建立不等式模型解决实际问题

1、建立不等式模型解决实际问题【教学重难点】如何建立合理的不等式模型【教学过程】一、引例:问题：大家都有这样的经历：一杯糖水，若再加入一些糖（糖水未饱和），糖水变甜了。你 能解释其中的道理吗？不等式模型：设b克糖水中有a克糖，现再加入m克糖，则有：b a 0,m . - ： （真b b + m分数的性质）通过这个不等式模型我们能很直观的解释这个道理。这是一个比较简单的通过不等式模型解决实际问题的例子。下面我们通过一些稍微复杂点的例子来复习这种通过建立不等式模型解决实际问题的 思想方法。板书课题-建立不等式模型解决实际问题二. 例题选讲例1. 一个书店里有A,B两种杂志，各30本, A杂志5块钱2本

2、，B杂志5块钱3本。那一天，这60本杂志全卖完了，经过计算，5块钱2本的A杂志共卖75元，5块钱3本的B杂志共卖50元， 总共是125元。第二天老板又拿出同样的60本杂志，他想何必自找麻烦来分杂志呢？ 30本 A杂 志是5快钱2本，30本 B杂志5块钱3本，何不把60本杂志放在一起，按10块钱5本来卖？这一天 60本杂志全按10块钱5本卖完了，可是老板点钱时发现只卖得120元，不是125元，这5元钱到 哪去了呢？老板百思不得其解，你能帮助分析原因吗？ 请同学们想一想这是什么原因，并和身边的同学讨论讨论。我们来把两种方式卖的钱分析一下： 如果是分开卖，那么A杂志一共卖了乎5 = 75元，B杂志一

3、共卖了詈5 = 50元，总共是75 50 =125 元。如果是合卖,60本杂志卖了 60 10=120元5解析：设A杂志b元a本，则单价为-，B杂志d元c本，则单价为d，故分卖平均价格acb d花丄二亘妲，合卖平均价格为P2 =32 2aca c差价为：bc+ad b+d (bc ad)(c a)P1 一 P2 ：2aca 十c2ac(a 十c)1 5 5255 + 5因为 a =2,b =5,c =3,d =5所以 pi 二-()= , p?二=2, Pi P2，故分卖赚钱些2 2 3122+3b d+ 不等式模型：设a,b,c,d .0,则pi X c与p2 =口 不一定相等2a +c特别

4、的，当b =d时，卫 2-二电'Pi 1+1 P22a c由此可见商品的分卖与合卖谁更合算不是想当然，这里蕴含着一个数学不等式，课后请 大家研究到底何时分卖合算，何时合卖合算？如果你身边有亲戚做生意，可以以此指导他制 定销售策略。倘若你是好邻居商场的营销经理，切记要建立恰当的不等式模型，选择合理的 营销方案。例2. (2011年江苏连云港市质检)如图1, OA,OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD:x，2y =20(0沁乞20)和曲线EF : xy =200(x 0)分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤为观光旅游需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与O代OB平行的栈桥MG,MK，且以M

5、G,MK为 边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK .设点M的坐标为(s,t).(题中所涉及长度单位均 为米，栈桥及防波堤都不计宽度)(1) 求三角形观光平台MGK面积的最小值；(2) 若要使- MGK的面积不小于320平方米，求t的范围.解: (1)由题意，得 G(100,t), K(s,)(s,t 0)ts又因为 M(s,t)在线段 CD : x 2y =20(0 岂 x 空 20)上，所以 s 2t = 20(0 ： s ： 20)，SMgkMG MK =丄(型-丸200")二丄(st 40000 -400)22 ts2st由 20 二 s 2t 一 2、r2t =2 2st

6、，得 0 ： st 乞 50，当且仅当 s = 10,t 二 5 时等号成立.令 st=u，则 Smgk 二 f(u) J(u 40000-400),u(0,50.2u又当u (0,50时f'(u)丿仆-40000) ：0，故f(u)在(0,50上单调递减,2 u所以 f（U）min 二 f （50）二 225，此时 S 二 10,t = 5所以：MGK面积的最小值为225平方米.（2）由题意得 f（u）_320，即 l（u 40000 一400） _ 320，解得 u 空 40 或 u_ 1000 （舍去），2u所以S40，即（20 _2t）匕40，解之得5 - 5乞匕5 5 .所以

7、t的范围是5 -厉,5 r 5.点评：不等式在实际问题中的应用由实际问题中的不等式关系的建立、解相关参数的不等式、应用基本不等式求解相应函数的最值.不等式模型：设a,b 0，则a，b_2、, 0B，当且仅当a =b时等号成立三. 小试牛刀练习1.荆州中学高三年级有两个阳光班， 教务处的工作人员统计期末数学考试成绩时，计算出两个班中男生的及格率都比女生的及格率高（计算没有错误），于是得出这两个班级男生的及格率比女生的及格率高的结论。一位数学老师听完他的汇报后，对这位工作人员的统计方 法提出了质疑。请问这位数学老师为什么质疑，这位工作人员的统计方法存在问题吗？请举 例试一试。你能由此得到什么更一般

8、的结论吗？反例班级甲班乙班男女人数男25人女30人男29人女24人及格人数23人27人17人14人及格率92%90 %58.6 %58.3 %但是男生及格率为 巡=740。，女生及格率为 75,900建立不等式模型班级甲班乙班男女人数男a-i人女C1人男a2人女C2人及格人数b1人d1人b2人d2人及格率bL印diC1b.a2d2C2全年级男生及格率为，全年级男生及格率为ai +a2& + C2b di> 工作人员的推理是： f1 °二心2，但这个不等式是假命题b? d? ai a2 Ci C2I > a2 C2b十b2 di +d2 _ (biG aidi) +

9、 (b2q - a2d2 ) +05 + b2Ci aid2 a2di 而已知条件只能保证因为+ a?C佝-a2)(c - C2)分子前两项大于0,当第三项小于0时，上式不一定大于0不等式模型：设ai,a2,bi,b2,Ci,C2,di,d2 0，则乩鱼，电 玉二 里巴是假命题Cia?C2a + a? Ci + C2练习2.( 2011年苏州第一次调研)有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距 d(m)正比于车速v(km/h)的平方与车身长L(m)的积,且车距不得小于一个车身长L(m)(假设所有车身长均为Lm ) 而当车速为60(km/h)时，车 距为1.44个车身长.(1) 求通过隧道的最低车速；(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内