理数北师大版练习：第八章 第九节 第三课时　定点、定值、探索性问题 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5课时作业a组基础对点练1已知动点c到点f(1,0)的距离比到直线x2的距离小1，动点c的轨迹为e.(1)求曲线e的方程；(2)若直线l：ykxm(km<0)与曲线e相交于a，b两个不同点，且·5，证明：直线l经过一个定点解析：(1)由题意可得动点c到点f(1,0)的距离等于到直线x1的距离，曲线e是以点(1,0)为焦点，直线x1为准线的抛物线，设其方程为y22px(p>0)，1，p2，动点c的轨迹e的方程为y24x.(2)证明：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x1·x2.

2、3;5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25，m24km5k20，mk或m5k.km<0，mk舍去，m5k，满足16(1km)>0，直线l的方程为yk(x5)，直线l必经过定点(5,0)2(20xx·昆明市检测)已知点a，b的坐标分别为(，0)，(，0)，直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积是，点m的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)过点f(1,0)作直线l交曲线e于p，q两点，交y轴于r点，若1，2，证明：12为定值解析：(1)设点m(x，y)，由已知得·(x±)，化简得曲线e的方程：y21(x±)(2)证

3、明：设点p，q，r的坐标分别为p(x1，y1)，q(x2，y2)，r(0，y0)由1，得(x1，y1y0)1(1x1，y1)，所以x1，y1，因为点p在曲线e上，所以()2()21，化简得4122y0，同理，由2，可得x2，y2，代入曲线e的方程化简得4222y0，由可知1，2是方程x24x22y0的两个实数根(>0)，所以124，即12为定值3在平面直角坐标系中，已知点a(，0)，b(，0)，直线ma，mb交于点m，它们的斜率之积为常数m(m0)，且mab的面积最大值为，设动点m的轨迹为曲线e.(1)求曲线e的方程；(2)过曲线e外一点q作e的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为1，

4、那么·是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由解析：(1)设m(x，y)，则由已知得·m，即y2m(x23)，即1(x±)(*)当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时mab面积不存在最大值(不符合)；当m1时，方程(*)表示圆，此时mab的面积最大值为3(不符合)；当m<0且m1时，方程(*)为椭圆，此时mab的面积最大值为，所以m.此时所求的方程为y21(x±)(2)设q(x0，y0)，过点q的切线l为yk(xx0)y0，由消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3(y0kx0)230，则36k2(y0kx0)24(13k)2&

5、#183;3(ykx0)210，化简得(3x)k22x0y0k1y0，于是k1·k2，由已知斜率之积为1，则1，则xy4(x0±)，所以|oq|2，于是·(2)221.4已知椭圆c：1(a>b>0)的焦点为f1，f2，离心率为，点p为其上一动点，且三角形pf1f2的面积最大值为，o为坐标原点(1)求椭圆c的方程；(2)若点m，n为c上的两个动点，求常数m，使·m时，点o到直线mn的距离为定值，求这个定值解析：(1)依题意知解得所以椭圆c的方程为1.(2)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线mn的斜率存在时，设其方

6、程为ykxn，则点o到直线mn的距离d ，联立，得消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由>0得4k2n23>0，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d 为常数，则m0，d ，此时12满足>0.当mnx轴时，由m0得kom±1，联立，得消去y，得x2，点o到直线mn的距离d|x|亦成立综上，当m0时，点o到直线mn的距离为定值，这个定值是.b组能力提升练1如图，已知直线l：ykx1(k>0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆e：y21分别交于点a，m和a，

7、n，记直线l1的斜率为k1.(1)求k·k1的值；(2)当k变化时，试问直线mn是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解析：(1)设直线l上任意一点p(x，y)关于直线yx1对称的点为p0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设m(xm，ym)，n(xn，yn)，xm，ym.同理可得xn，yn.kmn，直线mn：yymkmn(xxm)，即y(x)，即yxx.当k变化时，直线mn过定点(0，)2(20xx&#

8、183;合肥市质检)如图，在平面直角坐标系中，点f(1，0)，过直线l：x2右侧的动点p作pal于点a，apf的平分线交x轴于点b，|pa|bf|.(1)求动点p的轨迹c的方程；(2)过点f的直线q交曲线c于m，n，试问：x轴正半轴上是否存在点e，直线em，en分别交直线l于r，s两点，使rfs为直角？若存在，求出点e的坐标，若不存在，请说明理由解析：(1)设p(x，y)，由平面几何知识得，即，化简得x22y22，所以动点p的轨迹c的方程为x22y22(x)(2)假设满足条件的点e(n,0)(n>0)存在，设直线q的方程为xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，r(2，y3)，s(

9、2，y4)联立，得消去x，得(m22)y22my10，y1y2，y1y2，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，x1x2m(y1y2)22，由条件知，y3，同理y4，krfy3，ksfy4.因为rfs为直角，所以y3y41，所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2，(2n)2n2，所以(n22)(m21)0，n，故满足条件的点e存在，其坐标为(，0)3已知椭圆c：9x2y2m2(m>0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.(1)证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点(，m)，延长线段om与c

10、交于点p，四边形oapb能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解析：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xm，ymkxmb.于是直线om的斜率kom，即kom·k9.所以直线om的斜率与l的斜率的积是定值(2)四边形oapb能为平行四边形因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k>0，k3.由(1)得om的方程为yx.设点p的横坐标为xp，由得x，即xp.将点(，m)的坐标代入l的方程得b，因此xm.四边形o

11、apb为平行四边形，当且仅当线段ab与线段op互相平分，即xp2xm.于是2×，解得k14，k24.因为ki>0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形oapb为平行四边形4(20xx·长沙市模拟)已知p(，)在椭圆c：1(a>b>0)上，f为右焦点，pf垂直于x轴a，b，c，d为椭圆上四个动点，且ac，bd交于原点o.(1)求椭圆c的方程；(2)判断动直线l：x(mn)ymn(m，nr)与椭圆c的位置关系；(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)满足，判断kabkbc的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形abcd面积的最大值，否则

12、请说明理由解析：(1)p(，)在椭圆c：1(a>b>0)上，1.又f为右焦点，pf垂直于x轴，.由，解得a2，b1，椭圆c的方程为y21.(2)将动直线l的方程x(mn)ymn(m，nr)，化为(y)m(y)n0.m，nr，解得动直线l恒过点p，p在椭圆c上，动直线l与椭圆c的位置关系是相切或相交(3)，4y1y2x1x2.当直线ab的斜率不存在或斜率为0时，不满足4y1y2x1x2.当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykxm，联立，得得(14k2)x28kmx4(m21)0，(8km)24(4k21)·4(m21)16(4k2m21)>0(*)4y1y2x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，(4k21)x1x24