高考数学理二轮练习【专题2】第3讲导数及其应用含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5第3讲导数及其应用考情解读1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用函数的单调性和最值确定函数的解析式或参数的值，突出考查导数的工具性作用1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数与函数单调性的关系(1)f(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单

2、调性3函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值4定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：kf(x)dxkf(x)dx；f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)(2)微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并

3、且f(x)f(x)，那么f(x)dxf(b)f(a).热点一导数的运算和几何意义例1(1)(20xx·广东)曲线ye5x2在点(0,3)处的切线方程为_(2)在平面直角坐标系xoy中，设a是曲线c1：yax31(a>0)与曲线c2：x2y2的一个公共点，若c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，则实数a的值是_思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程(2)a点坐标是解题的关键点，列方程求出答案(1)5xy30(2)4解析(1)因为ye5x(5x)5e5x，所以y|x05，故切线方程为y35(x0)，即5xy30.(2)设a(x0，y

4、0)，则c1在a处的切线的斜率为f(x0)3ax，c2在a处的切线的斜率为，又c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，所以()·3a1，即y03ax，又axy01，所以y0，代入c2：x2y2，得x0±，将x0±，y0代入yax31(a>0)，得a4.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异，过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上，而在点p处的切线，必以点p为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握

5、平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解(1)已知函数yf(x)的导函数为f(x)且f(x)x2f()sin x，则f()_.(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于_答案(1)(2)2解析(1)因为f(x)x2f()sin x，所以f(x)2xf()cos x所以f()2×f()cos.所以f().(2)f(x)sin xxcos x，f()1，即函数f(x)xsin x1在点x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以()×11，解得a2.热点二利用导数研究函数的性质例2已知函数f(x)(xa)ex，其中e

6、是自然对数的底数，ar.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x0,4时，求函数f(x)的最小值思维启迪(1)直接求f(x)，利用f(x)的符号确定单调区间；(2)讨论区间0,4和所得单调区间的关系，一般情况下，f(x)的最值可能在极值点或给定区间的端点处取到解(1)因为f(x)(xa)ex，xr，所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0，得xa1.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)故f(x)的单调减区间为(，a1)；单调增区间为(a1，)(2)由(1)得，f(x)的单调减区间为(，a1)；单调增区间为(a1，)所以当a10，即a1时，

7、f(x)在0,4上单调递增，故f(x)在0,4上的最小值为f(x)minf(0)a；当0<a1<4，即5<a<1时，f(x)在(0，a1)上单调递减，f(x)在(a1,4)上单调递增，故f(x)在0,4上的最小值为f(x)minf(a1)ea1；当a14，即a5时，f(x)在0,4上单调递减，故f(x)在0,4上的最小值为f(x)minf(4)(a4)e4.所以函数f(x)在0,4上的最小值为f(x)min思维升华利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x

8、)>0或f(x)<0.若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解(4)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(5)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值已知函数f(x)ln x，ar.(1)若函数f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值为3，求实数a的值解(1)f(x)ln x，f(x)

9、.f(x)在2，)上是增函数，f(x)0在2，)上恒成立，即a在2，)上恒成立令g(x)，则ag(x)min，x2，)，g(x)在2，)上是增函数，g(x)ming(2)1.a1.所以实数a的取值范围为(，1(2)由(1)得f(x)，x1，e若2a<1，则x2a>0，即f(x)>0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是增函数所以f(x)minf(1)2a3，解得a(舍去)若12ae，令f(x)0，得x2a.当1<x<2a时，f(x)<0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a<x<e时，f(x)>0，所以f(x)在(2a，e)上是

10、增函数所以f(x)minf(2a)ln(2a)13，解得a(舍去)若2a>e，则x2a<0，即f(x)<0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上是减函数所以f(x)minf(e)13，得ae.适合题意综上ae.热点三导数与方程、不等式例3已知函数f(x)ln x，g(x)(a>0)，设f(x)f(x)g(x)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点p(x0，y0)为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值；(3)是否存在实数m，使得函数yg()m1的图象与函数yf(1x2)的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范

11、围；若不存在，说明理由思维启迪(1)利用f(x)确定单调区间；(2)kf(x0)，f(x0)分离a，利用函数思想求a的最小值；(3)利用数形结合思想将函数图象的交点个数和方程根的个数相互转化解(1)f(x)f(x)g(x)ln x(x>0)，f(x).a>0，由f(x)>0x(a，)，f(x)在(a，)上是增函数由f(x)<0x(0，a)，f(x)在(0，a)上是减函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，)(2)由f(x)(0<x3)得kf(x0)(0<x03)恒成立axx0恒成立当x01时，xx0取得最大值，a，a的最小值为.(3)若y

12、g()m1x2m的图象与yf(1x2)ln(x21)的图象恰有四个不同交点，即x2mln(x21)有四个不同的根，亦即mln(x21)x2有四个不同的根令g(x)ln(x21)x2.则g(x)x当x变化时g(x)、g(x)的变化情况如下表：(，1)(1,0)(0,1)(1，)g(x)的符号g(x)的单调性由上表知：g(x)极小值g(0)，g(x)极大值g(1)g(1)ln 2>0.又由g(2)g(2)ln 52<可知，当m(，ln 2)时，yg(x)与ym恰有四个不同交点故存在m(，ln 2)，使函数yg()m1的图象与yf(1x2)的图象恰有四个不同交点思维升华研究方程及不等式问

13、题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考已知函数f(x)a(x21)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)>a2成立，求实数m的取值范围解(1)由已知，得f(x)2ax(x>0)当a0时，恒有f(x)>0，则f(x)在(0，)上是增函数当a<0时，若0<x< ，则f(x)>0，故f(x)在(0，上是增函数；若x> ，

14、则f(x)<0，故f(x)在，)上是减函数综上，当a0时，f(x)在(0，)上是增函数；当a<0时，f(x)在(0, 上是增函数，在 ，)上是减函数(2)由题意，知对任意a(4，2)及x1,3，恒有maf(x)>a2成立，等价于maa2>f(x)max.因为a(4，2)，所以< <<1.由(1)，知当a(4，2)时，f(x)在1,3上是减函数，所以f(x)maxf(1)2a，所以maa2>2a，即m<a2.因为a(4，2)，所以2<a2<0.所以实数m的取值范围为m2.热点四定积分例4(1)已知a(ex2x)dx(e为自然对数的

15、底数)，函数f(x)，则f(a)f(log2)_.(2)(20xx·山东)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()a2 b4 c2 d4思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分答案(1)7(2)d解析(1)因为a(ex2x)dx(exx2)|e11e，f(x)，所以f(a)f(log2)f(e)f(log26)ln e2(log26)167.(2)令4xx3，解得x0或x±2，s(4xx3)844，故选d.思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系

16、，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出(1)若(2x)dx3ln 2，且a>1，则a的值为()a6 b4 c3 d2(2)如图，阴影部分的面积是()a2 b92c. d.答案(1)d(2)c解析(1)(2x)dx(x2ln x)|a2ln a1，由题意，可得a2ln a13ln 2，解得a2.(2)由题图，可知阴影部分面积为(3x22x)dx(3xx3x2)|(31)(999).1函数单调性的应用(1)若可导函数

17、f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f(x)>0的必要不充分条件2可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3利用导数解决优化问题的

18、步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论4定积分在几何中的应用被积函数为yf(x)，由曲线yf(x)与直线xa，xb(a<b)和y0所围成的曲边梯形的面积为s.(1)当f(x)>0时，sf(x)dx；(2)当f(x)<0时，sf(x)dx；(3)当xa，c时，f(x)>0；当xc，b时，f(x)<0，则sf(x)dxf(x)dx.真题感悟1(20xx·江西)若曲线yex上点p处的切线平行于直线2xy10，则点p的坐标是_答案(ln 2,2)解析设p(x0，y0)，yex，ye

19、x，点p处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点p的坐标为(ln 2,2)2(20xx·浙江)已知函数f(x)x33|xa|(a>0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.(1)解因为a>0，1x1，所以当0<a<1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1，a)上是减函数；若xa,1，则f(x)x33x3a，f(x)3x23>0，故f(x)在(a,1)上是增函数所以g(a)f(a)a3.当a1时，有xa，则

20、f(x)x33x3a，f(x)3x23<0，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明令h(x)f(x)g(a)当0<a<1时，g(a)a3.若xa,1，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(a,1)上是增函数，所以，h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0<a<1，所以h(1)4.故f(x)g(a)4.若x1，a，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(1，a)上是减函数，所以，h(x)在1，a上的最大值是h(1)23aa3.令t(a)23aa3，则t(a)33

21、a2>0，知t(a)在(0,1)上是增函数所以，t(a)<t(1)4，即h(1)<4.故f(x)g(a)4.当a1时，g(a)23a，故h(x)x33x2，h(x)3x23，此时h(x)在(1,1)上是减函数，因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上，当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.押题精练1已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案解析由于f(x)1>0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x

22、1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.2已知函数f(x)ln x，x1,3(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)<4at对任意的x1,3，t0,2恒成立，求实数a的取值范围；解(1)函数f(x)ln x，f(x)，令f(x)0得x±2，x1,3，当1<x<2时，f(x)<0；当2<x<3时，f(x)>0；f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增

23、函数，f(x)在x2处取得极小值f(2)ln 2；又f(1)，f(3)ln 3，ln 3>1，(ln 3)ln 31>0，f(1)>f(3)，x1时f(x)的最大值为，x2时函数取得最小值为ln 2.(2)由(1)知当x1,3时，f(x)，故对任意x1,3，f(x)<4at恒成立，只要4at>对任意t0,2恒成立，即at<恒成立，记g(t)at，t0,2，解得a<，实数a的取值范围是(，)(推荐时间：60分钟)一、选择题1曲线yx32x在(1，1)处的切线方程为()axy20 bxy20cxy20 dxy20答案a解析由已知，得点(1，1)在曲线yx3

24、2x上，所以切线的斜率为y|x1(3x22)|x11，由直线方程的点斜式得xy20，故选a.2(20xx·课标全国)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a等于()a0 b1c2 d3答案d解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.3(20xx·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()ayx3x byx3xcyx3x dyx3x答案a解析函

25、数在5,5上为减函数，所以在5,5上y0，经检验只有a符合故选a.4函数f(x)的定义域是r，f(0)2，对任意xr，f(x)f(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex1的解集为()ax|x>0bx|x<0cx|x<1，或x>1dx|x<1，或0<x<1答案a解析构造函数g(x)ex·f(x)ex，因为g(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)ex>exex0，所以g(x)ex·f(x)ex为r上的增函数又因为g(0)e0·f(0)e01，所以原不等式转化为

26、g(x)>g(0)，解得x>0.5若函数f(x)loga(x3ax)(a>0，a1)在区间(，0)内单调递增，则a的取值范围是()a，1) b，1)c(，) d(1，)答案b解析由x3ax>0得x(x2a)>0.则有或x>或<x<0，即函数f(x)的定义域为(，)(，0)令g(x)x3ax，则g(x)3x2a.由g(x)<0得<x<0.从而g(x)在x(，0)上是减函数，又函数f(x)在x(，0)内单调递增，则有a<1.6如图所示，曲线yx21，x2，x0，y0围成的阴影部分的面积为()a|x21|dxb|(x21)dx|

27、c(x21)dxd(x21)dx(1x2)dx答案a解析由曲线y|x21|的对称性，所求阴影部分的面积与如图图形的面积相等，即|x21|dx，选a.二、填空题7已知f(x)x3f()x2x，则f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是_答案1解析f(x)3x22f()x1，令x，可得f()3×()22f()×1，解得f()1，所以f(x)的图象在点(，f()处的切线斜率是1.8若函数f(x)在x(2，)上单调递减，则实数a的取值范围是_答案a<解析f(x)，令f(x)<0，即2a1<0，解得a<.9已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的

28、切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，110已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0<t<1或2<t<3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t<

29、1<t1或t<3<t1，解得0<t<1或2<t<3.三、解答题11(20xx·重庆)已知函数f(x)ln x，其中ar，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)>0，故f(x)在(5，)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.12已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)图象的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)当a2时，联立得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)，即联立求导得y3x2