理论力学二章

1、第二章：有心运动第二章：有心运动 2.1 有心力和有心运动有心力和有心运动 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过如果运动质点受到的力及其作用先总是通过惯性系中惯性系中的某一固定点，这样的力的某一固定点，这样的力(场场)叫做叫做有心力（场）有心力（场），力所指向或背向的固定点叫，力所指向或背向的固定点叫做做力心力心，指向力心的有心力叫做，指向力心的有心力叫做引力引力，背向，背向力心的是力心的是斥力斥力。 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做的函数，在有心力作用下质点的运动叫做有心运动有心运动。 有心力的特性：有心

2、力的特性： 质点做有心运动时角动量守恒质点做有心运动时角动量守恒（质点所受到的力（质点所受到的力始终沿着力心，导致其对力心的力矩始终为始终沿着力心，导致其对力心的力矩始终为0 0） 质点做有心运动时，机械能守恒质点做有心运动时，机械能守恒（有心力是保守（有心力是保守力，质点在保守力的作用下运动，只发生势能和动力，质点在保守力的作用下运动，只发生势能和动能的相互转化，总的机械能保持恒定）能的相互转化，总的机械能保持恒定）mdtldvte 有心运动的运动方程有心运动的运动方程 在平面极坐标系下面考虑有心运动，则质点的动量在平面极坐标系下面考虑有心运动，则质点的动量矩（角动量）与极坐标平面垂直，质点

3、运动微分方矩（角动量）与极坐标平面垂直，质点运动微分方程为：程为：0)2()()(2frrmrffrrmr (1)(1)(2)(2)dtrdrrr)(122 注意到关系式注意到关系式因而有因而有0)(2dtrdhr2其对应的积分为其对应的积分为kmreemrereremrvmrkllrrr220)()(因而有因而有又又hmlr02h 为单位质量具有的角动量为单位质量具有的角动量,是一个守恒量是一个守恒量hrmrfrr 22)()1(2rddhddrrhddrdtdddrr进行变换进行变换ru1将将2222222duduhdudhrhudduhr 2222()( )d umh uuf ud有心运

4、动的轨道微分方程有心运动的轨道微分方程 - binet （比内（比内)公式公式2( )f rrrm代入代入 例题：例题：已知一行星在有心力场中运行的轨道为圆锥曲已知一行星在有心力场中运行的轨道为圆锥曲线线 ， 其中其中p p为半正焦弦，为半正焦弦，e e为偏心为偏心率，极轴沿椭圆长轴方向，试用率，极轴沿椭圆长轴方向，试用 binet binet 公式求出行星公式求出行星所受到的力。所受到的力。)cos1/(eprpeurucos11解：由解：由 binet binet 公式可得公式可得则行星所受的力为：则行星所受的力为：2222221cos1cosrpmhupmhpepeumhf2.2 2.2

5、 距离平方反比引力下的质点运动距离平方反比引力下的质点运动 距离平方反比引力形式距离平方反比引力形式rerkf22ru122)()(ukufrf作变量代换作变量代换re)()(2222222222mhkumhkuddmhkududgmmk2)()(2222ufududumh)cos(1022amhkru)cos(1)cos(102222022akmhkmhamhkr如果令如果令akmhekmhp2222)cos(10epr则可得则可得cos1 epr令令00 轨道的特性轨道的特性0在近日点在近日点在远日点在远日点epr1epr1在近日点和远日点处，质点离开力心的距离取极值，在近日点和远日点处，质点离开力心的距离取极值，可以得到在此两处质点的径向速度为可以得到在此两处质点的径向速度为0取无穷远处为势能零点，则可得质点所具有的势能取无穷远处为势能零点，则可得质点所具有的势能为：为：rkdrrkdrrfrvrr222)()(cos1 epr有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械能守恒能守恒mmrkrmvte22)(212221kmhpeprhrmmekmhe