初中数学竞赛精品标准教程及练习38：平行和垂直

1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（38）平行和垂直一、内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理 利用角同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。 利用第三线都平行或都垂直于第三线的两直线平行。 利用比例式ABC中，如果那么DEBC 其他三角形中位线平行于第三边梯形中位线平行于两底平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1.按垂直定义即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。2. 在三角形中证明直角 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角

2、是直角。 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。3. 菱形对角线互相垂直二、例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。已知：ABC中，BD，CE是角平分线，AMBD，ANCE求证：MNBC证明：分别延长AM，AN交BC于F，G则AMBBMFRt12，BMBMAMBFMBAMMF同理可证ANNGMN是AFG的中位线，MNFG，即MNBC例2.已知：AD是RtABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，EGBC交BC于GA求证：FGAC，AGB

3、E证明的要点：EBE是角平分线，F1 / 3点E到ABC的两边距离相等，即EAEGBDGCAFE，AEF分别是EBC，ABE的余角，AFEAEF得AFAEEG，且EGAF，故AFGE是菱形例3.已知：如图AD是等腰直角ABC斜边上高BM，BN三等分ABC，CM延长线交AB于E求证：ENBM证明要点：根椐轴对称图形的性质CM，CN也三等分ACB点N是ACE的内心，EN是AEC的平分线1ABM30例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，ABD和BCE都是等边三角形，AE交BD于M，CD交BE于N 求证：MNAC证明：在等边ABD和BCE中ABBD，BCCE，ABDBCE60BMCE，MNAC 例5

4、.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PEAB作PFBC求证：PDEF分析：要证明PDEF，可证PMF90先证12902390而14只要证34可用边角边证BEFGPD（证明略）例6.已知：O和Q相交于A，B，Q经过点O，C是O优弧AB上的一点，CB延长线交Q于D，求证：DOAC证明：连结AB，作O直径AE，DO延长线交AC于FCE，DEABCFDABERt，DOAC三、练习381. 四边形ABCD中，AB，ADBC，则ABCD2. 正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AEBF则AECF3. 已知：平行四边形ABCD的AB2BC，E，F分别在BC和CB的延长线

5、上且CEBFBC求证：AEDF4. 分别以ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证AHCE，AHCE5. 已知：D，E，F是ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且HEAC，HEAC，GDBC，GDBC求证：FDGHEFFGFH6. 已知：在平行四边形ABCD中，A和B的平分线交于E，C和D的平分线相交于F求证：EFBC7. 三角形三条高（或它们的延长线）必相交于一点这点叫做三角形的垂心，如图ABC中，两条高AD和BE交于H，那么H是ABC的垂心D是的垂心E是的垂心C是的垂心8. 已知：O为等腰直角三角形ABC底边BC的中点，在BC的延长线上任取一点P，过P作AB的垂线PD，D为垂足，过P作AC的垂线PE，E为垂足。试问：不论P点在BC延长线上的哪一个位置，DOE都等于几度？并证明你的结论练习38参考答案：1. 多种证法。AD和BC的延长线交于P，用比例式证明平行较简2.