大数定理与中心极限定理

1、Chebysherv 不等式、Chebysherv不等式定理:设随机变量X的数学期望与方差存在，且E（X）二“,D（X） = a则对于任意的实数£>0恒有2 2Px->S< J PX-M<S>1- 证明：（对连续型情况证明）设随机变量X的概率密度为/（兀）.对于X的取值X，当x>8时，便有（八“）2 >29 一 f （x）dx（扩人被积函数8（X-“）=扩大积分区域）8S2所以有 P|X-“I >s= J f(x)dx<+C0coJ （兀-“）2 2注意PX -£ £二、Chebysherv不等式的应用>

2、概率的估算2p“-g<x < “+& n 1-牛例41设一种小麦品种在某产地的平均产量为750斤， 标准差为15斤，试求该小麦品种今年在该地区亩产 量在700于800斤之间的概率。解：设该地区次小麦品种的亩产量为X 由题设知E(X) = 750 D(X) = 152,由C屁勿s屁rv不等式有P700 v X v 800 = P|X - 750| < 50 > 1 二 q 0.9115>理论证明的工具例42设X为随机变量，D(X) = OPX=c = l 证明：充分性显然成立。必要性由于D(X) = O由Chebysherv不等式，对于任意£0有1

3、>P|X- E(X)| <£：>1-£即有 P|X_E(X)|<gwl 由于前勺任意性，便有尸X二E(X)三1 选c = E(X)便得所要结论。注意：这说明当0X) = 0时，X就失去了随机性。The law of large numbers-、大数定律的客观背景耳、右土甘事件发生的频率稳定于某一常数人里随机试验小测量值的算术平均值具有稳定性大量抛掷硬币正面出现频率文章中字 母使用频率生产过程中的废品率二、两个常用的大数定理>随机变量序列依概率收敛的概念Def设X,X2,X“,是一个随机变量序列，a是 一个常数，看对于彳壬意正数£,有

4、limPI Xn -a<s = ltis则称序列X|, X2,X”,依概率收敛于Q,记为X.亠a注意：X“依概率收敛于Q,意味对任意给定的£>0, 当充分大时，事件|X“-g的概率很大，接近于1； 并不排除事件|X”-的发生，而只是说他发生的 可能性很小；衣概率收敛比高等数学中的普通意义下 的收敛弱些，它具有某种不确定性。>大数定理 定理1 (Chebysherv大数定理)lim PHT+oo11 n詔“詔EM1 n1 n证明：因为E(-工XJ = -E(XJ n t=n t切比雪夫,n. jlChebysherv设X,X”,X”,是独立的随机变量 序列，每个随机变

5、量的数学期望E(XJ 与存在，且存在正实数C,使 得对任意Z有D(X;)<C,则对任意正 实数g>0,恒有由Chebysherv不等式，对于任意的正实数£有D&工 XJj>i£2 2 sns、< 811川I'P 工 X,工 E(XJn i=x n 7Z111 n-工X厂一工Egn i= n #1所以lim PM>+00r推论：（辛钦大数定理是独立同分布 随机变量序列，且数学期望为“，方 差则对于任意的正实数£有lim P/2T+00一“ > = 1丄工X,n i=l1 n该定理表明-Khintchinn上i定理2

6、 （Bernoulli大数定理）设/是次独立重复试验中事件4出现的 次数，p是事件A在每次试验中发生的概 率，则对于任意正实数列恒有lim P刃 T+oO-P <= 1证明：令X严1第歆蛊验出现事件A;雅各布第一伯努利Bernoulli0第i次试验不出现事件A于是有乙丸2,，相互独立，且= pD（XJ =心 1,2,由Chebysherv大数定理有lim P<-p<s = 1/2T+Sn三、大数定理的应用辛钦大数定理（Khintchin大数定理）应用这一定理表明：同一量X在相同条件下观测次,当观测次数充分大时，“观测值得算术平均值接近期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成

7、立:Bernoulli大数定理应用寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径这一定理表明：在相同条件下重复同一随机试验次，当试验次数充分大时，“事件4发生的频率接近其概率”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：/a= 0 F（A）寻找随机事件概率提供 nI了一条实际可行的途径The law of large numbers-、中心极限定律的客观背景在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和）影响所形 成。例如：炮弹射 击的落点与目标的 偏差，就受着许多 随机因素（如瞄准, 空气阻力，炮弹或 炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。那么弹

8、着点服从怎样分布自从高斯发现测量误差服从正态分布之后，人们通过 大量的观察和研究发现，正态分布在自然界中极为常见。 在概率论中，习惯丁把随机变量和的分布收敛丁正态分布 这一类定理叫作审心极限定理。二、两个常用的中心极限定律随机变量序列依分布收敛的概念Def设X,X?,X”是一个随机变量序列，X是 随机变量，其分布函数分别为Ftt(x) n = l,2,-.,F(x) 若对于F(x)的任意连续点兀总有lim 代(x) = F(x)ns则称序列X, X?,X”,依分布收敛于X,记为注意：X”依分布收敛于X,是随机变量序列收敛性的一种重要表述，它把不确定性的极限行为以确定性方式中心极限定理定S3(L

9、indeberg-Levy中心极限定理)设随机变量X, X?，: X“，相互独立，服从同 一分布，且具有数学期望和方差:E(XJ = “, D(X,) =CT2 00 (j = 1,2,)，则对于任意的实数刘 有lim Pe 2 dtr n 工 X,-% i=l y/na理解：在定理条件下，总有n刃一+se 2 dt工 Xj-ny_izJ< xy/na _工Xj-rijLi即随机变量序列i=a/hct依分布收敛于标准正态分布这就表明n工i=a/hct/?->+cON(O,1)"n +s由正态分布的性质 工XiN(nju,na2)这就是说：当充分时，只要乙,2,X”独立同分

10、 布，无论他们服从什么分布，一定有n近似工x, n(叱心)i=l川充分大即：一个由许多独立同分布随机变量作用形成的随机变量, 其概率分布一定是正志分布。定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理)设随机变量X则对于任意的实数尢 有e 2 dtX np证明：因为X E(n,p),由Bernoulli大数定理证明有 X|,X2，,X”为独立同分布于参数为卩的两点分布的随机变量，使得X易知2 = 1E(X) - np D(X) - npq由Lindeberg-Levy中心极限走理知x-叫丄丄limP/?T+Scolim Px _r2e 2dt理解：在定理条件下，总有XN(np,npq).

11、三、中心极限定理的应用> Lindeberg-Levy中心极限定理应用对于独立同分布随机变量序列X”，不管他们服从 什么分布，只要存在有限数学期望和方差，当充分大 时，就有吕 近似hi N(n禺i=l所以，的有关概率问题可利用正态分布求解。1=1> De Moivre-Laplace中心极限定理应用n+s对于随机变量X胁总有XN(npypq因 此，当充分大时，二项分布的概率问题可利用正态分布 解决。一般在实际中n>50,0.1 <<0.9应用效果较理想。例4.3某城市有50个无线电寻呼台，每个寻呼台在1分钟 肉收到的呼叫次数服从参数2 = 0.05的Fobs”分布

12、，求该市 某时刻1分钟内各寻呼台呼叫次数总和超过3次的概率。解：设£表示第2个寻呼台在给定的1分钟内接收到 的呼叫次数(丿= 1,2,)，则该市在给定的1分钟内接收 到的呼叫次数总和八 于是，所求概率为PT>3.50显然 P(0.05)9 E(T) = 2.5 D(T) = 2.5i=l由Lindeberg - Levy中心极限定理有近似T N(2525)5 所以有 PT>3 = 1-PT<31-(D(=) «25=1(0.3162) = 0.3745即该市在1分钟内接收到呼叫次数超过3的概率约为37.45% o400例4.4对于一个学生而言，来参加家长会

13、的家长人数 是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长 来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15。若学校共有400 名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且具有 相同概率分布。(1) 求参加会议的家长数X超过450的概率；(2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多340的概率。解：设Xr伙=1,2,400)表示第E个学生来参加会议 的家长数，贝UX出勺分布律为0Pk0.05120.800.15易知 E(XA) = 1.1 D(Xk) = 0.19 k = l,2,400而X二工Xk由定理4可知随机变量近似400x1.1、讪即有 / 400J1n(0)X 2(400xlh

14、400x0.19)k=7400x0.197400x0.19所以有PX > 450 = PX400x1.1450-400x1.1<400x0.197400x0.19 = l-pX400x1.11z .-<L147>7400x0.19J«1-0(1.147) = 0.1257答：参加会议的家长数X超过450的概率约为12.57%.(2)设丫表示有一名家长来参加会议的学生数，则有Y 5(400,0.8)由De Moivre - Laplace中心极限定理S = 400充分大)有 近似Y N(400x0.& 400x0.8x0.2)7-400x0.8 , 34

15、0-400x0.8py <340 = P所以有7400x0.8x0.27400x0.8x0.2J400x0.8J400x08x02 "(2.5) = 0.9938答：有1名家长来参加会议的学生数不多340的概 率约为9938%例4.5某车间有200台车床，在生产期间由于需要检修、调 换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设每台车床 开工率为0.6,每台车床是否开工是独立的，每台车床在 开工时需电力1千瓦。问应供应多少瓦电力就能以99.9% 的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产？解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观 察该台车床在某时刻是否开工，开工的概率0.6，共进

16、行 200次独立重复试验。用煌示在某时刻开工的车床数， 依题意XB(200Q6)。设有/V台车床开工，也即需要/V千 瓦电。现在的问题转化为：求满足PX</V>0.999的最小 的M由De Moivre - Laplace中心极限定理有近似X N(200 X 0.6,200 x 0.6 x 0.4)所以有 PX 5N = P05X WNN-120由（"999,查正态分布函数值得>3.1N-120a/48 解得 Nn 141.5答：应供应142千瓦电就能以99.9%的概率保证该车间不 会因供电不足而影响生产.例4.6设有一人批种子，其中良种占1/6，今在其中任选 6000粒，试问所选的种子中良种所占的比例与1/6之差小于 1%的概率是多少？以99%的把握断定在6000粒种子中良种 所占比例与1/6之差是多少，相应的良种数落在哪个范围？解：设取出的6000粒种子中良种的粒数为X. 于是有 X3（6000丄）6ZX1“Ip<0.016000 6= P940<X<1060所求概率为1060-1000、/ 、940-1000yflOQO X 5/6 丿000x5/6 JAu 2（2.0785）山 0.9625又设取出