05函数极限概念

1、第二章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “x ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。第二章 极 限第二节 函数的极限与性质的极限时一 )( , .xfx的极限时二 )( , .0 xfxx 三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质

2、的极限时一 )( , .xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形. 1 : nxxnn从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出: . 01lim , 01limxnxnoxy123 n nxn1xy1 1 : 极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 , , 0 , 0nnn | |axn记为为极限以时当则称数列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,xnxn

3、xfxn替换为替换为替换为将推广有时使当若 , , 0 , 0xxx , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 1xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a想想：如何从几何的角度来表示该定义？ )( |)(|axfaaxf的几何意义 )(limaxfxoxyay ay ayx)(xfy , )( , 即函数的图时当axfaxx . 之间和形夹在两条平行线ayayoxyay ay ayxx)(xfy . , 函数的极限时我们将得到x有时使当若 , , 0 , 0xxx , , )( ,极限存在时当则

4、称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 2xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a . )(lim )(lim的情形类似的几何意义与axfaxfxxoxyay ay ayxx)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |xxxxxx或oxyay ay ayxx)(xfy 你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 0 |xxxxxx或 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?有时使当若 , | , 0 ,

5、0xxx , , )( ,极限存在时当则称函数成立xxf , )(limaxfx | )( |axf的极限函数时 )( , . 3xfx . )( )( xaxf或记为记为为其极限值常数 , a由于 | x | x 0 x x 或 x x,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +, . )(lim)(lim )(limaxfxfaxfxxx及极限的三个定义即可证明该定理. 0)( | xxxxxxx或由绝对值关系式:. 2121lim 33xxx证明：证证 , 0 , 2121 33xx要 , |21 3x即要 , 21 | 3x即 , | , 21 3有时则当故

6、取xxx 2121 33xx成立. 由极限的定义可知:. 2121lim 33xxx例例1 1 . 11)( 2时的极限当讨论函数xxxf解2211 , 1 , | xxx此时也无限增大无限增大时当无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有 . 011lim2xx下面证明我们的猜想:要由极限的定义 , 0 , , 11 11 011 222xxx ,11 2x即要 . 11 , 0 , 1 2显然成立则时当xx . 11 , 11 | , 1 2成立时时当xx证 明 过 程怎么写？例例2 2则当取不妨设 , 11 , ) 10 ( 0x有时 , |xx ,11 11 011 222xxx

7、 . 011lim :2xx故由极限的定义可知 这里想得通吗？ , )( 0 的接近程度的与是用来描述由于axf . , 某个正数它小于设故可以在一开始时就假小且它的值可以取得任意 . arctan lim 不存在证明xx22yxyarctanx由图容易看出：分析 , 2arctanlimxx , 2arctanlimxx . arctan lim 不存在由定理可知：xx例例3 3 . lim 不存在证明xxxxxeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , 111limlim 22xxxxxxxxeeeeee , limlim xxxxxxxxxxeeeeeeee由

8、于 . lim 不存在故xxxxxeeee例例4 4证证的极限时二 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势. . 112)( , 0 xxfx时当 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.11)( , 1 3xxxfx时当 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义. . 312 xx例例5 5无限只考虑有无定义在必考虑 , )( 0 xxxxf的变化函数时即接近 )( , ) ,(u , 00 xfxxx是否成立。趋势，即不等式 |)(| axf我们不这类极限过程时在讨论 , 0 xx 的极限函数时 )(

9、 , . 10 xfxx , | 0 , 0 , 00时当若xx |)(|axf , )( , 0时的极限当为函数则称成立xxxfa . )( )( )(lim 00 xxaxfaxfxx或记为 : , 需要考察的是就是说 , , 0去心邻域时的落在点当轴上在xxx ) )( ( , 是否落在点对应点轴上在xfyyy . 邻域内的aoxyay ay ay0 x()(xfy xy(),(u0 xx) ,u(ay0 x0 x的几何解释 )(lim0axfxxp . lim 00 xxxx证明证证 , | 0 , , 00时则当取xx |0 xx . lim , 00 xxxx故成立例例6 6 .

10、82)4(2lim 22xxx证明证 , 0 , )8(2)4(2 2xx要 | )2(|2 |2|2|8)2(2| xxx只要 , | )2(| 0 , 2 有时则当故取x , )8(2)4(2 2xx . 82)4(2lim 22xxx即2x例例7 7证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要？如何处理它例例8 8 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0 x211 11+ 14|2|x1 1取分析分析结论

11、1 | 1| 0 x证 . 311lim 31xxx证明 , 0 , 311 3xx要 , | 1|2| |2| |31| 22xxxxxx只要 , | 1|4| 1|2| 311 3xxxxx于是 , | 1| 0 , 4 , 1 min 有时则当取x . 311 3xx证毕 , 110此时不妨设 x , 4 |2| x例例8 81) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极

12、限值 a.y = a y = a y = axoyx0 x0 x0 + )(xfy 曲线只能从该矩形的左右两边穿过极限的几何意义函数时 )( , . 20 xfxx 3.函数的左、右极限, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为右极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或, 0 , 0 , 00时当若xx |)(| axf记为左极限 ,时的当为则称成立 )( ,0 xxxfa )(lim0axfxx .)0( 0axf也可记为, )( )( 0 xxaxf或(1) 左、右极限均存在, 且相等

13、；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：111211)( 2xxxxxxf求)(lim1xfx)(lim1xfxy = f (x)xoy1121在 x = 1 处的左、右极限.1lim21xx0) 1(lim1xx解例例9 9axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00 利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.。求设 )(lim ,1, 11, 1)( 12xfxxxxxfx2) 1(lim)(lim 211xxfxx2) 1(lim)(lim11x

14、xfxx2)(lim 1xfx解例例1010 . |lim 0 xxx求|lim 0 xxx|lim0 xxx)(lim)(lim00 xfxfxx . |lim 0不存在xxxxxx0lim11lim0 xxxx0lim1) 1(lim0 x解例例1111例例1212 . | | )(|lim ,)(lim :00axfaxfxxxx则若证明证证, 0 , 0 , ,)(lim 0所以因为axfxx , | 0 0有时当xx |)(|axf | | | )(| |axf , 得故由极限的定义 . | | )(|lim 0axfxx ?立该命题的逆命题是否成. 情也成立的对x三、极限定义及定理

15、小结三、极限定义及定理小结 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxfxx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0nnn时当 | , 0xxx时当 , 0xxx时当 , 0xxx时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf 极限定义一览表目标不等式过 程 描 述度 量 极限形式axnnlimaxfx)(limaxfx)(limaxfx)(limaxf

16、xx)(lim0axfxx)(lim0axfxx)(lim00000000时当 , 0nnn时当 | , 0xxx时当 , 0xxx时当 , 0xxx时当 |0 , 00 xx时当 0 , 00 xx时当 0, 00 xx|axn|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf|)(|axf0|)(|axfaxfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxx)(lim)(lim)(lim在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号)(limxf极限.

17、 函数极限的性质与数列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同学们自己看书.1.有界性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.2.唯一性定理 若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系 极限值的正负与函数值正负的关系 ),0( 0 ,)(lim 0aaaxfxx若。有)0)( 0)( xfxf ),0( 0 ,)(lim aaaxfx若,0 0x则 ,d | 0时且当fxxx。有)0)( 0)( xfxf 该定理也称为第一保号性定理 , )(u 0 x则 , )(u 0时当fdxx极限值正负与函数值正负关系的推论 ),( ,)(lim 0cacaaxfxx若 , )(u 0 x则 , )(u 0时当fdxx。有)( )( cxfcxf ),( ,)(lim cacaaxfx若,0 0x则 ,d | 0时且当fxxx。有)( )( cxfcxf 作辅助函数 f( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证. 函数值的正负与极限值正负的关系 ),(u ),0)( , 0)( 0 xxxfxf若 , )(lim 0axfxx且。则必有)0( 0 aa 该定理也称为第二保号性定理 , 0