迁移探究2本例条件不变，求圆c2关于极点的对称圆的方程解因为点(，)与点(，)关于极点对称，设点(，)为对称圆上任意一点，则(，)在圆c2上，所以()22cos 4sin 40.6分故所求圆c2关于极点的对称圆的方程为x2y22x4y40.10分

9、规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法变式训练2(20xx·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程c1：cos sin 10，c2：2cos .(1)求曲线c1，c2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线c1，c2交于a，b两点，求两交点间的距离解(1)由c1：cos sin 10，xy10，表示一条直线.2分由c2：2cos ，得22co

10、s ，x2y22x，则(x1)2y21.c2是圆心为(1,0)，半径r1的圆.4分(2)由(1)知点(1,0)在直线xy10上，因此直线c1过圆c2的圆心.6分两交点a，b的连线段是圆c2的直径因此两交点a，b间的距离|ab|2r2.10分直线与圆的极坐标方程的应用(20xx·全国卷)在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(t为参数，a>0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2：4cos .(1)说明c1是哪一种曲线，并将c1的方程化为极坐标方程；(2)直线c3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线c1与c2的公共点都在c3上，求a.解(1)

11、消去参数t得到c1的普通方程为x2(y1)2a2，则c1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.2分将xcos ，ysin 代入c1的普通方程中，得到c1的极坐标方程为22sin 1a20.4分(2)曲线c1，c2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，8分从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为c1，c2的公共点，且在c3上所以a1.10分规律方法1.第(1)问将曲线c1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题

12、简单化，进而求解2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解变式训练3(20xx·太原市质检)已知曲线c1：xy和c2：(为参数)以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线c1和c2的方程化为极坐标方程；(2)设c1与x，y轴交于m，n两点，且线段mn的中点为p.若射线op与c1，c2交于p，q两点，求p，q两点间的距离.【导学号：57962484】解(1)曲线c1化为cos sin .sin.2分曲线c2化为1.(*)将xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲线c2的极坐标方程为2.4分(2)m(，0)，n(0,1)，p，op的极坐标方程为，6分把代入sin得11，p.把代入2得22，q.8分|pq|21|1，即p，q两点间的距离为1.10分思想与方法1曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以等2确