微分中值定理77055

1、2 2、罗尔、罗尔(rolle)定理定理一、 微分中值定理3 、拉格朗日、拉格朗日( (lagrange) )中值定理中值定理4 、柯西柯西( (cauchy) )中值定理中值定理1 1、问题的提出、问题的提出第二讲第二讲 微分中值定理微分中值定理1、问题的提出、问题的提出两个现象：两个现象：(1) 曲线弧曲线弧 ab 上上 至少有一点处的至少有一点处的切线切线是是水平水平的，即的，即(2) 变速直线运动变速直线运动在折返点处的在折返点处的瞬时瞬时速度速度为为0, 即即. 0)( f. 0)( s 不同背景的两个现象，从数学的观点看，有不同背景的两个现象，从数学的观点看，有一个一个共同点共同点

2、:. 0)(),( fba，使，使那么，在什么那么，在什么条件条件下下此结论一定成立此结论一定成立?结论：结论：2、罗尔中值定理、罗尔中值定理)(xfy 满足满足： (1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续； (2) 在开区间在开区间 (a , b) 内可导内可导； (3) f ( a ) = f ( b )，, 使得使得)1 . 1(0)( f在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点定理定理1.1（罗尔中值定理）（罗尔中值定理）若若证明分析：观察此图，观察此图，曲线曲线ab（上有哪些点的上有哪些点的切线切线可能可能与与x轴平行？轴平行？（ab易看出，易看出，上有两点：上

3、有两点：最高点最高点c从函数的观点看，就是从函数的观点看，就是上上取取得得在在,)(baxf.21 和和最最值值的的点点和最底点和最底点d.这个结论是否具有一般性？这个结论是否具有一般性？费马费马（fermat）引理引理则则证证xyo0 x且在且在0 x)()(0 xfxf （或（或) )()(0 xfxf . 0)(0 xf)()(0 xfxf 的某邻域的某邻域内有内有)(0 xu)(xfy 如果函数如果函数在点在点处可导，处可导，0 x以以为例证之为例证之. ., )(00 xuxx )(0 xf 从而从而xxfxxfx )()(lim000)0( x)(0 xf )0( x)(0 xf

4、0 0 0)(0 xf有有, )()(00 xfxxf 则则导数为零的点称为导数为零的点称为驻点驻点xyo0 x0)()(00 xfxxf处可导处可导在在0)(xxf)()()(000 xfxfxf 极限的极限的保号性保号性证证由于由于 f (x) 在闭区间在闭区间 a, b 连续，连续，故在故在 a, b 上取得最大值上取得最大值 m 和最小值和最小值 m . (1) 若若 m = m ，因此因此.0)(, ),( fba则在闭区间则在闭区间 a, b 上上 (2) 若若 m m , ,)(mxf .不不可可能能同同时时在在端端点点取取得得与与最最小小值值最最大大值值mm, )(afm 则至

5、少存在一点则至少存在一点不妨设不妨设 , ),(ba ,)(mf 使得使得.0)( f则由则由费马引理费马引理得得 时，同理可证时，同理可证. ( )mf a )()(bfaf 1 定理条件不全具备，定理条件不全具备， 结论结论不一定不一定成立成立.注注2 定理条件只是充分的，并非必要条件定理条件只是充分的，并非必要条件.条件不满足，结论条件不满足，结论不成立不成立的的例子：例子：xyo1xyo121xyo1xyo-11xxfsgn)( . 0)(), 0()0 ,( f3.)(0)(的的最最值值点点不不一一定定是是的的点点使使xff 4.),(内内的的具具体体位位置置在在ba 罗尔定理未指明

6、罗尔定理未指明有且仅有三个实根，并指出它们有且仅有三个实根，并指出它们证证例例1在在 1, 1 上连续上连续,可导可导，且且 f ( 1 ) = f ( 1 )，显然显然)(xf在在 (1, 1)内内因此由罗尔定理知，因此由罗尔定理知，至少存在一点至少存在一点),1, 1(1 使得使得. 0)(1 f，设)3)(2)(1)(1()(xxxxxf方程方程0)( xf所在的区间所在的区间.同理，同理， 至少存在一点至少存在一点),2, 1(2 使得使得; 0)(2 f证明证明由于由于)(xf 0)( xf是三次函数，是三次函数，x方程方程是是的三次代数方程，的三次代数方程， 所以它最多有三个实根所

7、以它最多有三个实根.综上，综上，0)( xf方程方程恰有三个实根，恰有三个实根，)3 , 2(),2 , 1(),1 , 1( 分别在分别在内内.区间区间同理，同理， 至少存在一点至少存在一点),2, 1(2 使得使得; 0)(2 f至少存在一点至少存在一点),3, 2(3 使得使得. 0)(3 f的实数，证明方程：的实数，证明方程：分析分析? ?例例2 为满足为满足设设naaa,1002210 nnxaxaxaa01210 naaan.)1 ,0(内内至至少少有有一一个个实实根根在在,)(10nnxaxaaxf 令令,1,0)(,上连续上连续在在显然显然xf,)0(0af ,)1(10naa

8、af , 0)1()0( ff 由题设条件由题设条件无法无法确定，确定，转换思路：转换思路：？.121210 nnxnaxaxa )(xf,10nnxaxaa 若若f (x)在在0,1 上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件, 则则, )1 ,0( 使得使得,0)( f.0)( f即即 )()(xfxf故对故对f( (x) )不能用零点定理不能用零点定理. .12)1(10 naaafn0)0( f由罗尔定理，可知由罗尔定理，可知,12)(1210 nnxnaxaxaxf令令,1,0)(,上连续上连续在在显然显然xf且且,)1,0(内可导内可导在在, )1 ,0( 使得使得,0)( f证,

9、010 nnaaa 即即),1(120)0(10fnaaafn 02210 nnxaxaxaa亦亦即即方方程程.)1 , 0( 内至少有一个实根内至少有一个实根在在3、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理定理定理1.2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理） (1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续；上连续； (2) 在开区间在开区间 (a , b) 内可导；内可导；使得使得)2 . 1()()()(abafbff ,在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点)(xfy 满足：满足：若若)()(bfaf )()()(abfafbf 注注a(a, f(a)， b (b, f(b)弦弦

10、的的斜斜率率：ababafbfk )()(1与罗尔定理相比，去掉了条件与罗尔定理相比，去掉了条件(3):2结论结论(1.2)亦可写成：亦可写成：3结论结论(1.2)的的几何意义几何意义证明分析证明分析弦弦ab方程为方程为:).()()()(axabafbfafy 曲线曲线 y = f (x)与弦与弦ab在两个在两个端点端点 a, b 处重合处重合. 故在故在 a, b 两端点处，它们的纵坐两端点处，它们的纵坐标之差为零标之差为零(相等相等).作作辅助函数辅助函数:).()()()()()(axabafbfafxfxf 作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf

11、内内可可导导，上上连连续续，在在在在),(,)(babaxf.0)(),( fba使使得得0)()()( abafbff 即即0)( af且且)()()()()()(ababafbfafbfbf )()(bfaf 即即由由罗罗尔尔定定理理，知知.亦亦即即命命题题成成立立证证 =0注注 1特例特例)()(bfaf 2.)2 .1(,也也成成立立ab 3使使),()1(ba )()()(abfafbf 使使),1, 0()2( )()()(ababafafbf ).(aba oxab (1.2)的的其他形式：其他形式：rl.,)(, 0)(),(,)(上上是是一一个个常常数数在在则则恒恒有有内内，

12、上上连连续续，且且在在在在若若baxfxfbabaxf 推论推论注注可可换换成成：推推论论中中的的闭闭区区间间,ba),(),),(),( baaba证明等式证明等式由推论可知由推论可知).1(arccosarcsin)( xcxxxf令令 x = 0 , 得得.2 c证证 设设,arccosarcsin)(xxxf )(xf211x 211x 0 故故. 1,1,2arccosarcsin xxx例例3).1(2arccosarcsin xxx则则 f (x)在在-1, 1 上连续，在上连续，在(-1, 1)内可导，且内可导，且证明不等式证明不等式. )0()1ln(1 xxxxx因为因为

13、1x xx1,x 故故).0()1ln(1 xxxxx即即 )0()(fxf)1ln(x xx 0,1xxf 0, )0)(证证 设设, )1ln()(ttf 上上满满足足拉拉格格在在则则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件, 因此应有因此应有例例4例例5),)()()(abab ).()()()()(lnabffafbf ).()()()()(lnabffafbf 求求证证上上的的正正值值可可微微函函数数是是若若,)(baxf)()()(ln)(lnffabafbf 将将结结论论变变形形为为使使得得，存存在在),(ba 分析分析上上满满足足在在则则,)(bax 拉氏中值定理的条件拉氏中值定

14、理的条件,因此应有因此应有证证),(ln)(xfx 令令即即定理定理1.3（柯西中值定理）（柯西中值定理）至少存在一点至少存在一点, ),(ba 使得使得)3 . 1()()()()()()( ffafbfafbf (1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续；上连续；(2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导；内可导；(3) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内内 4、柯西中值定理、柯西中值定理;0)( xf)(xf及及满足满足 :)(xf若若几何解释几何解释: :)(),(afafa)(),(bfbfb弦弦的的斜斜率率：ab)()()()(afbfafbfk ab（的的切切线

15、线斜斜率率：的的点点上上对对应应于于cx )()(dddddd ffxxxyxyxx 在曲线弧在曲线弧 ab上至少有一上至少有一点点c(f( ), f ( ) ), 在该点在该点处的切线平行于弦处的切线平行于弦ab（证证分析分析, 0)()()()()()( fafbfafbff内内可可导导，上上连连续续，在在在在),(,)(babaxf使使),(bac 0)()()( abcfafbf),(0)(baxxf 且且作辅助函数作辅助函数: :)()()()()()()()()(afxfafbfafbfafxfx )3 . 1()()()()()()( ffafbfafbf )(0)(ba 且且由

16、由罗罗尔尔定定理理，知知. 0)(),( 使使得得ba. 0)()()()()()( fafbfafbff即即).()()()()()()()()(afxfafbfafbfafxfx )()()()()()()(xfafbfafbfxfx 内内可可导导上上连连续续，在在在在),(,)(babax 命题得证命题得证. .,)(时时当当xxf , 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf注注1上上分分别别在在和和不不可可对对,)()(baxfxf因因为为中中值值定定理理，来来证证明明用用).3 . 1(lagrange不一定相同

17、不一定相同两次运用中值定理的两次运用中值定理的 特例特例)()(bfaf xxf )(特例特例2rlc).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设证证分析分析 结论可变形为结论可变形为: : 2)(01) 0() 1 (fff.)()(2 xxxf,)(2xxf 设设使使),1,0( )()()0()1()0()1( ffffff).0()1(2)(fff 即即例例6 01) 0() 1 (ff 2)(f 内容小结内容小结)()(afbf xxf )(1. 微分中值定理的条件、结论及关

18、系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理费马引理费马引理2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(4) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论(3) 确定方程根的存在性确定方程根的存在性关键关键: : 利用逆向思维构造辅助函数利用逆向思维构造辅助函数例例1-1 证明方程证明方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1的正实根的正实根 .0155 xx证证(1) 存在性存在性,15)(5 xxxf设设且且. 3)1(,1)0( ff则则)(xf在在 0, 1 连续连续,0)1

19、()0( ff, 0)(0 xf由由零点定理零点定理知知, 存在存在, )1 ,0(0 x使得使得即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根 .0 x, )1,0(011xxx 假设：假设：另有另有, 0)(1 xf使使(2) 唯一性唯一性)(0)(,)(1010 xfxfxxxf 上可导，且上可导，且在在, 10 xx 不不妨妨设设),1 , 0(),(,10 xx 知知由由罗罗尔尔定定理理)1 , 0(,10 xx则则.0)( f使使, 0)1(5)(4 xxf)1, 0( x但当但当矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!时，时，综上所述，方程综上所述，方程0155 xx有且仅有一个小于有且仅有

20、一个小于1的正实根的正实根 .)10()(, 1)(,)10(1)(010)(内内有有唯唯一一的的实实根根，在在证证明明方方程程内内的的一一切切，又又对对于于，上上可可导导，且且，在在设设xxfxfxxfxf 例例1-2,)()(xxfx 令令证证,根根据据零零点点定定理理可可知知上上连连续续，在在则则)10()(x 可可知知，又又由由1)(0 xf,0)0()0( f ,0)1()1( f，使使得得，至至少少有有一一点点)10( . 0)( .再再证证零零点点的的唯唯一一性性. 0)(1 使使得得内内有有唯唯一一的的在在于于是是)1 , 0()(x 上上满满足足罗罗尔尔定定理理在在则则1,)

21、( x, 01)()( f,零零点点,1 不不妨妨设设，于于是是存存在在),(1 .1)(矛盾矛盾这与这与 xf，内内还还有有一一点点，假假设设在在1)10( ,的条件的条件使得使得.)10()(内有唯一的实根内有唯一的实根，在在即方程即方程xxf 证证内内可可导导，上上连连续续，在在设设)1 ,0(10)(xf, 1)21(, 0)1()0( fff使使证明存在证明存在),1 , 0( 例例2-1且且作辅助函数作辅助函数. 1)( f,)()(xxfxf 上上连连续续，又又在在因因为为1 , 0)(xf, 02121121)21()21( ff, 01101)1()1( ff易知易知. 0)

22、0( f由连续函数介值定理知，由连续函数介值定理知，使得使得),1 ,21(0 x存在存在. 0)(0 xf上上满满足足罗罗尔尔在在因因此此, 0)(0 xxf定理的条件，定理的条件，使得使得故存在故存在),1 , 0(), 0(0 x . 1)( f从而有从而有又又, 0)0( f, 0)( f证证例例2-2其其中中)()ln()()(:xfabxafbf 方方程程求求证证.),(内内至至少少存存在在一一个个根根在在ba,ln)()()()(ln)(axafbfafxfabxf )(af且且, 0)( bf使使存存在在点点由由罗罗尔尔定定理理),(,ba 上上连连续续，在在设设,)(baxf

23、内内可可导导，在在),(ba. 0, 0 ba上上连连续续，在在则则,)(baxf内内可可导导，在在),(ba作辅助函数作辅助函数, 0)( f, 01)()()(ln afbffab.),(内内必必有有根根因因此此原原方方程程在在ba即即亦即亦即),()()(lnafbffab 例例4-1.e1e, 0 xxxxx 时，时，当当:用用中中值值定定理理证证明明,), 0(上上可可导导在在x证证 上上连连续续，在在函函数数xyx, 0e 由由拉拉格格朗朗日日定定理理得得.e1exxxx 即即x 0,e0ee0 xx是是增增函函数数，从从而而而而xe,0 xeee 故故,e0eee00 xxx 例

24、例4-2,20时时当当 即即将将结结论论变变形形为为：.costantancos22 用用拉拉格格朗朗日日公公式式证证明明：证证 22cos1tantancos1 制制造造改改变变量量的的商商，,),(上可导上可导在在 上连续，上连续，在在函数函数 ,tanxy 由由拉拉格格朗朗日日定定理理得得,sectantan2 ）上上单单调调递递增增的的，是是在在（由由于于20cos12x.故故原原不不等等式式成成立立 , 0)()()()( afffb 即即要要证证,),(,)(可可导导连连续续，在在在在若若babaxf，使使内内至至少少存存在在一一点点在在 ),(ba则则.)()()( bafff分

25、析分析令令,)()()()(afxfxbx . 0)( 使使例例5-1),(ba 问问题题转转化化为为证证明明存存在在内内可可导导，在在),(ba，可可知知至至少少存存在在一一点点),(ba , 0)()()()( afffb 即即, 0)( 使使.)()()( bafff也也即即证证则则上上连连续续，在在,)(bax , 0)()( ba 由由罗罗尔尔定定理理，,)()()()(afxfxbx 令令且且证证,),(,)(内内二二阶阶可可导导在在上上连连续续在在设设babaxf)()(,(),(,(xfybfbafa 的的直直线线和和曲曲线线连连接接点点,),(,(bcacfc 交于交于例例5

26、-2使得使得内内至至少少存存在在在在证证明明),(:ba上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值和和在在因因,)(bccaxf定定理理条条件件，),(),(21bcca 和和故故存存在在,)()()(1acafcff .0)( f，使使一一点点在在一一条条直直线线又又因因三三点点)(,(),(,(),(,(cfcbfbafa,)()()()(cbcfbfacafcf 故有故有).()(21 ff 即即上，上，.)()()(2cbcfbff ,)(),()(,21 在在内内二二阶阶可可导导知知在在由由于于是是xfbaxf 使使因而存在因而存在),(),(21ba 上满足罗尔定理，上满足罗尔定理，.

27、0)( f分析分析, 02121 xxxx且且设设上上在在,)(21xxxf),(21xx 证明存在证明存在例例6-1使得使得).()()()(1212121 ffxfxfxxxx 内内可可导导，连连续续，在在),(21xx211221212121)()()()(1xxxfxxfxxfxfxxxx 左端左端12212211babababa 行行列列式式：2121211221)()(xxxxxxxfxxfx 12112211)()(xxxxfxxf 制造改变量的商制造改变量的商.,1)(,)()(21上用柯西中值定理上用柯西中值定理在在对对xxxxxxfx 猜猜 右端右端=结论结论12112211)()(xxxxfxxf )()( ff 221)()( ff221)()( ff xxxxxf)1()(证证,)()(xxfx 令令xx1)( , 021 xx上连续，上连续，在在,)(21xxxf内内可可导导，在在),(21xx条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在,)(),(21xxxx ),(21xx 故故使得使得)()()()()()(1212 xxxx12112211)()(xxxxfxxf 即即221)()( ff).()( ff 例例6-2.故故原原