极坐标与参数方程知识点总结

1、第一部分：坐标系与参数方程【考纲知识梳理】1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换x? x,0:? y,的作用下 , 点 P x, y 对应到点y0P x , y ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 .2.极坐标系的概念(1) 极坐标系如图 (1) 所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点 ,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴 ;再选定一个长度单位,一个角度单位 (通常取弧度 ) 及其正方向 (通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系 .注 :极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几

2、何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 .(2) 极坐标设 M 是平面内一点 ,极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的极径 ,记为;以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M的极角 ,记为 .有序数对,叫做点 M 的极坐标 ,记作 M ,.一般地 ,不作特殊说明时 ,我们认为0,可取任意实数 .特别地 ,当点 M 在极点时 ,它的极坐标为 0,R 。和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02 ,那么除极点外 ,平面内的点可用唯一的极坐标,表示 ;同时 ,极

3、坐标, 表示的点也是唯一确定的 .3.极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,如图 (2)所示 :(2) 互化公式 :设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x, y ,极坐标是,0 ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标x, y极坐标,xcos2x 2y 2互化公式sintanyx 0yx在一般情况下 ,由 tan确定角时 ,可根据点 M 所在的象限最小正角 .4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 ,半径为 r 的圆圆心为r ,0 ,半径为 r 的圆圆心为r ,半径

4、为 r 的圆2过极点 ,倾斜角为的直线过点a,0 ,与极轴垂直的直线过点a,与极轴平行的直2线r 022r222r sin0(1)R 或R(2)0 或0cosa22sina 0注 :由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即, ,2,都表示同一点的坐标 ,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点 M4,可以表示为4M,2 或 M,2 或 M4, 5等多种形式 ,其中 , 只有 M,的极坐标满足方程4444444.二、参数方程1.参数方程的概念一般地 ,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y

5、都是某个变数 t 的函数xf t ,并且对yg t于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点M x, y 都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程 ,联系变数x, y 的变数 t 叫做参变数 ,简称参数 ,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 .(2)如果知道变数x, y中的一个与参数 t 的关系,例如xf t ,求出另一个变数与参数把它代入普通方程的关系 y g t,那么xf t就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须

6、使x, y 的取yg t值范围保持一致 .注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆O 的半径为 r ，点 M 从初始位置 M 0 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M x, yxr cos为参数 。这就是圆心在原点O ，半径为 r 的圆的参数方程，其中的几何意，则r siny义是 OM 0 转过的角度。圆心为a, b ，半径为 r 的圆的普通方程是 xa 2yb 2r 2 ，它的参数方程为：xar cosyb为参数 。r sin4椭圆的参数方

7、程以 坐 标 原 点 O 为 中 心， 焦 点 在 x 轴 上 的椭 圆 的 标 准 方 程 为 x2y21 a b0 其参数方程为a2b2xacos为参数，其中参数称 为 离 心 角 ； 焦 点 在 y轴上的椭圆的标准方程是ybsiny 2x21 axbcos为参数 其中参数仍为离心角， 通常规定参数的a 2b2b 0 其参数方程为a siny范围为0,2。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0 到 2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0时，相应地也有0，在其他象限内

8、类似。225双曲线的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为x2y20, b 0 其参数方程为a 21 ab2xasec为参数 ，其中0,2且,3。yb tan22焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是y 2x 21 a0,bxb cota 2b20 其参数方程为为参数 ，其ya csc中0.2且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 22 pxp 0 的参数方程为x2 pt 2t为参数y2 pt7直线的参数方程经过点 M0x0 , y0 ，倾斜角为的直线 l的普通方程是 y y0tanxx0 而过 M 0 x0 ,

9、y0，2倾斜角为xx0t cost为参数 。的直线 l 的参数方程为y0t siny注 ： 直 线 参数 方 程 中 参 数的 几 何 意 义 ： 过 定 点 M 0 x0 , y0 ， 倾 斜 角 为的 直线 l 的 参 数 方 程 为xx0t cosMx , y 为终点的有向线段yy0t为参数 ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点t sinM 0 M 的数量， 当点 M 在 M 0 上方时， t 0；当点 M 在 M 0 下方时， t 0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0 。我们也可以把参数t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点

10、M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。【要点名师透析】一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换x /3x:y2 y /（1）求点 A 1,2 经过 变换所得的点A 的坐标；3B( 3,1)，求点 B 的坐标；（2）点 B 经过变换得到点2（ 3）求直线 l : y6x 经过 变换后所得到直线的l 方程；C : x2y21（ 4）求双曲线64经过变换后所得到曲线C 的焦点坐标。（二）极坐标与直角坐标的互化A(2,4), B(2, 5)例2在极坐标系中，如果4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02 ) 。（三）求曲线的极

11、坐标方程例已知P， Q 分别在 AOB 的两边 OA ， OB 上， AOB=， POQ 的面积为8，求 PQ 中点 M 的3极坐标方程。（四）极坐标的应用例如图，点 A 在直线 x=4 上移动， OPA 为等腰直角三角形， OPA 的顶角为 OPA（ O， P，A 依次按顺时针方向排列） ，求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。二、参数方程（一）把参数方程化为普通方程例已知曲线C ：（ t 为参数）， C ：（为参数）。（1）化 C ，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C 上的点 P 对应的参数为 t， Q 为 C 上的动点，求中点到直线2x32tC3 :2（t 为

12、参数）距离的最小值。yt（二）椭圆参数方程的应用在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点， 求的最大值解答：（三）直线参数方程的应用例过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。解析：（四）圆的参数方程的应用例已知曲线C 的参数方程是为参数 )，且曲线C 与直线=0 相交于两点A 、 B（ 1）求曲线 C 的普通方程；（ 2）求弦 AB 的垂直平分线的方程（ 3）求弦 AB 的长【感悟高考真题】1在极坐标系中，点（ 2， 3 ）到圆2cos的圆心的距离为 ( )22（A ）2(B)2在极坐标系中，圆419(C)9（D)32sin的圆心的极坐标是（）(1,)(1,2)（ A ）2（ B

13、）（C） (1,0)（ D）(1,)xcos3在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 的参数方程为y1sin, ( 为参数 ). 在极坐标系（与直角坐标系xOy 有 相 同 的 长 度 单位 ， 且 以 原 点 O 为 极 点， 以 x轴正半轴为极轴）中，曲线 C2 的方程为(cossin )10,则C1与C2 的交点个数为 _x2 cos4直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为y3 sin(为参数 ). 在极坐标系（与直角坐标系xOy取 相 同 的 长 度 单 位 ， 且 以 原 点O为 极 点 ， 以x轴 正 半 轴 为 极 轴 ） 中 ， 曲 线 C 2 的 方 程 为(cossi

14、n)10,则 C1与 C 2 的交点个数为 _5.（ 1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为= 2sin4cos ，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.6（ 2011·陕西高考理科· T15C ）直角坐标系 xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，x3 cos设点 A ，B 分别在曲线 C1 ： y4sin（为参数）和曲线 C2 ：1 上，则 | AB | 的最小值为7（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，x3cos设点 A ，B 分别在曲线 C1

15、 ： ysin（为参数）和曲线 C2 ：1 上，则 | AB | 的最小值为8.（ 2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线 C 的参数方程为x8t 2（ t 为参数）若斜率为1 的直线经过抛y8t物线 C 的焦点，且与圆 (x - 4)2+ y2 = r 2 (r > 0) 相切，则 r =_.x5 cosx5t 2R) )4(t(09.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为ysin和 yt，它们的交点坐标为.x3cos （ 为参数）10（ 2）在直角坐标系xOy 中，直线 l的方程为 x-y+4=0 ，曲线 C 的参数方程为y sin.（ I）已知在极坐标系（与直角坐

16、标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为4,，判断点 P 与直线 l 位置关系；2（ II ）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值 .x5cos11.选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆y3sin （x42t为参数）的右焦点，且与直线y3t （ t 为参数）平行的直线的普通方程。12.（ 2011 ·新课标全国高考理科· 23）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 的参数方程为uuuvuuuv为参数） M 是 C1 上的动点， P 点满足

17、OP2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2x2cosy22sin（( )求 C2 的方程( )在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为B，求 AB .13.（ 2011 ·新课标全国高考文科· 23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为x2cosuuuvuuuvy2 2sin （为参数） M 是 C1 上的动点， P 点满足 OP2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2( )求 C2 的方程( )在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 与 C1 的异于极点的交点为A，与

18、C2的异于极点的交点为B，求 AB .14.（ 2011·辽宁高考理科·23）（本小题满分 10分）（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xcos,为参数 )ysin(xOy中，曲线C1的参数方程为,， 曲 线C2 的参数方程为xacos,b 0,为参数 )ybsin(a,.在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ： =a 与C1， C2 各有一个交点当a=0 时，这两个交点间的距离为2，当 a= 2时，这两个交点重合（ I）分别说明 C1 ，C2 是什么曲线，并求出a 与 b 的值；（ II ）设当= 4 时， l 与 C1， C2 的交

19、点分别为A1 ，B1 ，当 a=- 4 时， l 与 C1，C2 的交点为A2 ， B2，求四边形 A1A2B2B1的面积x1t15.极坐标 pcos和参数方程y2t（ t 为参数）所表示的图形分别是（D）A. 直线、直线 B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线16极坐标方程（ p-1）（） =（ p0）表示的图形是（ A ）两个圆（ B）两条直线（ C）一个圆和一条射线（ D）一条直线和一条射线2sin与p cos1的交点的极坐标为 _17在极坐标系（ ， ）（0 <2）中，曲线 =xcos（为参数， 0）上的点， 点 A 的坐标为 （ 1,0），O 为坐标原点，18 已知 P 为半

20、圆 C:siny点M在射线 OP上，线段 OM 与C的弧的长度均为。3（ I）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（ II ）求直线 AM 的参数方程。【考点模拟演练】一、选择题51已知极坐标平面内的点P 2， 3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()A. 2， (1，3)B. 2， (1， 3)C. 2， 2，( 1，3)D. 2， 2， ( 1， 3)33332在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1，3) 若以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 ()A. 1，4D. 2，43B. 2，3

21、C. 2，333在直角坐标系xOy 中，已知点 C( 3，3) ，若以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标( ， )( ，>0 < <0)可写为 _4过点 2，平行于极轴的直线的极坐标方程是()4A cos4B sin4C sin 2D cos 2答案： C15曲线的参数方程是x 1 t(t 是参数， t 0)，它的普通方程是 ()y 1 t2A (x 1)2(y1) 1B yxx 2Cyx 1D y1 11 x 21 x21x 26直线 cos2 关于直线 )4对称的直线方程为 (A cos 2B sin2C sin 2D 2sin 2x 1 2 t7已知直线l 的参数方程为(t 为参数 )，则直线l 的斜率为()2y2 2 t22A 1B 1C. 2D 28直线 3x 4y 9 0 与圆：x 2cos()y2sin，( 为参数