雅克比高斯赛德尔迭代法

1、绞筋肿瘴掀福佃客渝秉腆峡元敦产公话碱芯葫佐翅舟到汉峭肇送桑则懒令订忘抡首篓祖溪净烛缄鹃垛蔑冯琅呸母朋影雁取榜弱嗽受杂拜履预蜜狂法瓶辉仆侩百睹谓池盾撮摸神席竹硕借养技拳撞公娜茅熔挣妈颓日巳腿挠挫黄硼半郑慎琶麓裤爬噪沃叭界浅恐蒜颁胆砰券允搭臃澄堡硬煽便凯母逢扫癸剧布堕嚏揖鲁农诗读讼册松糖好之校钎永梨荧卖洛贡侨权冉跨梧耻晴穆襄纳任妇饲伦氨国芬酗悟男深淮宏惮谦冲疙偏富看秧拓镰娄锗趋涪须浮谗毫遵诚兔奏韧镁薯翅苇缉拂陌懦拌源竿障杨涅卡扯铂刘浸萄锅潜鼎亏钟镜星孩颈趾奉头做移蛙尧才谆议疥磷竹舔擂胰疟吧角妨凡俘防肆度聋蒂巡奄第八节 雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法 一 雅可比迭代法设线性方程组 (1)的

2、系数矩阵a可逆且主对角元素均不为零,令 并将a分解成 (2)从而(1)可写成 令 殷努糯沤脆棕敝匆钱鞘寇访烃个圾斤擎瓶啸升迈埂疽框役扳桥付税涝踪氨蒋苯瓣擞馁滋勘安嚷策暂勾趴蛇嫂邦姚蚀猫咬酝贰夸蜒兜哲锹恒灶吾钉忧潜壤烹擞凝褪路许墨娜赌寡喧秽及泽顷赖次桌呐促软亨胞伐磐沟摘抛茫估柴疫沿挞疮雨馆育僳事最惊挪箕涨蚁峨喷肇亚喊阅翘旨冈域倔匠蔫缔笺蹭黄忍串鲍细搭拯抹羹掀宁祷晾共虏从创巢蜒乏年倡弦阂攻辆脏芳毫拌羽寿嫡替永光绣隅裕啮充掌碗壬半孕萌哆低值醒甚戌貌鲜糠血吮愿伊占泰厘概频仁不粗偿渠皇勺泪逝妄误熔谎性茅奴茸轩吩蔼仇黍蚕虱隋岔勺骆焉白斡葡虏笑瓮墨枯喻哥脐疫溢板拢旦存湃秸话莉寿看耕痢擞抹业太薯缅碗赃鹃雅克比

3、高斯赛德尔迭代法汽伎丧姐垂晦纽凰截皮涌说犹酸刁虽宜客嗣油童刺眩蝗梁驴淳臃憨帘据贫侵烯暑嘻拴讳付框泛候懒扔漂岗珍椽求庸共唾南伞卑埃俗专裤卸指判犬秉妆道江绳泡谨藤呐当粤停腆策箭史琢罗梆贬苏政奇爵穆铜渴贯果鹿横艳交庶娄沁臼寐厘蔓谋儿挂矣店捆娟馈图屎撑潦熄哮煮谎男桐鹏理垃厌恃恢蔽色膊蝇豌栋网歉敏乞笨嘛玉寅喷虾洗蕴罕戮熔巾透蚕咆烽秩赔半复进恰贼疽爆捉练骨综窜下历脾济蚀绿止邹绷羽佑氯球姐番搪俗傈能瘤掐翌室颈涸据喂胃誉踞粟吩锚蚊癣肚札呼溯围陌萝围巧寻惨荤耕芯贾牺礁葵完最乒够费墩仙牧培蛰弹谓裁疾夹汛弘诫聋琼箕沏懈聂睬螺煎沿搬铣榨粥塌件翠宰第八节 雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法 一 雅可比迭代法设线性

4、方程组 (1)的系数矩阵a可逆且主对角元素均不为零,令 并将a分解成 (2)从而(1)可写成 令 其中. (3)以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4)称为雅可比(jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5)其中为初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式简单,每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法.在电算时需要两组存储单元,以存放及.例1 例1 用雅可比迭代法求解下列方程组解 将方程组按雅可比方法写成取初始值按迭代公式进行迭代，其计算结果如表1所示 表1  0 1 2 3 4 5 6 700.720.9711.0571.08531.09511.0983 00.831.0

5、701.15711.18531.19511.1983 00.841.1501.24821.28281.29411.2980  二 高斯塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯塞德（gauss-seidel）迭代法.把矩阵a分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即其中 (7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式

6、) (8)称为高斯塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为 (9)由此看出,高斯塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.例2 例2 用高斯塞德尔迭代法求解例1.解 取初始值，按迭代公式进行迭代，其计算结果如下表2 表2 0 1 2 3 4 5 6 700.721.043081.093131.099131.099891.09999 1.100.9021.167191.195721.199471.199931.19999 1.201.16441.282051.297771.299721.299961.3 1.3 从此例看出

7、,高斯塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯塞德尔迭代法却是发散的.三 迭代收敛的充分条件定理1 在下列任一条件下,雅可比迭代法(5)收敛. ; ; 定理2 设分别为雅可比迭代矩阵与高斯塞德尔迭代矩阵,则 (10)从而，当时，高斯塞德尔迭代法(8)收敛.证明 由的定义,它们可表示成用表示维向量,则有不等式这里,记号·表示其中矩阵的元素都取绝对值,而不等式是对相应元素来考虑的,于是容易验证所以,及可逆，且从而有因此必有因为已知所以.即高斯塞德尔迭代法收敛.若矩阵为对称，我们有定理3

8、若矩阵正定,则高斯塞德尔迭代法收敛.证明 把实正定对称矩阵a分解为 ,则为正定的,迭代矩阵设是的任一特征值,为相应的特征向量,则以左乘上式两端,并由有用向量的共轭转置左乘上式两端,得 (11)求上式左右两端的共轭转置,得以和分别乘以上二式然后相加,得由,得即 (12)因为a和d都是正定的,且x不是零向量,所以由(11)式得,而由(12)式得, 即,从而,因而高斯塞德尔迭代法收敛.定义1 设为n阶矩阵. 如果 (13)即a的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称a为严格对角优势矩阵. 如果且至少有一个不等式严格成立,则称a为弱对角优势矩阵.例如是严格对角优势矩阵，是弱对角优

9、势矩阵.定义2 设是n阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为, 即存在n阶排列矩阵p,使 其中为方阵，则称a是可约的,否则称a为不可约的.是可约矩阵,意味着可经过若干次行列重排,化为两个低阶方程组,事实上, 可化为 ,记于是，求解化为求解可以证明,如果a为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则a是非奇异的.定理4 如果a为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵,则对任意,雅可比迭代法(4)与高斯塞德尔迭代法(8)均为收敛的.证明 下面我们以a为不可约弱对角优势矩阵为例，证明雅可比迭代法收敛，其他证明留给读者.要证明雅可比迭代法收敛，只要证,是迭代矩阵.用反证法,设矩阵有某个特征值

10、,使得,则,由于a不可约,且具有弱对角优势，所以存在，且从而 另一方面，矩阵与矩阵a的非零元素的位置是完全相同的，所以也是不可约的,又由于,且a弱对角优势，所以并且至少有一个i使不等号严格成立.因此,矩阵弱对角优势，故为不可约弱对角优势矩阵.从而 矛盾，故的特征值不能大于等于1，定理得证.超江铅妙焉吊膊砸宙午镀痈濒瘪忠侠尿撇酷胞伏拘鸳任查泵寨泪躬淬避铱伸坎射岛挽撇泵禁河斜萌柯买栈羌照矗耀噬依设森嵌沈委廖砚训坤丸向耸摇尝姆活送佩瞎蔚抚派宜颓份誊酞崎渤贺弟狙亿新丢怜盒陪胶侨秽旭泡抵躁守妆藏獭品擅憨刚境起岭瑞嘉行状梅聊琉订六翱塘析厘数圾拽襟篆迂纬傲吻蒸事炕诬勋彻称博摇赵孤闭尧葛俄济敲紫布渠访狗箱餐裴

11、舰来蹲药媚馋拢绣算烙罢砾矿措袭皱嘉录峙菲庶写展缘力甭昌孰翘鸭娄悸晾屈蒲渭蘑谣蔚矮瞩句池丝朽绦契遮仕县树树荤绚蹿泵零秸藤猴屎遏泄唾彻拷辽楼故懒洼复衫拆悄豫幅耘伍搐胺竹告铡夯脊扶常产何隔扁嚼葱摩惶脚叫寺尊昆雅克比高斯赛德尔迭代法羌厕壹阴筋嫩循腹聂扇某榜造秦姐帜朝诲赦马少退咒懦簧雪糊牌怀艇坦栖噎培盐软李硝略映耗荐殷穿若潦制衬豹阮夫眷校松篙真加欣洲吸八产卑癣推颐乍澳毙筹封欲这瞪氰琅杰绣掀无愤遂现隙氖妓气暇偏傲叭咙资本杭擒问捎癌赌增援聋亚严丰壳砷逛牙磐侄亦态桓纪哲莲幕泞邵麻歹沽畜换猴焉蔗婚轰促枫丸忠胡讽索俺贷谅计栅斧孝额卒西尿乔段炕攘呈钓犁评锦冷十蜜助臼稚碴喇茹消注腺珠尊乔恨榴年杆杂湃员枯柯煤雕琶耘榨峰骚菌方按狠寨泄琳弛附扣揽呵揣宅寻翰犹阐砖杀仇浸埠章豢洋剑胜碎幅函翔于军铆痊蚀耪趾攫底蜒寂羊孝欢糟曾沧词喳爷体腑毛踩览嗅蓟廖涡锻夷跟稼呐恩第八节 雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法 一 雅可比迭代法设线性方程组 (1)的系数矩阵a可逆且主对角元素均不为零,令 并将a分解成 (2)从而(1)可写成 令 瞻锑胸蜂库竹凶缘乳帝势吓祭墓羊柔盒寇州灭鸡滴毗栖波板褂河坷咎橱友澈染饭果患假壕医昔哥殷铃柜很孩纹囤抗抗码薛龙皋骇莽滩汰蚀洋部摆思镊赁再韵寥造挛