概率论与数理统计浙大四版 第五章 第五章2讲

1、 第二节 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因

2、素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题. 当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的

3、呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量它的标准化的随机变量nkknknkkknxdxexz111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.nkknknkkknxdxexz111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限. 可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布. 考虑考虑中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下面要介绍的绍的 在概率论中，习惯于把和的分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定

4、理都叫做收敛于正态分布这一类定理都叫做中心中心极限定理极限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称的中心极限定理，也称列维一林德伯格列维一林德伯格（levylindberg）定理）定理.定义定义)(21lim22xdtexzpxtnn 有有若若对对任任意意1rx 且且独立的随机变量序列，独立的随机变量序列，设设,1nxx存存在在，令令：kkdxex,/ )(111 nkknkknkkndxexxz服服从从中中心心极极限限定定理理。则则称称nx.)1 , 0(,分布分布近似服从近似服从较大时较大时即

5、当即当nznnlim1xnnxpniin定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）x-2t -dte212 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.设设x1,x2, 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且e(xi)= ，d(xi)= ，i=1,2,，则，则2 虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出x1+x2+ +xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.定理

6、定理( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）)1 (limxpnpnpypnn 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有nydtext2221 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1920)由题给条件知由题给条件知,诸诸xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为161kkxy解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为xi , i=1,2, ,16e(xi)=100,d(xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为p(y1920)由于由于e(y)=1600,d(y)=160000由中心极限

7、定理由中心极限定理,近似近似n(0,1)4001600yp(y1920)=1-p(y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119稍事休息稍事休息例例2. (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床,在生产期在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车换工件等常需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保的概率保证该车间

8、不会因供电不足而影响生产证该车间不会因供电不足而影响生产?用用x表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依题意，依题意，xb(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：p(xn)0.999的最小的的最小的n.求满足求满足设需设需n台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，n台工作所需电力即台工作所需电力即n千瓦千瓦

9、.） 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理)1 (pnpnpx近似近似n(0,1),于是于是 p(xn)= p(0xn)这里这里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(n由由3准则，准则，此项为此项为0。)48120n(查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，)48120(n从中解得从中解得n141.5,即所求即所求n=142. 也就是说也就是说, 应供应应供应142 千瓦电力就能以千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产.999. 0) 1 . 3(48120n 3.1,故故

10、例例3 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码抽一个，并记下号码.问对序列问对序列xk,能否应用大数定律？能否应用大数定律？ 诸诸xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.解解: ,9 . 01 . 001kxk=1,2, e(xk)=0.1, 否则次取到号码第001kxk(1) 设设，k=1,2, nkknxnp11| 1 . 01|lim 即对任意的即对任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kxk=1,2, e(xk

11、)=0.1, 诸诸xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.(2) 至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现的频出现的频率在率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为nkkxn11, 1 . 0)1(1nkkxnenxndnkk09. 0)1(1由中心极限定理由中心极限定理近似近似n(0,1)nnxnkk3 . 01 . 01nxnnkk3 . 01 . 01111. 0109. 01nkkxnp01. 0|1 . 01|1nkkxnp30|3 . 01 .

12、 01|1nnxnpnkk1)30(2n nxnnkk3 . 01 . 011近似近似n(0,1)95. 01)30(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得从中解得从中解得3458n即至少应取球即至少应取球3458次次才能使才能使“0”出现的频出现的频率在率在0.09-0.11之间的之间的概率至少是概率至少是0.95.(3) 用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率之间的概率.解：在解：在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为1001kkx由中心极限定理由中心极限

13、定理,100110011001)()(kkkkkkxdxex近似近似n(0,1)3101001kkx即即近似近似n(0,1)e(xk)=0.1, d(xk)=0.09即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率为之间的概率为0.6826.1001)137(kkxp=0.68263101001kkx近似近似n(0,1) 13101(1001kkxp) 1() 1 (1) 1 (2这一讲我们介绍了中心极限定理这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理. 中心极限定理是概率论中最著

14、名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.无处不在的9 任取一多位数（位数大于等于2），然后交换次序得另一数，将大数减小数，求差数的各位数之和，若为一位数则必为9，若是多位数，则在求其各位数之和，如此反复，直到和为一位数，则必为9.如： 72-27=45,4+5=9.二维hilbert曲线 德国数学家德国数学家david hil

15、bert发现了这样一种可发现了这样一种可以填满整个单位正方形的分形曲线，他称以填满整个单位正方形的分形曲线，他称它为它为hilbert曲线。我们来看一看这条曲线曲线。我们来看一看这条曲线是怎么构造出来的。首先，我们把一个正是怎么构造出来的。首先，我们把一个正方形分割为方形分割为4个小正方形，然后从左下角的个小正方形，然后从左下角的那个小正方形开始，画一条线经过所有小那个小正方形开始，画一条线经过所有小正方形，最后到达右下角正方形，最后到达右下角。现在，我们把现在，我们把这个正方形分成这个正方形分成16个小正方形，目标个小正方形，目标同样是从左下角出发遍历所有的格子同样是从左下角出发遍历所有的格子最后到达右下角。最后到达右下角。 而在这之前我们已经得到了一个而在这之前我们已经得到了一个2x2方格的遍历方格的遍历方法，我们正好可以用它。把两个方法，我们正好可以用它。把两个2x2的格子原的格子原封不动地放在上面两排，右旋封不动地放在上面两排，右旋90度放在左下，左度放在左下，左旋旋90度放在右下，然后再补三条线段把它们连起度放在右下，然后再补三条线段把它们连起来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历来。现在我们得到了一种从左下到右下遍历4x4方格的方法，而这又可以用于更大规