【名师押题】高考数学理二轮热点突破讲练【第四讲】不等式含新题详解

1、高考数学精品复习资料 2019.5第四讲不等式不等式1(一元二次不等式的解法)(20xx·广东高考)不等式x2x2<0的解集为_【解析】方程x2x20的两根为x12，x21，故不等式x2x2<0的解集为(2,1)【答案】(2,1)2(不等式的性质)设a、b为非零实数，且ab，给出下列四个结论：a2b2，ab2a2b，.其中所有正确结论的序号是_【解析】当a0b且|a|b|时，易知错误；当0ab时，ab2a2bab(ba)0，即ab2a2b，则错误；而0恒成立，故正确【答案】3(“三个二次”问题)不等式ax2bxc0的解集是x|1x5，则函数f(x)ax2bxc的单调递增区

2、间是_ .【解析】由已知得a0，二次函数f(x)ax2bxc的对称轴为x2，故函数f(x)ax2bxc的单调递增区间为(，2【答案】(，24(线性规划)若实数x，y满足不等式组且xy的最大值为9，则实数m_.【解析】如图，设xy9，显然只有在直线xy9与直线2xy30的交点处满足要求，解得此时x4，y5，即点(4,5)在直线xmy10上，代入得m1.【答案】15(基本不等式)设x，yr，且xy0，则·的最小值为_【解析】54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立【答案】9比较大小与不等式的解法 (1)(20xx·黄冈模拟)设ab1，c0，给出下列三个结论：；acbc；l

3、ogb(ac)loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()abcd(2)(20xx·四川高考)已知f(x)是定义域为r的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_【思路点拨】(1)根据不等式的性质与函数的单调性判断(2)先求f(x)5的解集，再求f(x2)5的解集【自主解答】(1)由ab1得，而c0，故，因此正确；对于幂函数yxc，(c0)在(0，)上是减函数，而ab1，故acbc，因此正确；由ab1，c0知，acbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，即logb(ac)loga(bc)，故正确(2)设x<0，则x>

4、0.当x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)f(x)是定义在r上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x<0)，f(x)由f(x)5得或x5或x5.观察图象可知由f(x)<5，得5<x<5.由f(x2)<5，得5<x2<5，7<x<3.不等式f(x2)<5的解集是x|7<x<3【答案】(1)d(2)x|7<x<31比较两数(代数式)大小的“两种”思路(1)利用不等式的性质、基本不等式比较大小；(2)利用函数的单调性比较大小，必要时需构造函数2几类不等式的解题指导思路(1)求解一元二次不等式的

5、基本思路：先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、 对数不等式的基本思路是利用相关知识转化为整式不等式(组)求解(3)解含“f”的不等式，首先要确定f(x)的单调性，然后根据单调性转化为不等式求解变式训练1(20xx·重庆高考)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115 ，则a ()a.b.c.d.【解析】由x22ax8a2<0(a>0)得(x2a)(x4a)<0(a>0)

6、，即2a<x<4a，故原不等式的解集为(2a,4a)由x2x115得4a(2a)15，即6a15，所以a.故选a.【答案】a基本不等式及其应用 (1)(20xx·山东高考)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()a0 b1c. d3(2)设x，y为实数，若4x2y2xy1.则2xy的最大值是_【思路点拨】(1)把z用x，y表示，先求的最值，并求得此时x、y的关系，从而可得z与y的关系，再把所求用y表示，最后求最值(2)根据4x2y2(2xy)24xy,2xy2求解【自主解答】(1)zx23xy4y2(x0，y0，z0)，1.当且仅当，即

7、x2y时等号成立，此时zx23xy4y24y26y24y22y2，21，当y1时，的最大值为1.(2)4x2y2xy1，(2xy)23xy1×2xy1×21.(2xy)2.(2xy)max.【答案】(1)b(2)1一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数或含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值2在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件3在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax的形式，常用的方法是变量分离和

8、配凑法变式训练2(1)(20xx·宜昌模拟)设a>0，若关于x的不等式x5在x(1，)恒成立，则a的最小值为()a16 b9 c4 d2(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a. b. c5 d6【解析】(1)x(x1)121，当且仅当x1时，等号成立由215得a4.(2)x>0，y>0，由x3y5xy，得5.5(3x4y)(3x4y)()1313225.因此3x4y5，当且仅当x2y时等号成立，当x1，y时，3x4y有最小值5.【答案】(1)c(2)c线性规划问题 (1)(20xx·四川高考)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大

9、值为a，最小值为b，则ab的值是()a48 b30 c24 d16(2)(20xx·浙江高考)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.【思路点拨】(1)画出不等式组表示的平面区域，找出目标函数y的最优解，进而求得a，b的值(2)画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k的值【自主解答】(1)由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z5yx，得y.由图知目标函数y，过点a(8,0)时，zmin5yx5×088，即b8.目标函数y过点b(4,4)时，zmax5yx5×4416，即a16.ab16(8)24，故选c.(2)作出可行

10、域如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线ykxz经过点m(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0时，直线ykxz经过点m(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意综上可知，k2.【答案】(1)c(2)21线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围2解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决变式训练3

11、(1)(20xx·潍坊模拟)已知o是坐标原点，点a(1,1)，若点m(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是()a1,0b0,1c0,2 d1,2(2)(20xx·课标全国卷)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()a.b.c1d2【解析】(1)作出可行域，如图所示a(1,1)，m(x，y)·xy.记zxy，作l0：xy0.易知，过点(1,1)时，z有最小值，zmin110；过点(0,2)时z有最大值，zmax022.·的取值范围是0,2(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点a时，z

12、取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选b.【答案】(1)c(2)b从近两年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值、线性规划的实际应用问题等是高考的热点，题型多样，难度中等偏下主要考查求目标函数的最值、求约束条件或参变量的取值范围，突出体现数形结合、分类讨论的思想方法运用几何直观求解线性规划问题 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点p(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()a.b.c. d.【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点p(x0，

13、y0)满足x02y02，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即m<m1，解得m<.【答案】c【阅卷心语】易错提示(1)对m没有分类讨论意识，无法作出不等式组表示的平面区域(2)对特称命题的意义理解不清，难以借助几何直观从平面区域的边界点a(m，m)与直线yx1的关系找到解题突破口防范措施(1)当字母参数的值影响到平面区域的形状、位置时，应分类讨论(2)树立数形结合的意识，把平面区域内存在点p(x0，y0)满足x02y02，转化为点a(m，m)在直线yx1的下方，从而求得m的范围1若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()a.b1c.d2【解