极坐标参数方程题型归纳

1、极坐标与参数方程 ( 高考真题 ) 题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015 广·东理， 14)已知直线 l 的极坐标方程为2sin 2，点 A 的极坐标为 A 22，7，则点 A44到直线 l 的距离为 _ 立意与点拨 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题解答本题先进行极直互化，再求距离二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：x2y 21 ，因为 sin 2 x cos2 x1，令x6 sin，则有64y2 cosX+2y= 6 sin +4 cos=6 16 sin, 最大值 22，最小值22三、根据条件求直线和圆的极坐标方程

2、四、求曲线的交点及交点距离4 (2015 湖·北高考 )在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线lx t1，的极坐标方程为(sin 3cos) 0，曲线 C 的参数方程为t(t 为参数 )， l 与 C 相交于 A， B1两点，则 |AB| _y t t【解析】直线 l 的极坐标方程 (sin 3cos ) 0化为直角坐标方程为3x y 0，曲线 C 的参xt1，3x y0，数方程t两式经过平方相减，化为普通方程为y2 x2 4，联立1y2 x2 4y t t22x 2 ，x 2 ，2， 32， B2，3 2解得或所以点A.y 3 22y32

3、 2.2222所以 |AB|2223232 22 5.22 222x 1 2 t，5. 在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程(t 为参数 )，直线 l 与抛物线y2 4x 相2y 2 2 t，交于 A、 B 两点，求线段AB 的长解析 解法 1：将 l 的方程化为普通方程得l ： x y 3， y x3，代入抛物线方程y24x 并整理得 x2 10x 90， x1 1，x2 9.交点 A(1,2)， B(9， 6)，故 |AB |82 82 82.解法 2：将 l 的参数方程代入y2 4x 中得， (222t)，2t)2 4(12解之得 t1 0， t2 8 2， |AB| |t1

4、 t2 | 8 2.1x3 2t，6.(2015 陕·西理， 23)在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为(t 为参数 )以原点为极点，3y 2 tx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin .(1) 写出 C 的直角坐标方程；(2) P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标 立意与点拨 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题 (1) 需熟记极直互化公式；(2) 用参数坐标将距离表达为 t 的函数，转化为函数最值求解解析 (1)由 223sin ，从而有223y，所以223sin ，得 2xy 2x (

5、y3) 3.133)，则 |PC|123t 322(2) 设 P(3 t，2t)，又 C(0，3t 2t 12，22故当 t 0 时， |PC|取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想) 立意与点拨 ( 用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题, 着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧 )8 (2015 新·课标 高考 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x tcos ，(t 为参数， t 0)，其中 0 ，y tsin 在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2sin ， C3： 2 3cos

6、 .(1) 求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2) 若 C1 与 C2 相交于点 A， C1 与 C3 相交于点 B，求 |AB|的最大值【解】 (1) 曲线 C2 的直角坐标方程为x2 y2 2y 0，曲线 C3 的直角坐标方程为x2y2 23x0.x2 y2 2y0，x0，x3，联立2解得y 0，或3x2 y2 2 3x 0，y 2.3 3所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0，0)和 2 ， 2 .(2) 曲线 C1 的极坐标方程为 ( R ， 0)，其中 0 .( 此题 C1 代表的是一条过原点的直线 ) 因此 A 的极坐标为 (2sin ， )，B 的极坐标为 (2 3co

7、s ， )所以 |AB| |2sin 2.3cos | 4 sin 3当 5 时， |AB|取得最大值，最大值为4.69 (2015 商·丘市二模 ) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为： sin 1，曲线 C 的参数方程为：x2 2cos，y 2sin.62(1) 写出直线 l 的直角坐标方程；(2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值1， 3113113y1 0.解析 (1) sin sin cos ，2y x ，即 l： x6222222(2) 解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 (2 2cos， 2sin)，

8、所以，曲线 C 上的点到直线 l 的距离4cos 3d |2 2cos 2 3sin1|3 7.所以最大距离为7.2222解法二： 曲线 C 为以 (2,0)为圆心， 2为半径的圆 圆心到直线的距离为3，所以， 最大距离为 3 27.222x2y2x 2 t10 (文 )(2014 新·课标理， 23)已知曲线1，直线 l：(t 为参数 )C： 49y 2 2t(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2) 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值解析 (1)曲线 C 的参数方程为x 2cos，

9、2xy 6 0.(为参数 ) 直线 l 的普通方程为：y 3sin，5(2) 曲线 C 上任意一点 P(2cos， 3sin)到 l 的距离为 d 5 |4cos3sin 6|.则 |PA| d254sin30° 5|5sin( )6|，其中 为锐角，且 tan 3.( 将 d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当 sin()1 时， |PA|取得最大值，最大值为2255 .当 sin() 1 时， |PA|取得最小值，最小值为255 .六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t

10、1-t2|.2323得：440 ，方程化简，然后用韦达定理求1t1 t1 t1 t5555弦长 =|t-t |=24t1t2 =.t1 t21213. (理 )在直角坐标系 xOy 中，过点 P( 23， 32)作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C：x2 y21 相交于不同的两点 M、N.1 1(1) 写出直线 l 的参数方程； (2)求 |PM| |PN|的取值范围11( 根据直线参数方程中 t的几何意义 , 用参数 t表示所求量 | PM| | PN| ，然后用 t的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)3tcos，解析(1)x 23 tsin ，(t 为参数 )y23 t

11、cos，(2) 将x 23cos 3sin)t 2 0，3(t 为参数 )代入 x2 y2 1 中，消去 x， y 得， t2 (y2 tsin.由 (6，3cos 3sin)2 8 12sin2( ) 8>0?sin( )>6631111t1 t23cos 3sin t1 t21 2 2 3sin()( 2， 3|PM |PN|t t6七、求动点坐标、求变量的值1x 32t，14.(2015 陕·西理， 23)在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为3(t 为参数 )以原点y 2 t为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 2 3sin .(1

12、) 写出 C 的直角坐标方程；(2) P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标 立意与点拨 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题 (1) 需熟记极直互化公式；(2) 用参数坐标将距离表达为 t 的函数，转化为函数最值求解2222(y3)23. 解析 (1) 由 2 3sin ，得 2 3sin ，从而有x y 23y，所以 x 133)，则 |PC|123t322，故当 t 0 时， |PC|(2) 设 P(3 t，2t)，又 C(0，3t 2t 1222取得最小值，此时，P 点的直角坐标为 (3,0)( 此处用参数t 来表示所求距离，然后

13、当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016 全国卷 I) 在直角坐标系xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xa cost ,y1(t 为参数， a 0) 在a sin t,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:4 cos（）说明 C1 是哪一种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（）直线 C3 的极坐标方程为0 ，其中0 满足 tan02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C 3 上，求 a 【解析】：xa cost（ t 均为参数） , x2y12a2y1asin t C1为以0 ，1 为圆心， a 为半径的圆方程为222 y12xya0 x2y22 ，

14、ysin,22sin1a20即为 C1的极坐标方程 C2：4cos,两边同乘得24cosQ2x2y2 ， cosxx2y24x即x2y24 , C3 ：化为普通方程为y2 x,2由题意： C1 和 C2的公共方程所在直线即为C3得： 4 x2 y2，即为 C3,1 a 0 1 a2 0 , a 1（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减, 可得变量的方程）16 (文 )(2015 唐·山市二模 )在极坐标系中，曲线C： 2acos(a>0)，l ： cos 3， C 与 l 有且仅有32一个公共点(1) 求 a；(2) O 为极点， A， B 为 C 上的两点，且 AOB 3，求 |OA| |OB |的最大值 解析 (1) 曲线 C 是以 (a,0)为圆心，