解析几何解答题

1、2015年12月07日博强教育的高中数学组卷一解答题（共30小题）1（2014秋安徽月考）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2（）求椭圆C的方程；（）已知P（0，2），过点Q（1，2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由2（2014河北）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程

2、3（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）4（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值5（2015福建模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内

3、一点，且（O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由6（2014山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值7（2014陕西）如图，曲线C由上

4、半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程8（2014天津二模）已知椭圆C：+=1（ab0）过点（1，），且长轴长等于4（）求椭圆C的方程；（）F1，F2是椭圆C的两个焦点，O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若=，求k的值9（2014四川）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆C的标准方程

5、；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标10（2010河北）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（）求|AB|；（）若直线l的斜率为1，求b的值11（2015南充二模）已知椭圆T：+=1（ab0）经过点P（2，），一个焦点F的坐标是（2，0）（1）求椭圆T的方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若kOAkOB=e21，求证：

6、AOB的面积为定值12（2014辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程13（2015安徽）设椭圆E的方程为=1（ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，证明：MNAB14（2011陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过

7、点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标15（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围16（2015上海模拟）已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程17（2015陕西模拟）已知F1，F2是椭圆+=1（a

8、b0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若椭圆的离心率等于（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程18（2015四川）如图，椭圆E：=1（ab0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且=1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19（2015安徽）设椭圆E的方程为+=1（ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（）求E的

9、离心率e；（）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程20（2014湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=1（）求C1、C2的方程；（）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值21（2015崇明县一模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭

10、圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（kR），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由22（2015鄂州三模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（ab0），的离心率为，且经过点（1，），过椭圆的左顶点A作直线lx轴，点M为直线l上的动点（点M与点A在不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P（1）求椭圆C的方程；（2）求证：APOM；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由23（2015江西一模）已知椭圆=1（ab0）上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为（）求椭圆的方程；（）

11、过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点（1）若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；（2）是否存在这样的直线l，使SABO的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由24（2015山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q （）求的值； （）求ABQ面积的最大值25（2015南市区校级模拟）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），（，0），并且经过点（，）（1）求椭圆的标准方程；

12、（2）若斜率为k的直线l经过点（0，2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求OAB面积的最大值26（2013黑龙江）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（ab0）右焦点的直线x+y=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（）求M的方程（）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值27（2015惠州模拟）已知直线y=2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OPOQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程28（2015

13、济宁二模）如图，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M与点N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值29（2012浙江）如图，椭圆C：=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分（）求椭圆C的方程；（）求APB面积取最大值时直线l的方程30（2014卢湾区校级模拟）已知椭圆的两焦点分别为

14、F1，F2，P是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点（）求P点坐标；（）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程；（）求证直线AB的斜率为定值2015年12月07日博强教育的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014秋安徽月考）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2（）求椭圆C的方程；（）已知P（0，2），过点Q（1，2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理

15、由【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；（）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2k1+k2 为定值【解答】解：（）由题意得，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为=15分（）k1+k2 为定值4，证明如下：6分（）当直线l斜率不存在时，l方程为x=1，由方程组 易得，于是k1=，k2=，所以k1+k2=4为定值8分（）当直线l斜率存在时，设l方程为y（2）

16、=kx（1），即y=kx+k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组，消去y，得（1+2k2）x2+4k（k2）x+2k28k=0，由韦达定理得（*） 10分k1+k2=2k+（k4），将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值13分【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力2（2014河北）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁

17、优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2c2，即可解得a，b；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出SOPQ通过换元再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（）设F（c，0），直线AF的斜率为，解得c=又，b2=a2c2，解得a=2，b=1椭圆E的方程为；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0，当

18、=16（4k23）0时，即时，|PQ|=，点O到直线l的距离d=SOPQ=，设0，则4k2=t2+3，=1，当且仅当t=2，即，解得时取等号满足0，OPQ的面积最大时直线l的方程为：【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题3（2015浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB面积的最大值（O为坐标原点）【考点】直线与圆锥曲线的关系菁优网版

19、权所有【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）可得0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入0，即可解出（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得SOAB=，再利用均值不等式即可得出【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y22mny+n22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意，=4m2n24（m2+2）（n22）=8（m2

20、n2+2）0，设线段AB的中点P（x0，y0），则x0=m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，=+，代入0，可得3m4+4m240，解得m2，或m（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，SOAB=|n|=，由均值不等式可得：n2（m2n2+2）=，SAOB=，当且仅当n2=m2n2+2，即2n2=m2+2，又，解得m=，当且仅当m=时，SAOB取得最大值为【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题4（2015山东）

21、平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q（i）求|的值；（ii）求ABQ面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程菁优网版权所有【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0

22、，y0），|=，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值【解答】解：（）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（）由（）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），|=，由题意可知，Q（x0，y0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所

23、以=2，即|=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m216=0，由0，可得m24+16k2，则有x1+x2=，x1x2=，所以|x1x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则AOB的面积为S=|m|x1x2|=|m|=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由0可得m21+4k2，由可得0t1，则S=2在（0，1递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，ABQ的面积为3S，即ABQ面积的最大值为

24、6【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题5（2015福建模拟）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式

25、，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（c，0），F2（c，0），则由；由得，即所以c=1又因为因此所求椭圆的方程为：（2）动直线l的方程为：，由得设A（x1，y1），B（x2，y2）则假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则=由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1

26、因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生分析问题和推理的能力6（2014山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为（）求椭圆C的方程；（）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求OMN面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方

27、程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y10），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到的值；（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得

28、到OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值【解答】解：（）由题意知，则a2=4b2椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2将y=x代入可得，因此，解得a=2则b=1椭圆C的方程为；（）（i）设A（x1，y1）（x1y10），D（x2，y2），则B（x1，y1）直线AB的斜率，又ABAD，直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m，由题意知k0，m0联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0因此由题意可得直线BD的方程为令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）可得，即因此存在常数使得结论成立（ii）直线BD方程为，令x=0，得，即N（）由（i）知M（3x1，0），可得OMN的面积为S

29、=当且仅当时等号成立OMN面积的最大值为【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题7（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线C2：y=x2+1（y0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为（）求a，b的值；（）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若APAQ，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】向量与圆锥曲

30、线【分析】（）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案【解答】解：（）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点设C1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆C1

31、的方程为+x2=1（y0）易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x1）（k0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点P（xp，yp），直线l过点B，x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，点P的坐标为（，）同理，由得点Q的坐标为（k1，k22k），=（k，4），=k（1，k+2），APAQ，=0，即k4（k+2）=0，k0，k4（k+2）=0，解得k=经检验，k=符合题意，故直线l的方程为y=（x1），即8x+3y8=0【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力

32、、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题8（2014天津二模）已知椭圆C：+=1（ab0）过点（1，），且长轴长等于4（）求椭圆C的方程；（）F1，F2是椭圆C的两个焦点，O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若=，求k的值【考点】椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（I）由题意长轴长为4求得a的值，在有椭圆C：+=1（ab0）过点（1，）建立方程求解即可；（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用

33、整体代换的思想，根据=建立k的方程求k【解答】解：（I）由题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，点在椭圆上， 解得：b2=3椭圆的方程为：；（II）由直线l与圆O相切，得：设A（x1，y1）B（x2，y2） 由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=m2=1+k2，解得：，【点评】此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想9（2014四川）已知椭圆C：+=1（ab0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三

34、角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；当最小时，求点T的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1（2）设T（3，t），P（x

35、1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），证明：由F（2，0），可设直线PQ的方程为x=my2，则PQ的斜率由（m2+3）y24my2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQTF知，直线TF的斜率，得t=m从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证由两点间距离公式得，由弦长公式得=，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=1，此时点T的坐标为（3，1）或（3，1）【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或

36、x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题10（2010河北）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（）求|AB|；（）若直线l的斜率为1，求b的值【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】综合题【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值（2）L的方程式为y=x+c，其中，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）

37、x2+2cx+12b2=0然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+12b2=0则因为直线AB的斜率为1，所以即则解得【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用11（2015南充二模）已知椭圆T：+=1（ab0）经过点P（2，），一个焦点F的坐标是（2，0）（1）求椭圆T的方程；（2）设直线l：y=kx+m与

38、椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若kOAkOB=e21，求证：AOB的面积为定值【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆的a，b，c的关系，点P在椭圆上满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案【解答】（1）解：由题意可得，c=2，即有a2b2=4，又=1，解得，a=2，b=2，则随圆T的方程为+=1；（2）证明：e=

39、则kOAkOB=e21=，将y=kx+m代入+=1，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，x1+x2=，x1x2=，由0，得8k2m2+40y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+m2=kOAkOB=，=，即m24k2=2|AB|=又O点到直线y=kx+m的距离d=，SAOB=d|AB|=2为定值【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，是高考试卷中的压轴题12（2014辽宁）圆x2+y2=4的切

40、线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）（）求点P的坐标；（）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若PAB的面积为2，求C的标准方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标（）设椭圆的标准方程为 +=1，ab0，则 +=1把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，里哦也难怪韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及

41、点P到直线的距离d，再由PAB的面积为S=ABd=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程【解答】解：（）设切点P的坐标为（x0，y0），且x00，y00则切线的斜率为，故切线方程为 yy0=（xx0），即x0x+y0y=4此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=再根据 +=42，可得当且仅当x0=y0=时，x0y0取得最大值为4，即S取得最小值为=2，故此时，点P的坐标为（，）（）设椭圆的标准方程为 +=1，ab0，椭圆C过点P，+=1由 求得b2x2+4x+62b2=0，x1+x2=，x1x2=由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2x1|=由于点P（，）到直

42、线l：y=x+的距离d=，PAB的面积为S=ABd=2，可得 b49b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 +=1【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题13（2015安徽）设椭圆E的方程为=1（ab0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点

43、，证明：MNAB【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用=0即得结论【解答】（1）解：设M（x，y），A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，=2，即（x0，yb）=2（ax，0y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又直线OM的斜率为，=，a=b，c=2b，椭圆E的离心率e=；（2）证明：点C的坐标为（0，b），N为线段AC的中点，N（，），=（，），又=（a，b）

44、，=（a，b）（，）=a2+=（5b2a2），由（1）可知a2=5b2，故=0，即MNAB【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题14（2011陕西）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1）

45、，B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案【解答】解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入C的方程得，即b=4又得=；即，a=5C的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，即x23x8=0，解得，AB的中点坐标，即中点为【点评】本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决15（2015

46、天津）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（

47、）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x（，1）与x（1，0）两种情况讨论即可结论【解答】解：（）离心率为，=，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k0），则直线FM的方程为y=k（x+c），直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，圆心（0，0）到直线FM的距离d=，d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx5c2=0，解得x=c，或x=c，点M在第一象限，M（c，c），|FM|=，=，解得c=1，a2=3c2

48、=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，F（1，0），t=，即y=t（x+1）（x1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又直线FP的斜率大于，解得x1，或1x0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x0），联立方程组，消去y并整理，得m2=当x（，1）时，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；当x（1，0）时，有y=t（x+1）0，因此m0，m=，m（，）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（，）（，）【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二

49、次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题16（2015上海模拟）已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C（）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；（）若=2，求AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程【考点】椭圆的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；（）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可【解答】解：设A（x

50、1，y1），B（x2，y2），（）由得4x2+2x+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=，解得a=2（）由，得（3+k2）x2+2kx+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，由=2得（x1，1y1）=2（x2，y21），解得x1=2x2，代入上式得：x1+x2=x2=，则x2=，=，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=2x22=2×，又x1x2=，则=，解得a=5所以，AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键17（2015陕西模拟）已知

51、F1，F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若椭圆的离心率等于（1）求直线AO的方程（O为坐标原点）；（2）直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程【考点】椭圆的简单性质；直线的一般式方程；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（1）根据椭圆的离心率e=，即，可得，因此设椭圆方程为x2+2y2=a2再设点A（x0，y0），因为向量、的数量积为0，得到AF2、F1F2互相垂直，所以x0=c，将A（c，y0），代入椭圆方程，化简可得，得到A的坐标，从而得到直线AO的斜率为，最后根据直线AO过原点，得直线AO的方程为y=x；（2）

52、连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：SABF1=SABF2=SAF1F2，可用AF1F2的面积列式，解之得a2=16，c2=a2=8，所以b2=a2c2=8，最终得到椭圆方程为【解答】解：（1），AF2F1F2，又椭圆的离心率e=，可得，（3分）设椭圆方程为x2+2y2=a2，设A（x0，y0），由AF2F1F2，得x0=cA（c，y0），代入椭圆方程，化简可得（舍负）（5分）A（，），可得直线AO的斜率（6分）因为直线AO过原点，故直线AO的方程为y=x（7分）（2）连接AF1，BF1，AF2，BF2，由椭圆的对称性可知：SABF1=SABF2=SAF1F2，（9分）SAF1F2=×2c×yA=4，即ac=4（10分）又a2=4，解之得