曲线积分习题课

1、曲线积分习题课曲线积分习题课主要内容主要内容典型例题典型例题一、主要内容一、主要内容1. 两类曲线积分的概念两类曲线积分的概念, 两类曲线积分两类曲线积分 的性质及两类曲线积分的关系的性质及两类曲线积分的关系.2. 两类曲线积分的计算方法两类曲线积分的计算方法.3. 掌握格林公式掌握格林公式, 平面曲线积分与路径平面曲线积分与路径无关的条件无关的条件. 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiilsfdsyxf10),(lim),( ldyyxqdxyxp),(),(),(),(lim10iiiniiiiyqxp 联联系系dsqp

2、qdypdxll)coscos( 计计算算 dtfdsyxfl22,),(三代一定三代一定)( dtqpqdypdxl),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题 .0:,)( :22222

3、zyxrzyxcdsyzic其中其中计算计算例例 ccdsyzdsi21：解解轮换对称性轮换对称性数数由由积积分分曲曲线线化化简简被被积积函函.322332rrr 二、二、典型例题典型例题 ccdszyxdszyx)(31)31222（ cdsr2310化化为为参参数数方方程程。将将解解c2 .0:2222zyxrzyxc,243)2(222rzzyx 得得消去消去 trzccos62:trtrycos6sin2 trtrxcos6sin2 .20 t再求解。再求解。 dds 例 计算,)(222dszyxi 其中其中 为球面为球面解解1 1, 1141)21(21:22 zxyx: 20 2

4、)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d229 20 i d2 cos221 z. 1的交线的交线与平面与平面 zx29222 zyx化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2 y 计算,)(222dszyxi 其中其中 为球面为球面解解2 222129r的半径的半径 182229i. 1的交线的交线与平面与平面 zx29222 zyx 球心球心o到平面到平面的周长的周长29d29si .211dzx的距离为的距离为 例例. 计算计算,dsxil 其中其中l为双纽线为双纽线)0()()(222222 ayxayx解解: 在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象

5、限部分为)40(2cos:1 arl利用利用对称性对称性 , 得得sxild41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arl yox曲面面积的计算法曲面面积的计算法sdxy),(yxfz xyozxydyxdxdyzzs221dsyxfsbal ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz slabab曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 ldyxdsyxfdffs),()11(22 xzyo),(yxfz ld如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，12例例解解求圆柱面求圆柱面22222 ryrx被截在球被截在球2222rzyx 内部的内部的

6、柱面的面积柱面的面积.由图形的对称性由图形的对称性,只需求第一挂限部分的面积只需求第一挂限部分的面积,再四倍之再四倍之. 柱面与柱面与xoy平面的交线平面的交线rxyzorr2222rzyx rxyx 22,0),(时时当当 yxf平面曲线平面曲线l上第一类曲线积分上第一类曲线积分 s lsyxfd),(柱面面积柱面面积在几何上表示以在几何上表示以l为准线为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面之介于轴的柱面之介于平面平面z = 0和曲面和曲面z = f (x,y)之之之间那部分的柱面面积之间那部分的柱面面积. cos:rl .20 (极坐标极坐标)弧微分为弧微分为 dd22s,d r故所求的面

7、积故所求的面积 s222yxr l4sd 24r.42r dr 22cosr20s lsyxfd),(柱面面积柱面面积例例 计算计算 其中其中l为为 ,)()(22 lyxdyyxdxyxi解解 1圆周圆周: ，方向沿逆时针，方向沿逆时针.222ayx ladyyxdxyxi2)()(),20:(sincos: ttaytaxldttt)cos(sin2202 dt 20 2 dtatatatatatata 202)cos)(sincos()sin)(sincos(,)()(22 lyxdyyxdxyxi解解2圆周圆周: ，方向沿逆时针，方向沿逆时针.222ayx ladyyxdxyxi2)(

8、)(ddxdyai212 2 dyyxdxyxal)()(12根据根据格林公式格林公式, 得得. 1, 1),(,yxpqyxqyxp则则设设解题思路解题思路: lqdypdxixqyp xqyp 0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi闭合闭合非闭非闭闭合闭合 ddxdyypxqi)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式).1, 0(),0 , 1(),1 , 0(),0 , 1(,22分别为分别为，为闭合回路为闭合回路，其中，其中计算计算例例dcbaabcdlyxdyxxydxil . 1 yxl的的方方程程为为解解： ldyxxydxi22.2,22yxpxqxq

9、xyp 则则设设. 0 i由由格格林林公公式式，17例例 计算计算,)ln(2222dyyxxxyyxdyxil设设 xqyp可知可知2yypxq非常简单非常简单.,222yxyy)ln(,2222yxxxyyqyxp其中其中l ：曲线：曲线 y=sinx (x2)按按x增大的方向增大的方向解解1,22yxyoxy)0 ,( a)0 ,2( b18由格林公式由格林公式ddxdyy2., 0: 到到从从补充补充2 2xyba2yypxq,)ln(2222dyyxxxyyxdyxil其中其中l ：曲线：曲线 y=sinx (x2)按按x增大的方向增大的方向 计算计算babalioxy)0 ,( a

10、)0 ,2( b 2xdx 20sin2xdyydx 2xdx94232 19,)ln(2222dyyxxxyyxdyxil其中其中l ：曲线：曲线 y=sinx (x2)按按x增大的方向增大的方向 计算计算dyxyilab2oxy)0 ,( a)0 ,2( b 222cossinxdxxxxdx94232 解解2dyxydyyxxyxdyxill22222)ln(由与路径无关条件得由与路径无关条件得方向。方向。为半径的圆周，逆时针为半径的圆周，逆时针）为圆心，）为圆心，：以（：以（，：计算：计算例例)1(01422 rrlyxydxxdyl解解xqyxxyypyx 22222)4(4)0 ,

11、 0(),(时，时，当当04,1)1(22 yxydxxdyr时时当当取逆时针方向。取逆时针方向。内，内，在在且足够小，使得且足够小，使得其中其中：作曲线作曲线时时当当clcrryrxcr, 0,sin2cos,1)2( cclyxydxxdyyxydxxdy222244原式原式 drrrrr 2024)sin(sin2cos2cos0 2021d 方向。方向。为半径的圆周，逆时针为半径的圆周，逆时针）为圆心，）为圆心，：以（：以（，计算计算)1(01422rrlyxydxxdyl22oxy 0sindeyyd 研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域,0 ,0

12、),( yxyxdl为为d的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin lxylxyxyyxxyyx.2dede)2(2sinsin lxyxyyx证证左边左边 =l 0sindeyy,)dee (0sinsin xxx右边右边 = 0sindexx,)dee (0sinsin xxx法一法一 0sindexxxxxx(1) 2eesinsin xx lxylxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin lxylxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin例例23.2dede)2(2sinsin lxyxyyx 0sinsin

13、)dee (xxx已知平面区域已知平面区域,0 ,0),( yxyxdl为为d的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin lxylxyxyyxxyyx证证(2) 由于由于, 2eesinsin xx故由故由(1)得得 lxyxyyxdedesinsin .22研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分)24证证 法二法二 (1) 根据根据格林公式格林公式, 得得左边左边 =右边右边 =,d)ee (sinsin xdy ,d)ee (sinsin xdy 因为因为d关于关于xy 对称对称, 所以所以 d)ee (sinsinxdy d)ee (sins

14、inxdy oxydl ldyqxpyxypxqdddd)(研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分).2dede)2(2sinsin lxyxyyx已知平面区域已知平面区域,0 ,0),( yxyxdl为为d的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin lxylxyxyyxxyyx lxylxyxyyxxyyxdedededesinsinsinsin25证证 法二法二由由(1)知知 lxyxyyxdedesinsin d)ee (sinsinxdy d)ee (sinsinxdx d2 d.22 lxyxyyxdedesinsin d)ee (sin

15、sinxdy d)ee (sinsinxdy lxyxyyxdedesinsin+研究生考题研究生考题(数学一数学一)(10分分).2dede)2(2sinsin lxyxyyx已知平面区域已知平面区域,0 ,0),( yxyxdl为为d的正向边界的正向边界.试证试证:;dededede)1(sinsinsinsin lxylxyxyyxxyyx。试求试求恒有恒有任意任意与积分路径无关，且对与积分路径无关，且对且曲线积分且曲线积分导数，导数，平面上有连续的一阶偏平面上有连续的一阶偏在在例设函数例设函数),(),(2),(2,),(2),(), 1()0,0()1 ,()0,0(yxqdyyxq

16、xydxdyyxqxydxtdyyxqxydxxoyyxqttl xypxqxyyxp22),( 件件得得，由由积积分分与与路路径径无无关关条条解解法法一一：设设)(),(2ycxyxq )1 ,()0,0(),(2tdyyxqxydx 102102)()(dyyctdyyct ), 1()0,0(),(2tdyyxqxydx ttdyyctdyyc002)()(1 tdyyctdyyct0102)()(由题设得：由题设得：)(12tctt 求导得：求导得：两边对两边对. 12),(12)(2 yxyxqttc),(,2),(),(2yxqyuxyyxpxuyxu 使使存在函数存在函数由积分与

17、路径无关，由积分与路径无关，解法解法)(2),(2yfyxxydxyxu )(),(2yfxyxq 由已知积分等式得：由已知积分等式得：)()1(), 1()1 ,(2tftfttutu 12)()(12 ttftftt求导得：求导得：两边对两边对. 12),(2 yxyxq29),()(在在设函数设函数xf内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,l是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,为为(a, b), 终点为终点为(c, d).,d1)(d)(11222yxyfyyxxxyfyyil 记记(1) 证明证明曲线积分曲线积分i 与路径与路径l无关无关;(2)

18、当当ab = cd 时时, 求求i 的值的值.证证)(112xyfyyyyp 因为因为 1)(22 xyfyyxxxq)(1)(2xyfxyyxyf 所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分i 与路径与路径l无关无关.(1)例例其起点其起点30.badc 解解(2)由于由于曲线积分曲线积分i 与路径与路径l无关无关,yxyfyyxxxyfyyild1)(d)(11222 l是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a, b), 终点终点(c, d).),(dc 所以所以xbxfbbicad)(112 ycyfyycdbd1)(22 xbxbfb

19、accad)( bcdcycyfcdb d)(ttfttfbadccdbcbcabd)(d)( (2) 当当ab = cd 时时,求求i 的值的值.0tt法一法一xyo ),(ba),(bc 31解解(2)yxyfyyxxxyfyyild1)(d)(11222 l是上半平面是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a, b), 终点终点(c, d).(2) 当当ab = cd 时时,求求i 的值的值.法二法二 i,d)(d)(yxyxfxxyyfl 2ddyyxyxlbadc 2ddyyxyxl 设设f(x)为为f (x)的一个原函数的一个原函数, 则则 yxy

20、xfxxyyfld)(d)( )()(abfcdf.badci 由此得由此得 lyxd),(),(dcbayx, 0)d()(xyxyfl )dd( )(yxxyxyfl 。功功最最大大？并并求求此此最最大大功功所所做做的的一一点点时时，使使的的第第一一卦卦限限部部分分上上的的哪哪沿沿直直线线移移动动到到曲曲面面原原点点，问问将将质质点点从从已已知知力力场场例例fczbyaxokxyjzxiyzf1.222222 ),(wvua一点为一点为设曲面上设曲面上 oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzvyuxoa 解：解： oaxydzzxdyyzdxw )(000000:twzv

21、yuxoa 10:,: twtzvtyutxoa 10)()()()()()(wtdvtutvtdutwtutdwtvt 1023dttuvwuvw )1(222222 cwbvauuvwf ),(333cba.33abcw )1(222222 cwbvauuvwf 1020202222222222cwbvaucwuvfbvuwfauvwfwvu 222222cwbvau 31 , 确确定定常常数数,),(的的梯梯度度为为某某二二元元函函数数yxu例例上上的的向向量量使使在在右右半半平平面面0 x).,(yxu并并求求分析分析令令jyxxiyxxyyxa )()(2),(24224 )(2),

22、(24yxxyyxp )(),(242yxxyxq 如果存在二元函数如果存在二元函数),(yxu使得使得 ),(gradyxujyxqiyxp),(),( 则必有则必有,ypxq 由此确定由此确定, 用线积分或不定积分求用线积分或不定积分求).,(yxu解解 xq,)(2),(24 yxxyyxp )(),(242yxxyxq 124524)(4)(2 yxxyxx yp124224)(4)(2 yxxyyxx令两者相等得令两者相等得0)1()(424 yxx1 即即,224yxxyp 242yxxq 以下用两种方法求以下用两种方法求).,(yxuxyo,224yxxyp 242yxxq ),(yxuyyxxxyxxyyxdd2242),()0, 1(24 xyxxxd02124 yxyxy0222d112arctanxy ),(yx (1,0) (x,0)yyxxyd0242 ,arctan2cxy 法一法一在右半平面内任取一点在右半平面内任取一点作为积分路径的起点作为积分路径的起点,)0 , 1(可得可得用曲线积分用曲线积分的一般表达式是的一般表达式是),(yxuc为任意常数为任意常数.法二法二 用不定积分用不定积分因为因为yqxpyyuxxuuddddd ,224yxxyp 242yxxq 242yxxyu 所以