一轮北师大版理数学教案：第2章 第2节　函数的单调性与最值 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第二节函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质1函数的单调性(1)增、减函数增函数减函数定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间a上，如果对于任意两个数x1，x2a当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间a上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间a上是递增的当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间a上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间a上是递减的(2)单调区间和函数的单调性如果函数yf(

2、x)在区间a上是增加的或是减少的，那么称a为单调区间如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性(3)单调函数如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数2函数的最值前提函数yf(x)的定义域为d条件(1)存在x0d，使得f(x0)m；(1)存在x0d，使得f(x0)m；(2)对于任意xd，都有f(x)m(2)对于任意xd，都有f(x)m结论m为最大值m为最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数y在其定义域上递减()(2)函数yx

3、在其定义域上递增()(3)对于函数f(x)，xd，若x1，x2d且0，则函数f(x)在d上是增加的()(4)若函数f(x)的最大值是m，最小值是m，则函数f(x)的值域一定是m，m()答案(1)×(2)(3)(4)×2(20xx·北京高考)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是() 【导学号：57962027】aybycos xcyln(x1)dy2xd选项a中，y在(，1)和(1，)上为增函数，故y在(1,1)上为增函数；选项b中，ycos x在(1,1)上先增后减；选项c中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上为增函数；选项d

4、中，y2xx在r上为减函数，故y2x在(1,1)上是减函数3(教材改编)函数f(x)在1,2上的最大值和最小值分别是_，1f(x)2在1,2上是增加的，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.4函数y(2k1)xb在r上是减函数，则k的取值范围是_. 【导学号：57962028】由题意知2k10，得k.5f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.1,38f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.函数单调性的判断(1)函数f(x)log2(x21)的递减区间为_(2)试讨论函数f(x)x(k0)的单调性(1)(，1)由x210得

5、x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的递减区间为(，1)(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).2分因为0x1x2，所以x2x10，x1x20.故当x1，x2(，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(，)上递增.6分当x1，x2(0，)时，f(x1)f(x2)，即函数在(0，)上递减考虑到函数f(x)x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单

6、调性，故在(，)上递增，在(，0)上递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递减.12分法二：f(x)1.2分令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，).6分令f(x)0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，).10分故函数f(x)在(，)和(，)上递增，在(，0)和(0，)上递减.12分规律方法1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(

7、1)变式训练1(1)(20xx·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()ayx3bycydyx(2)函数f(x)log(x24)的递增区间是()a(0，)b(，0)c(2，)d(，2)(1)c(2)d(1)选项a，b中函数在定义域内均为递增函数，选项d为在定义域内为递减函数，选项c中，设x1x2(x1，x20)，则y2y1，因为x1x20，当x1，x2同号时x1x20，0，当x1，x2异号时x1x20，0，所以函数y在定义域上不是单调函数，故选c.(2)由x240得x2或x2，所以函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函

8、数的递增区间，即求函数tx24的递减区间，可知所求区间为(，2)利用函数的单调性求最值已知f(x)，x1，)，且a1.(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围. 【导学号：57962029】思路点拨(1)先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论解(1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，f(x)minf(1)12.4分(2)f(x)x2，x1，)法一：当a0时，f(x)在1，)内为增函数f(x)minf(1)a3.要

9、使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.7分当0a1时，f(x)在1，)内为增函数，f(x)minf(1)a3，a30，a3，0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1.10分法二：f(x)x20，x1，x22xa0，8分a(x22x)，而(x22x)在x1时取得最大值3，3a1，即a的取值范围为(3,1.12分规律方法利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练2(20xx·北京高考)函数

10、f(x)(x2)的最大值为_2法一：f(x)，x2时，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上递减，f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的图像是将y的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的y在2，)上递减，f(x)在2，)上递减，故f(x)在2，)上的最大值为f(2)2.法三：由题意可得f(x)1.x2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值为2.函数单调性的应用角度1比较大小(20xx·山东高考)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()aa<b<cba<c<bcb&l

11、t;a<cdb<c<ac因为函数y0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.因为函数yx0.6在(0，)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.61，即c>1.综上，b<a<c.角度2解不等式f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集为_(8,9因为211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8<

12、x9.角度3求参数的取值范围(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是递增的，则实数a的取值范围是()a.bc.d(2)已知函数f(x)若f(x)在(，)上递增，则实数a的取值范围为_ 【导学号：57962030】(1)d(2)(2,3(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域r上是递增的，故在(，4)上递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上递增，所以a0，且4，解得a0.综上所述，实数a的取值范围是.(2)要使函数f(x)在r上递增，则有即解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3规律方法1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然

13、后利用函数的单调性解决2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数易错警示：(1)若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值思想与方法1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单