高考数学一轮复习：两直线的位置关系教学案含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5两直线的位置关系知识能否忆起一、两条直线的位置关系斜截式一般式方程yk1xb1yk2xb2a1xb1yc10(ab0)a2xb2yc20(ab0)相交k1k2a1b2a2b10垂直k1或k1k21a1a2b1b20 平行k1k2且b1b2或重合k1k2且b1b2a1a2，b1b2，c1c2(0)二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立三、几种距离1两点间的距离平面上

2、的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)间的距离公式：d(a，b)|ab|.2点到直线的距离点p(x1，y1)到直线l：axbyc0的距离d.3两条平行线间的距离两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离d.小题能否全取1(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点p(2，1)，q(3，m)若l1l2，则实数m为()a6b6c5 d5解析：选b由已知得k11，k2.l1l2，k1k21，1×1，即m6.2(教材习题改编)点(0，1)到直线x2y3的距离为()a. b.c5 d.解析：选bd.3点(a，b)关于直线xy10的对称点是()a(a1，b1) b(b1

3、，a1)c(a，b) d(b，a)解析：选b设对称点为(x，y)，则解得xb1，ya1.4l1：xy0与l2：2x3y10的交点在直线mx3y50上，则m的值为()a3 b5c5 d8解析：选d由得l1与l2的交点坐标为(1,1)所以m350，m8.5与直线4x3y50平行，并且到它的距离等于3的直线方程是_解析：设所求直线方程为4x3ym0，由3，得m10或20.答案：4x3y100或4x3y2001.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑2在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化

4、为axbyc0的形式，否则会出错两直线的平行与垂直典题导入例1(20xx·浙江高考)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件自主解答由a1，可得l1l2；反之，由l1l2，可得a1或a2.答案a在本例中若l1l2，试求a.解：l1l2，a×12×(a1)0，a.由题悟法1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1·k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的

5、斜率是多少一定要特别注意2(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线l1l2的充要条件是k1·k21.(2)设l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.则l1l2a1a2b1b20.以题试法1(20xx·大同模拟)设a，b，c分别是abc中角a，b，c所对的边，则直线xsin aayc0与bxysin bsin c0的位置关系是()a平行 b重合c垂直 d相交但不垂直解析：选c由已知得a0，sin b0，所以两直线的斜率分别为k1，k2，由正弦定理得k1·k2·1，所以两条直线垂直两直线的交点与距离问题典题

6、导入例2(20xx·浙江高考)定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离已知曲线c1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.自主解答因曲线c2：x2(y4)22到直线l：yx的距离为2，所以曲线c1与直线l不能相交，故x2ax，即x2ax0.设c1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.答案由题悟法1点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求注意直线方程为一般式2点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解也可用如下方法去求解：(1)点p(x0，y0)到与y轴垂直的直线y

7、a的距离d|y0a|.(2)点p(x0，y0)到与x轴垂直的直线xb的距离d|x0b|.以题试法2(20xx·通化模拟)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_解析：由题意得，得a4，c2，则6xayc0可化为3x2y0，则，解得c2或6.答案：2或6对 称 问 题典题导入例3(20xx·成都模拟)在直角坐标系中，a(4,0)，b(0，4)，从点p(2,0)射出的光线经直线ab反射后，再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是()a2b6c3 d2自主解答如图，设点p关于直线ab，y轴的对称点分别为d，c，易求得d(4,2

8、)，c(2,0)，由对称性知，d，m，n，c共线，则pmn的周长|pm|mn|pn|dm|mn|nc|cd|2即为光线所经过的路程答案a由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称点p(x，y)关于o(a，b)的对称点p(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点a(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决以题试法3(20xx·南京调研)与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为()a3x4y50 b3x4y50c3x4y50 d3x4y50解析：选a与直线3x4y50

9、关于x轴对称的直线方程是3x4(y)50，即3x4y50.1(20xx·海淀区期末)已知直线l1：k1xy10与直线l2：k2xy10，那么“k1k2”是“l1l2”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选c由k1k2,11，得l1l2；由l1l2知k1×1k2×10，所以k1k2.故“k1k2”是“l1l2”的充要条件2当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选b解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，0，故交点在第二象限3(20xx

10、3;长沙检测)已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为()a. b.c4 d8解析：选b直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，即为3x4y0，直线l1与直线l2的距离为.4若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()a(0,4) b(0,2)c(2,4) d(4，2)解析：选b由于直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)5已知直线l1：y2x3，若直线l2与l1关于

11、直线xy0对称，又直线l3l2，则l3的斜率为()a2 bc. d2解析：选a依题意得，直线l2的方程是x2(y)3，即yx，其斜率是，由l3l2，得l3的斜率等于2.6(20xx·岳阳模拟)直线l经过两直线7x5y240和xy0的交点，且过点(5,1)则l的方程是()a3xy40 b3xy40cx3y80 dx3y40解析：选c设l的方程为7x5y24(xy)0，即(7)x(5)y240，则(7)×55240.解得4.l的方程为x3y80.7(20xx·郑州模拟)若直线l1：ax2y0和直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a的值为_解析：由2a2(a1)0得

12、a.答案：8已知平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为_解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29(20xx·临沂模拟)已知点p(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_解析：由题意得，点到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得，0a10，所以a0,10答案：0,1010(20xx·舟山模拟)已知1(a0，b0)，求点(0，b)到直线x2ya0的距离的最小值解：

13、点(0，b)到直线x2ya0的距离为d(a2b)(32)，当且仅当a22b2，abab，即a1，b时取等号所以点(0，b)到直线x2ya0的距离的最小值为.11(20xx·荆州二检)过点p(1,2)的直线l被两平行线l1：4x3y10与l2：4x3y60截得的线段长|ab|，求直线l的方程解：设直线l的方程为y2k(x1)，由解得a；由解得b.|ab|， ，整理，得7k248k70，解得k17或k2.因此，所求直线l的方程为x7y150或7xy50.12已知直线l：3xy30，求：(1)点p(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程解：设p(x，y)关于直线

14、l：3xy30的对称点为p(x，y)kpp·kl1，即×31.又pp的中点在直线3xy30上，3×30.由得 (1)把x4，y5代入得x2，y7，p(4,5)关于直线l的对称点p的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.1点p到点a(1,0)和直线x1的距离相等，且点p到直线yx的距离为，这样的点p的个数是()a1 b2c3 d4解析：选c点p到点a和定直线距离相等，p点轨迹为抛物线，方程为y24x.设p(t2,2t)，则，解得t11，t21，t31，故p点有三个2(20xx·福建模拟)若点(

15、m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是()a2 b2c4 d2解析：选c设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2m2n2，又因为(m，n)在直线4x3y100上，所以原点到直线4x3y100的距离为d的最小值，此时d2，所以m2n2的最小值为4.3在直线l：3xy10上求一点p，使得p到a(4,1)和b(0，4)的距离之差最大解：如图所示，设点b关于l的对称点为b，连接ab并延长交l于p，此时的p满足|pa|pb|的值最大设b的坐标为(a，b)，则kbb·kl1，即3·1.则a3b120.又由于线段bb的中点坐标为，且在直线l上，则3×10，即3ab

16、60.解，得a3，b3，即b(3,3)于是ab的方程为，即2xy90.解得即l与ab的交点坐标为p(2,5)1点(1，cos )(其中0)到直线xsin ycos 10的距离是，那么等于()a. b.或c. d.或解析：选b由已知得，即|sin sin2|，4sin24sin 10或4sin24sin 10，sin 或sin .0，0sin 1，sin ，即或.2已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()ax2y10 bx2y10cxy10 dx2y10解析：选bl1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则得即(1,0)，(1，1)为l2上两点，可得l2方程为x2y10.3光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程解：法一：由得即反射点m的坐标为(1,