数学文一轮教学案：第二章第5讲　指数与指数函数 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第5讲指数与指数函数考纲展示命题探究1根式的概念根式符号表示备注若xna，则x叫做a的n次方根n>1且nn*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数0的n次方根是0当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±负数没有偶次方根两个重要公式(1)(2)()na(a必须使有意义)2分数指数幂的意义(1)a(a>0，m、nn*，n>1)；(2)a(a>0，m、nn*，n>1)3有理数指数幂的运算性质(1)ar·asars(a>0，r，sq)；(2)(ar)sars(a>0，r

2、，sq)；(3)(ab)rarbr(a>0，b>0，rq)4指数函数概念及性质(1)指数函数的概念函数yax(a>0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是r，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kr且k0，a>0且a1)的函数叫做指数型函数(2)指数函数的图象和性质底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为r，值域为(0，)函数图象过定点(0,1)，即x0时，y1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域

3、r上为增函数函数在定义域r上为减函数注意点指数函数的底数对于图象及性质的影响(1)当指数函数的底数大于1时，底数越大，图象上升越快；当底数大于0且小于1时，底数越小，图象下降越快(2)指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.1思维辨析(1)与()n都等于a(nn*)()(2)2a·2b2ab.()(3)函数y3·2x与y2x1都不是指数函数()(4)若am<an(a>0且a1)，则m<n.()(5)函数y2x在r上为单调减函数()(6)函数yax21(a>1)的值域是(0，)()答案

4、(1)×(2)×(3)(4)×(5)(6)×2已知a，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的关系为()amn<0 bmn>0cm>n dm<n答案d解析0<<1，f(x)axx，且f(x)在r上单调递减，又f(m)>f(n)，m<n，故选d.3函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()aa>1，b<0ba>1，b>0c0<a<1，b>0d0<a<1，b<0答案d解析由f(x)axb的图象可

5、以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的，所以b<0，故选d.考法综述高考中考查内容多以指数函数的图象和性质为主，往往与其他函数相结合考查，如：图象的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等主要以选择题、填空题形式出现命题法指数的运算性质，指数函数的图象及性质典例(1)设a20.3，b0.32，clogx(x20.3)(x>1)，则a，b，c的大小关系是()aa<b<c bb<a<ccc<b<a db<c<a(2)已知函数y

6、kxa的图象如图所示，则函数yaxk的图象可能是()(3)若方程|3x1|k有两个解，则实数k的取值范围是_解析(1)x>1，c>logxx22，又1<a20.3<2,0<b0.32<1，则b<a<c.故选b.(2)由函数ykxa的图象可得k<0,0<a<1，又因为与x轴交点的横坐标大于1，所以k>1，所以1<k<0.函数yaxk的图象可以看成把yax的图象向右平移k个单位得到的，且函数yaxk是减函数，故此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选b.(3)曲线y|3x1|与直线yk的图象如图所示，

7、由图象可知，如果y|3x1|与直线yk有两个公共点，则实数k应满足0<k<1.答案(1)b(2)b(3)(0,1)【解题法】与指数函数有关问题的解题思路(1)利用指数函数性质时，一般应画出指数函数yax(a>0且a1)的图象，抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论(3)求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先，要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问

8、题归结为内层函数相关的问题加以解决1已知a2，blog2，clog，则()aa>b>c ba>c>bcc>a>b dc>b>a答案c解析由指数函数及对数函数的单调性易知0<2<1，log2<log210，log>log1, 故选c.2.当x(，1时，不等式(m2m)·4x2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()a(2,1) b(4,3)c(1,2) d(3,4)答案c解析原不等式变形为m2m<x，函数yx在(，1上是减函数，x12，当x(，1时，m2m<x恒成立等价于m2m<2，解得1&l

9、t;m<2.3函数f(x)2|x1|的图象是()答案b解析f(x)故选b.4已知4a2，lg xa，则x_.答案解析4a2，alog42.由lg x，得x10.5某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析由题意得，即，所以该食品在33 的保鲜时间是ye33kb(e11k)3·eb3×19224(小时)已知函数ybax(a，b是常数且a>0，a1)在区间1,0上有ymax3

10、，ymin.试求a，b的值错解错因分析错误地认为函数在区间上的最大(小)值就是区间端点的值正解当a>1时，函数ybax在区间1,0上递增，则解得当0<a<1时，函数ybax在区间1,0上递减，则解得所以或心得体会时间：45分钟基础组120xx·冀州中学热身下列函数中值域为正实数的是()ay5x by1xcy dy答案b解析1xr，yx的值域是正实数，y1x的值域是正实数故选b.2. 20xx·枣强中学热身已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()ac<a<b bb<a<cca<c<b da<b<c答案b解析

11、把b化简为b，而函数yx在r上为减函数，>>，所以<<，即b<a<c.320xx·冀州中学周测设函数f(x)若f(a)<1，则实数a的取值范围是()a(，3) b(1，)c(3,1) d(，3)(1，)答案c解析若a<0，则由f(a)<1得a7<1，即a<83，所以3<a<0，若a0，则由f(a)<1得<1，所以0a<1.综上，a的取值范围是3<a<1，即(3,1)420xx·衡水二中一轮检测已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()a5 b7c9 d1

12、1答案b解析f(x)2x2x，f(a)3，2a2a3.f(2a)22a22a(2a2a)22927.520xx·衡水二中猜题若函数f(x)a|2x4|(a>0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()a(，2 b2，)c2，) d(，2答案b解析f(1)得a2.又a>0，所以a，因此f(x)|2x4|.因为g(x)|2x4|在2，)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是2，)620xx·枣强中学月考函数y的单调递增区间是()a. b(，1c2，) d.答案d解析由x2x20知，函数定义域为1,2，x2x22.当x时，u(x)x2x2递减，又yx在定义

13、域上递减，故函数y的单调递增区间为.720xx·衡水二中预测不等式2x22x>x4的解集为_答案x|1<x<4解析不等式2x22x >x4可化为x22x>x4，等价于不等式x22x<x4，即x23x4<0，解得1<x<4，所以解集为x|1<x<4820xx·武邑中学期末已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，若f(2x1)>f成立，则x的取值范围是_答案解析由题可知f(x)在区间(，0上单调递增，若f(2x1)>f成立，则<2x1<，即<x<.920xx·衡水二中热

14、身已知0x2，则y43·2x5的最大值为_答案解析令t2x，0x2，1t4，又y22x13·2x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.1020xx·衡水中学热身函数f(x)ax(a>0，且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大，求a的值解当a>1时，f(x)ax为增函数，在x1,2上，f(x)最大f(2)a2，f(x)最小f(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍)或a>1.a.当0<a<1时， f(x)ax为减函数，在x1,2上，f(x)最大f(1)a，f(x)最小f(2)a2.aa2.a(2a1)0，a0(舍)

15、或a.a.综上可知，a或a.1120xx·武邑中学月考已知函数f(x)2x，g(x)2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)g(x)0的x的值解(1)g(x)2|x|2，因为|x|0，所以0<|x|1，即2<g(x)3，故g(x)的值域是(2,3(2)由f(x)g(x)0，得2x20，当x0时，显然不满足方程，即只有x>0时满足2x20，整理得(2x)22·2x10，(2x1)22，故2x1±，因为2x>0，所以2x1，即xlog2(1)1220xx·武邑中学一轮检测已知函数f(x)b·ax(其中a，b为

16、常量，且a>0，a1)的图象经过点a(1,6)，b(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在x(，1时恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过点a(1,6)，b(3,24)，则所以a24，又a>0，所以a2，则b3.所以f(x)3·2x.(2)由(1)知a2，b3，则x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在x(，1时恒成立又因为yx与yx均为减函数，所以yxx也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值.所以m，即m的取值范围是.能力组13. 20xx·冀州中学一轮检测已知函数f(x)|2x1|，a<b<c，且f(a)&g

17、t;f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是_a<0，b<0，c<0；a<0，b0，c>0；2a<2c；2a2c<2.答案解析由图示可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故错；f(a)|2a1|，f(c)|2c1|，|2a1|>|2c1|，即12a>2c1，故2a2c<2，成立又2a2c>2，2ac<1，ac<0，a>c，2a>2c，不成立1420xx·枣强中学预测设函数f(x)则方程f(x)的解集为_答案解析当x0时，解2x得x1；当x>0时，解|log2x|得x或x.所以方程f(x)的解集为.15. 20xx·衡水中学仿真已知函数f(x)若a>b0，且f(a)f(b)，则bf(a)的取