5讲一维势场性质

1、1量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院刘劲松刘劲松第五讲第五讲一维势场中能量本征态的一般性质一维势场中能量本征态的一般性质 有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态2目录目录一、一、正交、归一、完备态正交、归一、完备态二、二、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质三三、有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态3一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（1） 态叠加原理：量子态可按任意一组正态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态矢量来分解，即交、归一、完备态矢量来分解，即nnncn态矢量，也称基矢量子态,n

2、c 展开系数4一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（2）200*12sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.sin,sinsin0,()21,( )( )0,(0, )2( )sin(nnnmnmnnnn xxaxnaaxxanxdxnxmxdxmnmnxx dxmnan xxccxaa以无限深方势阱中的粒子为例利用有正交、归一由傅立叶级数展开，在内，任何奇函数可表示为1)n完备5一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（3）(,)nnnc 和 的内积112( )sin( )( )( )nnnnnnn xxccxaaxx数学上，完备性。物理上，是无限深方势阱中粒子的波函数态叠

3、加原理。由能量本征方程确定构成体系的基矢*( ) ( )(,)nnncxx dx nc如何确定 ？6一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（3）*1*1*11*( ) ( )(,)( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmnnmmmmnmmmnnmmnmmncxx dxxcxxx dxxcx dxcxx dxccxx dx 证：由完备性，这里用到了7一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（4）22/2*( )()( )( )( )( )( )a xnnnnnnnmmnnnnnxa ehaxhxx dxxcxx处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的

4、分立波函数为，构成一组正交、归一、完备的基矢。由正交、归一可得的正交、归一性可以证明，具有完备性，即具有将所有函数展开的能力：。由态叠加原理，就是粒子的量子态。8一、正交、归一、完备态一、正交、归一、完备态（5）1*222( )( )( )(,)( ) ( )|(,)|nnnnnnnnnnnnxxcxcxx dxcce 结论：由能量本征方程解出的，通常被称为态矢量，也称基矢,它们是正交、归一、完备的。无论在无限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态都能用这样的态矢来展开，即，其中展开系数粒子处于某一态矢的概率为，同时，也是粒子具有态矢对应的能量的概率。9二、二、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质

5、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1)1、定态、定态薛定格方程薛定格方程若若 不显含不显含 ，则可令，则可令 ， 且且 。若已知。若已知t=0时体系处于某时体系处于某一个能量本征态：一个能量本征态： ，则在，则在t0后，体系状态为后，体系状态为 通常通常称这样的态为称这样的态为定态定态。2、简并、简并如果系统的能级是分立的，即如果系统的能级是分立的，即 ，若对，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是其对应，则称这个能级是简并简并的。的。( ,0)( )ner tr),(),(2),(22trtrvmtrti),(trvt( ,

6、)( ) ( )ner tr f t( , )( )exp(/ )nenr trie t)/exp()(iettfnee 10222222/212 322sin(), 0;( )1,2,3,0,0,.( )(1/2),( )( )()0,1,2,( )nnnnna xnnnnnneeman xxaxnaaxxaexeena ehax nex 一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为，n= ， ，一个对应一个：非简并一维谐振子的能量本征值为本征态为，一个对应一个：非简并若一个( )nnnexe对应二个（及以上）：称是简并的 实际中，简并的情实际中，简并的情况远比非简并的多，况远比非简并的多，与对

7、称性相关。与对称性相关。11二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2)3、宇称：函数在空间反演下表现出的特性、宇称：函数在空间反演下表现出的特性。:( )()( )()( )( )()( )( )cos( )cos()cos( )sin( )sin()sin( )ppxxpxxxpxxxxpxxxpxxx 定义空间反演算符 为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称偶偶宇称宇称奇宇称奇宇称12二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(3)4、定态薛定格方程：能量本征方程、定态薛定

8、格方程：能量本征方程222*/222( , ),( , )( , ) ( , )2( , )( , )( ),( ) ( )( )(1)2ietmxv x tix tv x tx ttm xvvv x ttx tx ev xxexm x 设质量为 的粒子，沿 方向运动，势能为粒子满足的薛定格方程为一般情况下，为实数。若不显含 且t0后体系处于定态：则有此即定态薛定格方程，也就是能量本征方程。13二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(4)定理定理1。量也是也是方程解，对应的能也是实数，有为实数，取共轭，并注意到【证】对能量本征方程。量也是程的一个解，对应的

9、能也是能量本征方，则能量本征值为解，对应的是能量本征方程的一个设exxexxvxmexvxvexex)()()()(2)()()()(*222*14二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5)推论推论1*2*2*( )( )1( )( )( )( )( )( )( ) |( )|101( )( )( )iexxexexxxcxxcxcxccecxxx 对应于能量的某个本征值 ，能量本征方程的解不简并，则这个解可取为实函数。【证】是能量本征方程对应 的一个解，根据定理 ，也是对应能量 的一个解，如果能级不简并，则和对应的是同一个量子态令 可取为实函数。15二

10、、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(6)定理定理21122*( )( )( ),( )1( )xeexexxxe设是能量本征方程的一个解，对应于能量的某个本征值 ，总可以找到能量本征方程的一组实解，凡是属于 的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。【证】设是能量本征方程属于 的解，如果实数域，不谈。如果复数域，由定理 ，也是能量本征方程属于 的解。16二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(7)222*1212*1212( ) ( )( )2( )( )( )( ) ( )( )( )( )11( )(),( )(

11、)22v xxexm xxxxxixxexxxixi能量本征方程是线性微分方程，其解具有叠加性，即和也是方程属于 的解，且，实数域，从中可得到得证。17二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8)的解。也是方程对应于有，并注意到的解。令是方程【证】的解。也是方程对应于则的解，能量本征值是能量本征方程对应于如果，具有确定的偶宇称，即：设定理exxexxvxdxdmxdddxdxvxvxxxexxvxdxdmxexexxvxvxv)()()()()(2)()()(,)()()()(2)()()()()()(322222218二、一维势场中粒子能量本征态的一般性

12、质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(9)具有确定的宇称。即但，。另一方面，即必然对应同一量子态，和无简并，则的解。属于是方程都和，则，若【证】由定理有确定的宇称。具无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于推论：设)(. 1, 1),()()(),()()()()()()()()()()()()()()(2)()()()(3)()(),()()(222222xccxxpxpxcxcpxpxcxxpxcxxxxexexxvxdxdmxxxvxvxxxvxvex19二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(10)4( )()( )( )()3()

13、( )( )(), ( )( )(),( )( )( )(),(v xvxeexev xvxxef xxx g xxxf xg xef xfxg定理 ：设，则对应于任何一个能量本征值 ，总可以找到能量本征方程的一组解，其中的每个解都有确定的宇称，而属于 的任何解，都可用它们来展开。【证】设是能量本征方程属于 的解，由定理 ，也是方程属于 的一个解。令则和也是方程属于 的解，且)()( )()( )( )11( ) ( )( )() ( )( )22xgxexxf xg xxf xg xxf xg x 具有确定的宇称。属于 的解和可以用和来展开：和，证毕。20二、一维势场中粒子能量本征态的一般性

14、质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(11)处是连续的在处是连续的，因而在有限）（的一个领域内求积分：程在发生跳变，此时可对方处，必定是连续的。在和的区域，连续在【证】对方程点必定是连续的。在及其导数函数有限，则能量本征若：设定理axxaxxxxveaadxxxvemdxxdxdaxxxvaxxxxvxxvemxdxdaxxvvaxvaxvxvaaaa)()()()(0)0()0()()(2)()()()()()(),()(2)()()(,;,)(5200221221limlim21二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(12)处是连续的。在处是连续的

15、在，若处是连续的在和，【证】由定理处是连续的。时在当为能量本征函数，则有限，若推论：设axaxxxxaxxxaxxxvvaxvaxvxv/)(ln)(/ )(0)()()(50)()(ln)(,;,)(122122二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(13) 22121211221122121211221122112212122212112212100)()(60)(0) 1 ()2()2(, 0)(2) 1 (, 0)(2)()(6常数束缚态，则是和常数，又，有【证】由定理。都是束缚态，则和解，若的同一能量均为能量本征方程属于和推论：设常数，得到【证】

16、按假设常数。的解，则能量同一均为能量本征方程属于和：设定理evemvemexx23二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(14)另行讨论。有奇点，则在奇点处要如果级不简并。代表同一量子态，即能和，得到，两边同除推论，有束缚态，由定理的两个量是能量本征方程属于能和【证】设并的。束缚态，则必定是不简中运动，如存在：设粒子在无奇点势场定理)(/ln/ln0)/(ln/6)(72121212121221121122121xvcccexv24三三、有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态(1)设设 粒子能量粒子能量条件条件在阱外在阱外能量本征方程能量本征

17、方程解解2a)( xvx00v0v2ae. 2/|,; 2/|, 0)(0axvaxxve00ve 2/|ax 0)()(2)(0222xevmxdxd. 2/,; 2/,)(axbeaxaexxx/)(20evm()0 x 为满足束缚态的要求，需有25三三、有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态(2)在阱内在阱内能量本征方程能量本征方程其解具有其解具有 2a)(xvx00v0v2ae|/2,xa0)()(222xkxdxdcos,sinikxkxkxe和的形式/2mek )2/tan(/cos/sin/)(ln)(ln2/5/)(2,)(,/2)2/|(|cos)(1)(3),()(0kakaeeakxckxkcaxevmaexaxaxkxcxxxvxvxxx得