高中数学第8章圆锥曲线方程(第12课时)双曲线的简单几何性质(三)

1、精品资源欢下载课题：8. 4双曲线的简单几何性质(三)教学目的:1 .使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2 .掌握双曲线的另一种定义及准线的概念.3 .掌握等轴双曲线，共辗双曲线等概念.4 .进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育.教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另 一种定义的得出过程.授课类型：新授课.课时安排：1课时,教 具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1 .范围、对称性2 2由标准方程 4-4=1 ,从横的方向来看，直线x=-a,x=a之

2、间没有图象,a b从纵的方向来看，随着 x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向 上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.X2 .顶点顶点：A(a,°), A2 La,。特殊点：B1(Qb),B2 0,-b实轴：AA2长为2a, a叫做半实轴长.虚轴：B1B2长为2b, b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3 .渐近线22过双曲线。-4=1的两顶点 A,A2,作丫轴的平行线x=±a,经过 a bB,B2作X轴的平行线y = ±b ,四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方

3、程是y=±bx （X土y=0）,这两条直线就是双曲线的渐近线 . a a b4 .等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y = =x ； （2）渐近线互相垂直；（3）离心率e = . 2 .等轴双曲线可以设为：x2 - y2 =八（九# 0）,当人> 0时交点在x轴,0 <0时焦点在y轴上.5.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为222线方程就一定是：一匚-一y二=±i（k>0）或写成二 （ka）2（kb）2a2y = ±_bx =±kbx(k

4、 >0),那么此双曲 a ka2y2 =，b26 .双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任 意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近 渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲 线.7 .离心率双曲线的焦距与实轴长的比 e=2c=W ,叫做双曲线的 离心率.范围：e>1 2a a222双曲线形状与e的关系：卜='。" 吗-1 =Je2-1 , e越大， a a a即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.

5、8 .共轲双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轲双曲线*区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同*共用一对渐近线双曲线和它的共轲双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轲双曲线的方法：将1变为-1共用同一对渐近线 y = 土kx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为22x- -。= K(九¥0),当九下0时交点在x轴，当九<0时焦点在y轴上.1 k2、讲解新课：9 . 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线 l的距离之比为常数Ce= (c >a >0)的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点， a线叫做双曲线的准线.

6、常数e是双曲线的离心率.10 .准线方程：2 x 对于ay2A2 F2x=1来说，相对于左焦点相对于右焦点八*/位置关系:b2F2AAiFiFi (-c,0)对应着左准线li : xF2 (c,0)对应着右准线122 a :x = 一c2a>a > >0*焦点到准线的距离c=1来说，相对于上焦点=b-(也叫焦参数) cFi(0-c)对应着上准线li：y =2 a 相对于下焦点F2(0,c)对应着下准线i2 ： y = c11 .双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径+焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线22x y-

7、2" - 2 =1 (aA0,b0)，a bFl,F2是其左右焦点.则由第二定义:MFidi=e,MFi|XoMF1 = a +ex0同理 MF2 = a-ex0即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：MF1 = a +ex0二 AMF2 = a 一ex0同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：MFi = a +ey0#上二L(其中Fi,F2分别是双曲线的下上焦点)MF2 = a -ey0点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如 果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右 减，上减下加(带绝对值号) ，12 .焦点弦：定义：过焦点的

8、直线割双曲线所成的相交弦.焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：设两交点 A(Xi，y1)B(X2, y2)当双曲线焦点在X轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：过左焦点与左支交于两点时：AB - -2a - e(x1 , x2).过右焦点与右支交于两点时：AB = -2a+e(x1+x2)*当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：AB = -2a-e(y1 - y2) .过右焦点与右支交于两点时：AB = -2a - e(y1 y2)-13 .通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦.2b2直接应用焦点弦公式，得到d 三竺a2a的距离之比为常数c三、讲解范例 例 点p(x,y)与

9、定点F2(c,0)的距离与到l : x =C(c > a > 0),求P的轨迹方程* a解：设d是点P到直线l的距离.根据题意得(x -C)2 y2 = Ca2 ax -|C2化简，得x2 a2y2 =1 ( a >0,b>0)b2A F2In2P这是双曲线的标准方程.四、课堂练习.221 .双曲线16x 9y =-144的实轴长、虚轴长、离心率分别为(C)(A) 4, 3,- 77(B) 8, 6,42.顶点在x轴上，两顶点间的距离为71(C) 8, 6,(D) 4, 3,44458,e=5的双曲线的标准方程为(A)422(A) J -16922c x y(B)-16

10、 25二1229162r x(D)一252幺=116223.双曲线 巳-匕=1的两条准线间的距离等于(A)34(A)67i(B)377(C)18(D)16224.若双曲线 L-二=1上一点P到双曲线上焦点的距离是 8,那么点P到上准64 36线的距离是(D)32 J7, x/ z 32(A) 10(B) (C) 2Q7 (D) 755 .经过点M3, 1),且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是(D)(A) y2 x2=8(B) x2y2=±8(Q x2y2=4( D) x2y2=86 .以y=± 2 x为渐近线的双曲线的方程是(D)322222222(A) 3y 2x

11、 =6(B) 9y8x=1(C) 3y 2x =1( D) 9y 4x =367 .等轴双曲线的离心率为 ;等轴双曲线的两条渐近线的夹角是 ( J 2,900 )228 .从双曲线 勺4=1 (a a 0,b > 0)的一个焦点到一条渐近线的距离 a2b2是b)224229 .与 二十匕=1有公共焦点，且离心率e=5的双曲线方程是(x -y =1)49 24416 910 .以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以 5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方22程是 .( 二一上=1)352211.已知双曲线 L-工=1上一点到其右焦点距离为 8,求其到左准线的距离. 64 3696(

12、答案：96)5五、小结：六、课后作业：1 .下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是(B)22222(A)3y2=1 与 y2二=1 (B)工y2=1 与2-幺=1333932(D)y2=1 与3e1和则必有(D)22(Q y2 =1 与 x2 丫332 .若共辗双曲线的离心率分别为(A) e1= e2( B) e1 e2=1(O 1 + 1 =1(D)+a二1e aee23 .若双曲线经过点(6,J3),且渐近线方程是y=± 1 x,则这条双曲线的方程3是(022(A) LL=136922(B工-上=18192(0=122(D 土-1834 .双曲线的渐近线为y=± 3x,则双曲线的离心率为(C)4(A) 5(B) 2(C) 5 或 5(D) 1 J5或5544323225 .如果双曲线 -y- =1右支上一点P到它的右焦点的距离等于 2,则P到左 169准线的距离为(C)(A)当(B)色(C) 8 (D) 105106 .已知双曲线kx2 2ky2 =4的一条准线是y=1,则实数k的值是(B).2 r 2-f(A)-(B)-(C)1(D)-122xy7 .双曲线 一+<=1的离心率eC(1,2),则k的取值范围是 (-12,0)