2019吉林中考数学试题及知识点解析

1、一、单项选择题1. (2019 吉林省，1,2019吉林省数学中考解析2分)如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(A) 3(B) 2(C) 1(D) -1【答案】D【解析】从图中可以看出蝴蝶在原点的左侧，所以可能是-1,故选择D 【知识点】数轴2. (2019吉林省，2, 2分)如图，由6个相同的小正方体组合成一个立方体，它的俯视图为Q rffb m mzn(A><»>3)【答案】D【解析】从上面看是一行四个小正方形，故选D【知识点】三视图3. (2019吉林省，3, 2分)若a为实数，则下列格式的运算结果比a小的是(A) a+1(B) a-1(C) axl (D)

2、 a4-1【答案】B【解析】选项A比a大1；选项C,选项D和a相等，只有选项B比a小，故选B【知识点】实数的大小4. (2019吉林省，4, 2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度 至少为(A) 30°(B) 90°(C) 120°(D) 180°【答案】C【解析】这个交通标志图案是由3个基本图案组成的，所以旋转角至少为120。，故选C【知识点】图形的旋转5. (2019吉林省，5,2分)如图，在O0中，弧AB所对的圆周角NACB=50°,若P为弧AB上一点，NA0P=55°, 则NP0B的度数

3、为(A) 30°(B) 45°(C) 55°(D) 60°【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，ZA0B=2ZACB=U0° ,因为NAOP=55° ,所以NPOB的度 数为45° ,故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系6. （2019吉林省，6, 2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游 人更好的观赏风光，如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（A）两点之间，线段最短 （B）平行于同一条直线的两条直线平行（C）垂线

4、段最短（D）两点确定一条直线【答案】A【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，选择A【知识点】生活中的数学应用二、填空题7. （2019吉林省，7, 3分）分解因式；a3-l=【答案】Q+l） Q-1）【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积【知识点】公式法因式分解8. （2019吉林省，8, 3分）不等式3x-2>l的解集是【答案】A1【解析】移项，得3x>2+l,即3x>3,【知识点】解不等式9. （2019吉林省，9, 3分）计算工土 =2厂y【答案】?【解析】单项式乘以单项式，分子分母分别相乘，能约分的要约分【知识点】整式的乘法，约分

5、（写10. （2019吉林省，10, 3分）若关于X的一元二次方程（x+3） Jc有实数根，则c的值可以为出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5, （c20时方程都有实数根）【解析】c，0时方程都有实数根【知识点】一元二次方程根的情况11. （2019吉林省，11, 3分）如图，E为AABC边CA延长线上一点，过点E作EDBC,若ZBAC=70° , ZCED=50° ，则NB=【答案】60°【解析】因为EDBC,所以NCED=NC=50° ,因为NBAC=70° ,三角形内角和为80° ,所以NB=60°【知识点】平行线的

6、性质，三角形内角和定理12. （2019吉林省，12, 3分）如图，在四边形ABCD中，AB=10, BD±AD,若将4BCD沿BD折叠，点C与边AB 的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为-AB【解析】,BDJLAD, E为AB的中点，BE=DE=2=5, .折叠，BC=BE=5,CD=DE=5, 四边形 BCDE 的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质13. （2019吉林省，13, 3分）在某一时刻，侧的一根高为1. 8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m,则这栋楼的高度为 m【答案】54 【解析】由同一时刻阳

7、光下的影子与物高之间的关系可曙嗤，喷得可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系，图形的相似的实际应用14. （2019吉林省，14, 3分）如图，在扇形0AB中，ZA0B=90° , D、E分别是半径0A, 0B上的点，以OD,OE 为邻边的0DCE的顶点C在弧AB上，若0D=8, 0E=6,则阴影部分图形的面积是 （结 果保留八）【答案】25力-48【解析】如图，连接DE,OCV0ODCE, ZA0B=90° ,，回ODCE 是矩形，DE=OC, TtZkDOE 中，0D=8, 0E=6, ADE=10=0C,，S 护S 扇-S 矩=n

8、xlO2 -6x8=25n-484【知识点】矩形的性质，扇形的面积 三、解答题15. （2019吉林省，15, 5分）先化简，再求值：（a-D'+a（a+2）,其中a二、历【思路分析】将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式寸-2a+l+J+2a=21+1,当航及时， 原式二 2 x（V2）2 +1 = 2x2 + 1 =5 【知识点】整式的运算16. （2019吉林省，16, 5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子出颜色外无其他差别；乙口袋中 装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别，从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取 出一条手绢，用树状图或列表的方

9、法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.【思路分析】根据题意画出树状图或者列出表格，即可求出概率【解题过程】解：如图，r *砧甲地/ %2-维括嘏翔 台能5共有4种等可能结果，其中取出的擅自和手绢都是红色的有1种可能,1 p-4 （以的的擅自和手用都是红色）一【知识点】概率17. （2019吉林省，17, 5分）已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，尸6,（1）求y关于X的函数解析式；（2）当x=4时，求y的值 【思路分析】（1）将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式;（2）当x=4时，代入（1）中的解析式，可求出y的值【解题过程】解：（1） 3是x的反比例函数，工设 y

10、=' （kWO）, x丁当 x=2 时，y=6,Ak=xy=12,.2 yX当x=4时，12代入y二上得，X12勺y= = 34【知识点】反比例函数18. (2019吉林省，18, 5分)如图，在0ABCD中,点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F,连接BE, DF求证：ZiABE丝 ZkCDF【思路分析】由作图可知，AE=CF,有平行四边形的性质可知对边相等，对角相等，由SAS可以证明两个三角形 全等.【解题过程】解：由题意得AE二FCV0ABCD,AAB=DC, ZA=ZC 在aABE和aCDF中， AE=CF, ZA=ZC, AB=DC,/.ABEACDF【

11、知识点】平行四边形的性质，三角形的全等 四、解答题19. (2019吉林省，19, 1分)图，图均为4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在图中已 画出线段AB,在图中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点，按下列要求画图：(1)在图中，以AB为对角线画一个菱形AEBF,且&F为格点；(2)在图中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点，ZCGD=ZCHD=90°【思路分析】(1)AB为对角线长为4,则另一条对角线在AB的中垂线上，如图所示;(2)根据勾股定理，画出格点三角形，如图所示【解题过程】小解【知识点】菱形，勾股定理20. （20

12、19 吉林省，20, 7 分）问题解决糖甜芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖而成，现将一些山楂分别串在若干跟竹签上，如果每根竹签串5 个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签，这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是 （填写序号）（1） bc+d=a; （2）ac+d=b; （3）ac-d=b【思路分析】（1）根据题意表示出山楂的个数，列出二元一次方程组即可解决 （2）表示出山楂的总个数，即竹签串的山楂与剩余的山楂的和就是总山楂的个数 【解题过程】问题解决解：设竹签x根，山楂y个，根据座意得产

13、中/解霄片端答：竹签有20根，山植104个反思归纳（2） 【知识点】二元一次方程组的应用，代数式21. （2019吉林省，21, 7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花酒底座A与地面的距离AB为170cm,花 洒AC的长为30的,与墙壁的夹角NCAD为43。，求花洒顶端C到地面的距离CE （结果精确到1cm）.（参考数 据:sin43° =0.68, cos43° =0.73, tan43° =0.93）【思路分析】如图，过点C作CMJ_BD于点M,解RtAACM,可以求出AM的长，从而可以求出BM的长，由于CE二BM【解题过程】解：如图，过点C作GLLBD于点

14、M,RtAACM AC=30m, ZCAD=43° ,AM _ AMcosZCAD= AC 30.AM=30cosZCAD= 30x0.73=21. 9,所以 CE=AM+AB=21. 9+170=191. 9Pl92cm答：花洒顶端C到地面的距离为192cm【知识点】解直角三角形22. （2019吉林省，22, 7分）某地区有城市居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查 该地区居民“获取信息的最主要途径”.（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和农村居民进行调查，

15、其中最具有代表性的一个方案是 ;（2）该机构采用了最具代表性的调查方案进行调查，供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他, 共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项，现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：这次接受调查的居民的人数为;统计图中人数最多的选项为;请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数【思路分析】（1）具有代表性的人群要包括城区居民和农村居民；（2）五种选项的总人数之和就是所求的总人数；从统计图中可以看出选择手机的人数最多；从抽取的人数中可以算出“电脑和手机”的人数占总抽取人数的比例，从而计算出该地区的总人数.【解题

16、过程】（1）方案三；（2）260+400+150+100+90=1000 （人）手机4()()+ 26()* go。= 528000 (人)1000答：该地区城区居民和农民居民将电脑和手机作为获取信息的最主要途径的总人数为52800人.【知识点】条形统计图，样本估计总体五、解答题23. (2019吉林省，23, 8分)甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲 车继续以原速行驶到B地。乙车立即以原速原路返回到B地，甲乙两车距B地的路程y (km)与各自行使的时间 x(h)之间的关系如图所示Cl) m= (2)求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值

17、范围;(3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程【思路分析】(1)由图像可知，乙车按原速原路返回，所用时间为相遇时间的2倍，甲车的速度为 280-3.5 = 80 (km/h)；相遇的时间为2小时，.甲车行驶的路程为80x2 = 160km，乙车行驶的路程为280-160=120 (km) An=120；(2)由(1)知，相遇A点为(2,120), B(4, 0),直线0人，AB的解析式可以分别求出来; (3)把x=3. 5代入到直线AB的解析式可以求出乙车距离B地的距离【解题过程】(1) m=4,n=120;(2)当OWx近2时，设 y=kxVA(2,120), .120=2k,Ak=60;

18、Ay=60x;当2Vx<4时， 设 y=kx+bVA(2,120), B(4, 0)A120=2k+b, 0=4k+b,Ak=-60;b=240:.y=-60x+240;综上所述，(3)当 x=3.5 时，y=-60x+240=30,答：当甲车到达B地时，乙车距B地的路程为30千米.【知识点】一次函数的实际应用24. (2019 吉林省，24, 8 分)性质探究如图，在等腰三角形ABC中，ZACB=120° ,则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用(1)若顶点为120°的等腰三角形的周长为8 + 46，则它的面积为 ；(2)如图，在四边形EFGH中，EF=EG=EH求

19、证：ZEFG+ZEHG=ZFGH;在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN,若NFGH=120° , EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2a的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含a的式子表示)【思路分析】性质探究如图，过点 C 作 CD_LAB 于点 D,贝!| AB=2AE, VZACB=120° , AZACD=60° , RtAACD 中，AD:AC=-:L AAB;AC=理解运用(1)根据性质探究可知底边AB与腰AC的长度之比为Gl,已知周长为8 + 4J5,所以可以求出AB的长，进 而求出CD的长，利用三角形的面积公式可以求出等腰三

20、角形的面积(2)根据等边对等角，VEF=EG, AZEFG=ZEGF, VEG=EH, AZEGH=ZEHG, ：可证 NEFG+NEHG=NFGH;如图，连接FHVZEFG=ZEGF, ZEGH=ZEHG,又 Y NFGH=120° A ZEFG+ZEHG=ZFGH=120° , T 四边形 EFGH 内角和 360° ,AZFEH=120°，由性质探索可知底边AB与腰AC的长度之比为、行：1,，FH=1OJ5, FHG中，MN为中位线，MN= x 1=532类比拓展如图，等腰三角形ABC中，过点C作CDLAB于点D,ZACB=2 a ,则NACD=

21、a , AB=2AD, RtAACD 中，AD:AC=sina , AAB:AC=2sina ：1【解题过程】性质探究如图，过点C作CDJLAB于点D,则 AB=2AE, VZACB=120° ,AZACD=60° , RtAACD 中，AD:AC= 2 :1AAB;AC=:1理解运用(1)根据性质探究可知，底边AB与腰AC的长度之比为31 设 AC= x,则 AB="rAAB=4, AB=4x/3ACD=2, ，三角形的面积为(2).即:EG,A ZEFG=ZEGF,EG=EH,A NEGH=NEHG, AZEFG+ZEHG=ZFGH; 如图，连接FHV ZEF

22、G=ZEGF, ZEGH=ZEHG, 又丁 ZFGH=120GA ZEFG+ZEHG=ZFGH=120° , 丁四边形EFGH内角和360° , AZFEH=120° , 由性质探索可知底边AB与腰AC的长度之比为7与1 .阳二1。0，FHG中，MN为中位线,1x10a/3=5a/3AMN= 2 类比拓展如图，等腰三角形ABC中，过点C作CALAB于点D,ZACB=2 a ,则NACD=a, AB=2AD,RtZACD 中，AD:AC=sina ,AAB：AC=2sina ：1【知识点】等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理六、解答题25. (2019吉

23、林省，25, 10分)如图，在矩形ABCD中，AD=4c叫AB=3cm, E为边BC上一点，BE=AB,连接AE.动 点P, Q从点A同时出发，点P以cin/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运动，设点Q运动时间为x(s),在运动过程中，点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形的面积为ylem?). (1) AE= cm, ZEAD= ;(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;当PQ= * cm时，直接写出x的值4【思路分析】(1)RtABE中，BE=AB=3,利用勾股定理可求得AE=3、，5cm, RtZABE 中，BE=ABAZEAB

24、=45° , AZEAD=45° ；(3)分类讨论：当0VxW2时，如图，点Q在AD上运动，P在AE上运动PF=x, .9.y= AQxPF = x2xxx = x222当2VxW3时，如图，点Q在CD上运动，P在AE上运动'y=S皿+S 麻岬尸,AExPb+ ,(。+ 尸尸)xOE,由题意知，AP=V2X,则 AF=PF=x, VAD+DQ=2x, AD=4, A 22DQ=2x-4, DFNf,y=lxxx + l(2x-4 + x)x(4-x) = x2 + (3x - 4)(4 - x) = -x2 +8x-8；2222当3VxZ时，如图，点Q在CD上运动，

25、P在与点E重合2，y=S2+S梯pb!aExPE + !(QO+P尸)x0尸，由题意知，AP=3%/2 ,则 AF=PF=3, DQ=2x-4,DF=4-3=1, Ay= 22x3x3 + (2x-4 + 3)xl = x32 + (2x-l) = x-42222此时0Vx<2, RtZiPQF中，PF=x,FQ=2xr=x，由勾股定理可得PQ二行x, :行 二,如图此时 2VxW3, RtZkPQF 中，PH=x-(2x-4)=4-x,QH=4-x,由勾股定理可得 P0=J5 (4-x),5-V2拉（4-x）=二，x=4-8, Ax>3,二这种情况不成立;4如图此时 3VxZ,

26、Rt PQF 中，PH=3-(2x-4)=7-x,QH=l,由勾股定理可得 PQ= J(7-x)2 + l2 =- , *2425317253VxW 2，x= 45525综上所述，当PQ=W时，x=8 或x= 4【解题过程】（1） 3、历，45。（2）当0VxW2时，如图，点Q在AD上运动，P在AE上运动AQxPFy=SAAP9=AAQ=2x, PF=x,AQxPF = x2xxx = x2，y=22当2VxW3时，如图，点Q在CD上运动，P在AE上运动-AFxPF+-(QD+PF)xDF工厂SaaFt+S 狒229由题意知，AP=&x,则AF=PF=x,VAD+DQ=2x, AD=4

27、, .-DQ=2x-4, DF=4-x,lXxx + l(2x-4 + x)x(4-x) = lx2+i(3x-4)(4-) = -x2+8x-8Ay= 22227当3Vx1时，如图，点Q在CD上运动，P在与点E重合尸 xP尸+，(QO+P/)X。尸y=SzAFr+S 梆 pw= 22,由题意知，AP=3 亚，则 AF=PF=3, DQ=2x-4, DF=4-3=1,x3x3 + (2x-4 + 3)xl = x32 + (2x-l) = x-4.厂 2222tl>ZX£iq3& 竺(3) x=8 或 x= 4【知识点】分类讨论；勾股定理；三角形面积；梯形面积26. (

28、2019吉林省，26, 10分)如图，抛物线y=(x-D'+k与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C (0, -3), P为抛物线上一点，横坐标为m,且m>0(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P位于x轴下方时，求AABP的面积的最大值；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h求h关于1n的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；当h=9时，直接写出aBCP的面积.【思路分析】(1)由题意知，C点在抛物线上，所以把点C代入解析式即可求出此抛物线的解析式;(2)如图，过点P作PH_Lx轴于点H,贝!) SzunFSw+

29、s处尸"X A" + L 尸H X 8"=，尸H x A8,y=(x-l尸-4,当 y=0 时，xZ,川3；"(-1, 0),B(3, 0) AAB=4,P 的横坐标为 m,，P的纵坐标为(m-l)2-4=mL2m-3, .P(m,m2-2m-3) APH=-ma+2m+3,从而可以求出aABP的面积的表达式，进而 求出面积的最大值；(3)由解析式可知抛物线的顶点坐标为(1, -4)分两种情况，当0VmW2时，即点P在点C的下方时，h=-3-(-4)=l;当 m>2 时，点 P 在点 C 的上方，h=m-2m-3-(-4)=ma-2m+l, 综上所述* m->2当h=9时，代入中的关系式求出m的值，代入4BCP的面积算式，求出4BCP的面积【解题过程】(1) Vy=(x-l)3+k, C (0, -3)在抛物线上，Ak=-4,.抛物线的解析式为y=(x-l)a-4 如图，过点P作PHLx轴于点H,-PHxAH+-PHxBH=-PHxAB早米墙累, 力 J 0 3.8 4C 12AA二中生艇，0 51c次/淳，人） 畤血7的出-I）g* ©"ACM