流体力学第二章2130919

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学 流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律及其在工程中的应用规律及其在工程中的应用 根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流体静力学的主要任务体静力学的主要任务2.1 2.1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性一、流体静压强的定义一、流体静压强的定义t=0，切力为零，只存在压力，切力为零，只存在压力p平均静压强：平均静压强：点静压强：点静压强：ppappa0limapdppada 二、流体静压

2、强的特性二、流体静压强的特性 1、静压强的垂向性、静压强的垂向性 流体不能承受拉力；且具有易流动性，静止时流体不能承受拉力；且具有易流动性，静止时不能承受切向力，故静压强方向与作用面的内法线不能承受切向力，故静压强方向与作用面的内法线方向重合。方向重合。 2、静压强的各向等值性、静压强的各向等值性 作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方位无关。与作用面的方位无关。abc证明第二个特性证明第二个特性（1）表面力）表面力12pxxxxdfp dapdydz12pyyyydfp dapdxdz12pzzzzdfp dapdxdypnnndfp d

3、a（2）质量力）质量力 受力平衡受力平衡:0 xf0yf0zfabc16xdxdydzf16ydxdydzf16zdxdydzf11cos(, )026xxnnnxfpdydzp dapxfdxdydz由于由于 xnppabc1cos(, )2nndapxdydz11cos(, )026xxnnnxfpdydzp dapxfdxdydz1110226xnxpdydzpdydzfdxdydz103xnxppfdx 同理 16xdxdydz16y dxdydz16z dxdydz0 xf0yf0zf受力平衡:ynppznppxyznpppp( , , )pp x y z流体静压强是空间点坐标的标量

4、函数 说明： 1） 静止流体中不同点的压强一般是不等的，同一点的各向静压强大小相等。 2） 运动状态下的实际流体，流体层间若有相对运动，则由于粘性会产生切应力，这时同一点上各向法应力不再相等1110226xnpdydzpdydzxdxdydz103xnppxdxxnpp1cos( , )06xxxnnfp dap dan xxdxdydz2.2 2.2 流体平衡微分方程流体平衡微分方程流体平衡微分方程的推导（1）表面力六面体中心点m(x，y，z)的压强为 p根据泰勒级数展开式 21( )()()()()()2ooooof xf xfxxxfxxx1(, , )2m xdx y z()2p dx

5、px点的压强为 1(, , )2mxdx y z点的压强为 ()2p dxpx()2abp dxdppdydzx()2cdp dxdppdydzx（2）质量力 dxdydzxyfdxdydzfdxdydzfz dxdydzx方向平衡微分方程 ()()022xp dxp dxpdydzpdydzfdxdydzxx10 xpfxx方向平衡微分方程 ()()022xp dxp dxpdydzpdydzfdxdydzxx由瑞士学者欧拉于1775年首次导出，称为欧拉平衡微分方程10 xpfx10ypfy10zpfz10fp 压力差公式的推导()xyzxyzpppf dxf dyf dzdxdydzxyz

6、pppdpdxdydzxyzdpf dxf dyf dz（）10 xpfx10ypfy10zpfz将上述三个式子左右两边分别乘以dx、dy、dz，然后左右分别相加，得到： 等压面及其特性压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压面0f ds0dp 0 xyzf dxf dyf dz2.32.3 重力作用下的流体平衡重力作用下的流体平衡一、重力场中液体静压强的基本方程式xozp1p2p0由于由于f fx x= =f fy y=0, =0, f fz z= -g= -gdp =-gdz对均质不可压缩流体密度为常数，做不定积分得到： p = -gz+cpmgzpvzcgmgmg在静止流体中任意取

7、两点1、2012102ppppzzzzgggg流体静力学基本方程式流体静力学基本方程式pmgzpvzcgmgmg流体静力学基本方程式的物理意义#在重力作用下的连续不可压的均质静止流体中，各点的单位重量流体的总势能（位势能+压强势能）保持不变流体静力学基本方程式的几何意义#在重力作用下的连续不可压的均质静止流体中，各点的静水头（位置水头+压强水头）保持不变（在绝对静止的流体中）压强分布规律：a静压强随深度h按直线规律变化b处于同一深度的各点的静压强相等，即同一水平面为等压面c静压强=自由液面上压强+液柱重力产生的压强012102ppppzzzzgggg()oooppg zzpgh例2-1 水池中

8、盛水如图，已知液面压强p0=98.07kn/m2，求水中c点，以及池壁a、b和池底d点所受的水静压强。0198.07 1 9.807 1107.877 kpaabcppppgh 解：a、b、c在同一水平面上0298.07 1 9.807 1.6113.761 kpadppgh 2.4 2.4 压强的计算基准和度量单位压强的计算基准和度量单位一、压强的两种计算基准绝对压强p：以完全真空的绝对零压强为基准的压强计算值相对压强pe（相对压强）：以当地大气压强pa为基准计算的压强值 pe= p - pa 以后讨论所提压强，如未说明，均指相对压强流体力学 为了正确区别和理解绝对压强、相对压强和真空度之间

9、的为了正确区别和理解绝对压强、相对压强和真空度之间的关系，可用下图来说明。关系，可用下图来说明。真空度真空度 pv v 绝对压强绝对压强p/ / 相对压强相对压强 p绝对压强绝对压强p/ / 图图2-14 绝对压强、相对压强和真空之间的关系绝对压强、相对压强和真空之间的关系app a 压强pp 大气app 0 p完全真空浙大动画浙大动画压强度量单位的换算关系压强度量方法 单位名称单位符号 单位换算关系应力单位法 帕 pa 1pa=1n/m2液柱高度法 米水柱 mh2o 1mh2o=9.8103pa液柱高度法毫米汞柱 mmhg1mmhg=13.6mmh2o=133.3pa工程大气压法 工程大气压

10、 at1at=10mh2o=736mmhg=9.8104pa2.5 2.5 液柱测压计液柱测压计液柱式测压计虽然种类样式很多，但均是根据流体静力学基本原理, 利用液柱高度来测量压强（差）的仪器, 下面举例加以说明。一、测压管 测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。 pap0ahhpapva点的相对压强容器内的压强vpghgpgh二、u形管水银测压计 111xxppgh222epgh222appgh2211appghgh2211vapppghgh2211epghghh111212abpghghghp21211abppghghgh313322

11、11()ebppghghghg hh流体力学四、倾斜微压计四、倾斜微压计p2la20图图 倾斜微压计倾斜微压计0h2h1p1a112p2a222222221121222122222144()sin( sin)(sin)(sin)hdlddhldppg hhhlddppg llgldddgkdppkl应用静力学基本方程式的步骤应用静力学基本方程式的步骤2.6. 平面上的静水总压力平面上的静水总压力1.压强分布图 绘在受压面上表示各点压强大小和方向的图形水平平面上的液体总压力各点压强方向：方向一致 水平面上的总压力：0=f pap agha各点压强大小：处处相等 各点压强大小：非处处相等 各点压强

12、方向：方向一致 bcdapaaabapadcabapsincdfpdaghdagyda斜面上总压力计算的解析法 sinsinsincaaafdfgydagydagy a淹深：hc 2. 静止液体总压力的作用点 合力矩定理：合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴力矩之和作用在微元面积上的总压力 对ox轴的力矩为singyda2sinydfgy da2sinsindxay fgy dagi2xaiy da如果用yd表示o点到压力中心的距离，则按合力矩定理得xdciyy a其中则2xcxciiy acxdcciyyy a为平面面积a对ox轴的惯性矩由惯性矩的平行移轴定理得到其中icx为该平面绕过形心且

13、平行于ox轴的坐标轴的惯性矩流体力学 例：某干渠进口为一底孔引水洞，引水洞进口处设例：某干渠进口为一底孔引水洞，引水洞进口处设矩形平面闸门，其高度矩形平面闸门，其高度a=2.5m，宽度，宽度b=2.0m。闸门。闸门前水深前水深h=7.0m,闸门倾斜角为闸门倾斜角为60。求作用于闸门上。求作用于闸门上的静水总压力的大小和作用点。的静水总压力的大小和作用点。解：沿闸门建立坐标轴y, 向下为正，原点o在水面上。 m 92. 560sin25 . 27sin2cahh总压力为：kn 29.2905 . 2292. 5807. 9cahp再求作用点：m 84. 660sin92. 5sincchym 9

14、2. 684. 61225. 684. 61212/c2cc3ccxccdyayabybayayiyym 99. 560sin92. 6sinddyh2.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力各点压强大小：大小不等各点压强方向：方向不同一一、总压力的大小和方向xaxdcohchzbadaaaz 因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解。作用在微分面积da上的压力：dddfp fgh a1. 水平分力zxdxcxcxafgh agh ap axdfdf cosd cosdxgh agh a 作用在曲面上的水

15、平分力等于曲面在铅垂平面上的作用在曲面上的水平分力等于曲面在铅垂平面上的投影对投影对oxox轴的静矩，也为曲面在铅垂面上的投影面的形轴的静矩，也为曲面在铅垂面上的投影面的形心处的相对压强心处的相对压强p pc c与投影面积与投影面积axax的乘积。的乘积。2. 垂直分力dfdsind sindzzfgh agh azzpafghdagvpzavhda式中：为曲面为曲面 abab上的液柱体积上的液柱体积abcdabcd的体积，称为压力体。的体积，称为压力体。 作用在曲面上的垂直分力等于压力体内液体的重量作用在曲面上的垂直分力等于压力体内液体的重量3. 总压力大小：22xzfff方向：总压力与垂线

16、间的夹角zxftgf二、总压力的作用点（1 1）水平分力）水平分力f fx x的作用线通过的作用线通过a ax x的压力中心；的压力中心；（2 2）铅垂分力）铅垂分力f fz z的作用线通过的作用线通过v vp p的重心；的重心；（3 3）总压力）总压力f f的作用线由的作用线由fxfx、fzfz的交点和的交点和 确定；确定；1xzftgf（4 4）将）将f f 的作用线延长至受压面，其交点的作用线延长至受压面，其交点d d即为总压力在即为总压力在 曲面上的作用点。曲面上的作用点。三、压力体的两点说明1. 压力体的虚实性压力体仅表示压力体仅表示 的积分结果的积分结果( (体积体积) )，与该体

17、，与该体积内是否有液体存在无关积内是否有液体存在无关bcabac实压力体：压力体实压力体：压力体abcabc包包含液体体积，垂直分力方含液体体积，垂直分力方向垂直向下。向垂直向下。虚压力体：压力体虚压力体：压力体abcabc不包不包含液体体积，垂直分力方向含液体体积，垂直分力方向垂直向上。垂直向上。pzavhda三、压力体的两点说明2. 压力体的组成压力体一般是由三种面所围成的体积。1 1 受压曲面本身（压力体的底面）受压曲面本身（压力体的底面）2 2 由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作 的的 铅垂柱面（压力体的侧面）铅垂柱面（压力体的

18、侧面）3 3 自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面） 绘出压力体四、四、 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力静止液体作用在潜体和浮体上的浮力物体沉没在静止液体中物体沉没在静止液体中x x方向：方向：120 xxxfffz z方向：方向：1adbfgzfv2acbfgzfv21adbczzzfffva ab bc cd dg gf ffx1fx2fz1fz2阿基米德原理：阿基米德原理： 液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力，该力又称为浮力。小等于沉没物体所排开液体的重力

19、，该力又称为浮力。浮体：浮体：g g ，物体下沉，直至液体底部。，物体下沉，直至液体底部。gvgvgv流体力学例：例：图示一盛水容器，底部开孔，孔直径为图示一盛水容器，底部开孔，孔直径为r。一倒置圆锥体。一倒置圆锥体塞住圆孔，圆锥底直径为塞住圆孔，圆锥底直径为2 2r，高为，高为h=3h=3r 。设水深。设水深h=4=4r ，水密度，水密度为为，圆锥密度为，圆锥密度为1，试求顶起圆锥最小的力，试求顶起圆锥最小的力f。 解：解：由圆孔边向圆锥底面作投影线，设投影线所由圆孔边向圆锥底面作投影线，设投影线所切割的圆锥外围部分所受浮力为切割的圆锥外围部分所受浮力为fb b 32222123)2(23)

20、2(31331rgrrrrrrgfb投影线内部分受水压力为投影线内部分受水压力为f1 1 32185)234()2(rgrrrgf圆锥自身重量为圆锥自身重量为f2 2 31212331rgrrgfgrffffb)81(1321顶起圆锥最小的力顶起圆锥最小的力为为流体力学例：水平放置的圆柱体左侧是水，且水面与圆柱体的最高部分例：水平放置的圆柱体左侧是水，且水面与圆柱体的最高部分平齐，而右侧与鞋面之间与大气相通。求水施加到单位长度圆平齐，而右侧与鞋面之间与大气相通。求水施加到单位长度圆柱体上的水平分力和竖直分力。柱体上的水平分力和竖直分力。4m450流体力学例：绕固定铰链例：绕固定铰链o旋转的自动

21、开启式倾斜闸门，旋转的自动开启式倾斜闸门，闸门和水平面的夹角为闸门和水平面的夹角为600，当闸门一侧水位，当闸门一侧水位h=2m，另一侧水位，另一侧水位h=0.4m时，闸门自动开启，时，闸门自动开启，试求铰链至闸门下端的距离试求铰链至闸门下端的距离x。面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。实物体，质心和形心重合。 判断形心的位置：判断形心的位置： 当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。当截面具有两

22、个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； 只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 变速平动的非惯性系变速平动的非惯性系 在相对惯性系以加速度在相对惯性系以加速度a a平动的非惯性系中，如果设想平动的非惯性系中，如果设想质量为质量为m m的质点除受到一般的力以外，还受到一个假想的质点除受到一般的力以外，还受到一个假想的等于的等于(-ma)(-ma)的力的力-称为

23、惯性力，那么，在非惯性系称为惯性力，那么，在非惯性系中，质点受到的外力和惯性力的合力，等于质量与加速中，质点受到的外力和惯性力的合力，等于质量与加速度的乘积。这个命题叫做非惯性系牛顿第二定律。度的乘积。这个命题叫做非惯性系牛顿第二定律。http:/ a平动的平动的非惯性系中，假想质量为非惯性系中，假想质量为m m的质点受到一个等于的质点受到一个等于(-ma)(-ma)的力的力( (这个力没有施力物体这个力没有施力物体) )，叫做惯性力。在这种非惯性系中，叫做惯性力。在这种非惯性系中，引入了惯性力概念，就可以应用非惯性系牛顿第二定律。引入了惯性力概念，就可以应用非惯性系牛顿第二定律。 2.8 2

24、.8 液体的相对平衡理论液体的相对平衡理论 流体相对于地球有相对运动，而流体微团之间及流体与流体相对于地球有相对运动，而流体微团之间及流体与容器壁之间没有相对运动。容器壁之间没有相对运动。( (一一) ) 等加速度直线运动的液体的相对静止等加速度直线运动的液体的相对静止* *( (二二) ) 等角速度旋转容器内液体的相对平衡等角速度旋转容器内液体的相对平衡2.8 2.8 液体的相对平衡理论液体的相对平衡理论 流体相对于地球有相对运动，而流体微团之间及流体与流体相对于地球有相对运动，而流体微团之间及流体与容器壁之间没有相对运动。容器壁之间没有相对运动。( (一一) ) 等加速度直线运动的液体的相

25、对静止等加速度直线运动的液体的相对静止( (二二) ) 等角速度旋转容器内液体的相对平衡等角速度旋转容器内液体的相对平衡一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡容器以等加速度容器以等加速度a a向右作水平直线运动向右作水平直线运动质量力质量力gffafzyx0gfahzszp0ozaxm1 1一、静压强分布规律一、静压强分布规律)()(gdzadxdzfdyfdxfdpzyxcgzaxp)(利用边界条件：000ppzx 可得：)(0gzaxpp令dp=0,等压面方程：cgzax常数自由液面处： 0sgzax等压面是一簇平行的斜面：gaarctg也可用水深来表

26、示压强分布规律：ghpzzgpps00)(h h为任一点距离自由液面的淹没水深为任一点距离自由液面的淹没水深2.2.与绝对静止情况比较与绝对静止情况比较 （2 2）压强分布）压强分布（1 1）等压面）等压面hpp0hpzzpps00)( cz 相对静止相对静止： cxgaz水平面水平面斜面斜面h任一点距离自由液面的淹深任一点距离自由液面的淹深)(0gzaxpp)(00zzpp绝对静止绝对静止：绝对静止绝对静止：相对静止相对静止：二、二、等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡质量力：质量力：容器以等角速度容器以等角速度旋转旋转zzshzmp0ooy2y2r2xxxyrygf

27、yrfxrfzyx2222sincos1.1.等压面方程等压面方程积分积分等压面是一簇绕等压面是一簇绕z z轴的旋转抛物面。轴的旋转抛物面。自由液面：自由液面： 000czr0)(22gdzydyxdxdpcgzyx222222cgzr2220222sgzr流体力学2. 2. 静压强分布规律静压强分布规律积分积分000ppzr得：得：0pc 利用边界条件：利用边界条件：ghpzzgpps00)()(22gdzydyxdxdpcgzyxp)22(2222czgrgp)2(22)2(220zgrgpp0222sgzrzzshzmp0ooy2y2r2xxxyry流体力学3.3.与绝对静止情况比较与绝

28、对静止情况比较 （2 2）压强分布）压强分布（1 1）等压面）等压面绝对静止：绝对静止：hpp0相对静止：相对静止：hpzzpps00)(绝对静止：绝对静止： cz 相对静止：相对静止：水平面水平面旋转抛物面旋转抛物面h任一点距离自由液面的淹深任一点距离自由液面的淹深cgzr222zzshzmp0ooy2y2r2xxxyry)(00zzpp)2(220zgrpp流体力学例例1： 图所示为盛满液体图所示为盛满液体的容器顶盖中心处开口，当的容器顶盖中心处开口，当容器以等角速度容器以等角速度 绕垂直轴绕垂直轴z旋转时，液体借离心力向外旋转时，液体借离心力向外甩，但是受顶盖限制，液面甩，但是受顶盖限制

29、，液面不能形成抛物面，液体内各不能形成抛物面，液体内各点的压强分布符合下式，即点的压强分布符合下式，即 cgzrp222z0rbpa常数常数c，可利用，可利用r=0，z=0，p=0确定，即确定，即c=0。故。故 gzrp222流体力学gzrp222z0rbpa 故作用于顶盖上（故作用于顶盖上（z=0）各点）各点的压力仍按抛物面分布，如图的压力仍按抛物面分布，如图箭头所示箭头所示222rp边缘边缘b处处222rpb作用于顶盖上的总压力作用于顶盖上的总压力420224d2)2(drrrrappra 可知可知 越大，则边缘处压越大，则边缘处压力越大，离心铸造就是依力越大，离心铸造就是依据此原理，即通

30、过离心铸据此原理，即通过离心铸造机的高速旋转而增大铸造机的高速旋转而增大铸模外缘处液态金属的压力，模外缘处液态金属的压力，从而得到较密实的铸件。从而得到较密实的铸件。 利用利用r=r，z=0时，时，p=0，以确，以确定常数定常数c, 即即 orbpaz dc a例例2：如图所示，盛满液体的容器顶盖边缘处开口，：如图所示，盛满液体的容器顶盖边缘处开口，当其旋转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液当其旋转时，液体借离心惯性力而向外甩，但当液体刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧紧体刚要甩出容器时，在容器内部即产生真空，紧紧吸住液体，以致液体跑不出去。流体内各点的压强吸住液体，以致液体跑不出去。

31、流体内各点的压强分布符合下式，即分布符合下式，即gzrcp222222rcgzrrp)(2222第三章第三章 流体运动学和动力学基础流体运动学和动力学基础3.1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法一、拉格朗日法1.方法概要方法概要着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，着眼于流体各质点的运动情况，研究各质点的运动历程，通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体通过综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规律。运动的规律。2. 研究对象：研究对象： 流体质点流体质点3.运动描述运动描述流体质点坐标：流体质点坐标：),(),(),(tcbazz

32、tcbayytcbaxxa、b、c、t称称为拉格朗日变数为拉格朗日变数dtdzvdtdyvdtdxvzyx ，流体质点速度：流体质点速度： 二、欧拉法二、欧拉法1.方法概要方法概要流场：充满运动流体的空间。流场：充满运动流体的空间。着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所着眼于流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场的运动特性。流场的运动特性。 2. 研究对象研究对象 流场流场(固定空间点固定空间点)3.运动描述运动描述流速场：流速场： ),(),(),(tzyxuutzyxu

33、utzyxuuzzyyxxx、y、z、t 称称为欧拉变数为欧拉变数3.2.1 恒定流动和非恒定流动恒定流动和非恒定流动一、恒定流动一、恒定流动(定常流动定常流动)流动参量不随时间变化的流动。流动参量不随时间变化的流动。),(),(),(zyxzyxppzyxvv特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而与时间无关。而与时间无关。3.2 描述流体运动的几个基本概念描述流体运动的几个基本概念二、非恒定流动二、非恒定流动(非定常流动非定常流动)流动参量随时间变化的流动。流动参量随时间变化的流动。),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且与时间有关。数，而且与时间有关。3.3 流线与迹线流线与迹线一、迹线一、迹线1. 定义定义流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。流体质点的运动轨迹。是拉格朗日方法研究的内容。二、流线二、流线1. 定义定义在同一瞬时，线上任意点的切线方向与该点的速度方向一在同一瞬时，线上任意点的切线方向与该点的速度方向一致的假想曲线致的假想曲线 。适于欧拉方法。适于欧拉方法。u21uu2133u6545u46u流线流线3.3