高考数学复习第5课函数的定义域与值域

1、第5课 函数的定义域与值域(本课时对应学生用书第1112页)自主学习回归教材1. (必修1P93习题1改编)函数f(x)=+的定义域为.答案1,+)解析由解得x1.2. (必修1P93习题5改编)函数y=x2-x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为.答案0,2,6解析当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;当x=2时,y=2;当x=3时,y=6,所以值域为0,2,6.3. (必修1P32例2改编)函数f(x)=的最大值是.答案解析1-x(1-x)=x2-x+1=+.因此,有0<,所以f(x)的最大值为.4. (必修1P32习题7改编)已知函数f(x)=x2-2x,xa,b的值域为-1,

2、3,则b-a的取值范围是.答案2,4解析值域为-1,3,当a=-1,b=3时,(b-a)max=4;当a=-1,b=1或a=1,b=3时,满足要求,(b-a)min=2.综上所述,b-a2,4.1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.(2) 分式中分母应不等于0;偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中被开方数为一切实数;零指数幂中底数不等于0,负分数指数幂中底数应大于0.(3) 对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.(4) 实际问题中还需考虑自变

3、量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集.2. 求函数值域的主要方法(1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域.(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数).(4) 单调函数常根据函数的单调性求值域.(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.(6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义的方法求值域.(7) 只要

4、是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.要点导学各个击破求函数的定义域例1(1)(2014·杭州质检)函数f(x)=ln的定义域是.(2) 若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=的定义域是.答案(1) (-,-1)(2,+)(2) 0,1)解析 (1) 由题意知>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x>2或x<-1. (2) 由解得0x<1,定义域为0,1).精要点评(1) 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.(2) 已知f(x)的定义域是a,b,求f(g(x)的定义域,是指

5、满足ag(x)b的x的取值范围,而已知f(g(x)的定义域是a,b,指的是xa,b.【题组强化·重点突破】1.(2014·泰州期末)函数f(x)=log2(x-3)的定义域为.答案x|x>3解析要使函数有意义,则x-3>0,所以x>3.2.若函数f(x)的定义域为3,6,则函数y=的定义域为.答案解析由题意,因为f(x)的定义域为3,6,所以ÞÞx<2,所以定义域为.3.(2014·山东卷)函数f(x)=的定义域为.答案(2,+)解析由题意得解得x>2或0<x<,所以f(x)的定义域为(2,+).4.(

6、2014·珠海模拟)函数y=的定义域为.答案解析由题意得解得x>-,所以定义域为.5.已知f(x)的定义域是0,4,则f(x+1)+f(x-1)的定义域是.答案1,3解析由题意得解得1x3.故f(x+1)+f(x-1)的定义域为1,3.求函数的值域例2求下列函数的值域.(1) y=3x2-x+2,x1,3;(2) y=;(3) y=x+4;(4) y=.思维引导函数的值域问题是函数知识的重要组成部分,它蕴含的思想方法丰富,不同类型函数模型的值域问题有不同的解法,要视具体问题而定.解答(1) (配方法)因为y=3x2-x+2=3+,所以函数y=3x2-x+2在1,3上单调递增,所

7、以当x=1时,原函数取得最小值4;当x=3时,原函数取得最大值26,所以函数y=3x2-x+2(x1,3)的值域为4,26.(2) (分离常数法)y=3+,因为0,所以3+3,所以函数y=的值域为y|y3.(3) (换元法)设t=,t0,则x=1-t2,所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0),所以y5,所以原函数的值域为(-,5.(4) (基本不等式法)y=x+=x-+,因为x>,所以x->0,所以x-+2=,当且仅当x-=,即x=时等号成立,所以y+,所以原函数的值域为.精要点评配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法,但要注意各种方法所适用的

8、函数形式,还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数,换元的目的是进行化归,把无理式转化为有理式来解;二次分式型函数求值域,多采用分离出整式利用基本不等式法求解.【题组强化·重点突破】1.求下列函数的值域.(1)函数y=x2+2x(x0,3)的值域为 ;(2)函数y=的值域为;(3)函数y=x-的值域为;(4)函数y=log3x+logx3-1的值域为.答案(1)0,15(2)y|yR,y1(3) (4)(-,-31,+)解析(1) (配方法)y=x2+2x=(x+1)2-1,y=(x+1)2-1在0,3上为增函数,所以0y15,即函数y=x2+2x(x0,3)的值域为0,15.

9、(2) (分离常数法)y=1-.因为0,所以1-1,即函数的值域是y|y1.(3) (换元法)令=t,t0,x=,于是y=-t=-(t+1)2+1,由于t0,所以y,故函数的值域是.(4) (基本不等式法)函数定义域为x|x>0且x1.当x>1时,log3x>0,于是y=log3x+-12-1=1;当0<x<1时,log3x<0,于是y=log3x+-1=-1-2-1=-3.故函数的值域是(-,-31,+).2.(2014·苏锡常镇调研)函数y=(xe)的值域是.答案(0,1解析因为xe,所以ln x1,故y(0,1.3.(2014·海门

10、中学)函数f(x)=的值域是.答案(-,2解析当0<x<1时,值域为(-,0);当x1时,值域为(-,2.故原函数的值域是(-,2.4.(2015·南师附中)若函数f(x)=1+log3x的定义域是(1,9,则函数g(x)=f2(x)+f(x2)的值域是.答案(2,7解析由Þ1<x3,故g(x)的定义域为(1,3,设t=log3x,则0<t1,而g(x)=(1+log3x)2+1+log3x2,所以g(t)=t2+4t+2=(t+2)2-2,由0<t1,得2<g(t)7.5.(2014·青阳中学)若函数y=x2-3x-4的定义域

11、为0,m,值域为,则m的取值范围是 .答案解析因为f(x)=x2-3x-4=-,所以f=-.又f(0)=f(3)=-4,故由二次函数图象可知m3.已知函数定义域(值域)求参数的取值范围例3若函数y=的定义域为R,求实数a的取值范围.思维引导 可先求出使函数有意义的不等式(组),再对其中的参数进行分类讨论.解答由题意知当xR时,(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.当a2-1=0,即时,得a=1,此时有(a2-1)x2+(a-1)x+=1.可知当xR时,(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立.当a2-10,即时,有解得1<a9.综上所述,实数a的取值范围是1,9.精要点评解决本题的关

12、键是理解函数的定义域是R的意义,并会对函数式进行分类讨论,特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论.练习(1)(2014·常州一中)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是.(2)若函数y=lg(x2+2x+m)的值域是R,则实数m的取值范围是.答案(1)(2)(-,1解析(1)f(x)的定义域为R,即mx2+4mx+30恒成立.当m=0时,符合条件.当m0时,=(4m)2-4×m×3<0,即m(4m-3)<0,所以0<m<.综上所述,m的取值范围是.(2)由题意可知x2+2x+m能取遍一切正实数,从而可知=4-4m0,则

13、m1.新定义下的函数值域创新问题例4已知函数fM(x)的定义域为实数集R,满足fM(x)=(M是R的非空真子集).在R上有两个非空真子集A,B,且AB=,则F(x)=的值域为.思维引导求F(x)的值域确定fA(x),fB(x)以及(x)的取值探讨x与A,B,AB的关系.答案1(例4)解析因为A,B是R的两个非空真子集,且AB=,画出韦恩图如图所示,则实数x与集合A,B的关系可分为xA,xB,xA且xB三种.当xA时,根据定义,得fA(x)=1.因为AB=,所以xB,故fB(x)=0.又因为AÍ(AB),则必有xAB,所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.当xB时,根据定义,得fB(

14、x)=1.因为AB=,所以xA,故fA(x)=0.又因为BÍ(AB),则必有xAB,所以fAB(x)=1.所以F(x)=1.当xA且xB时,根据定义,得fA(x)=0,fB(x)=0.由图可知,显然xAB,故fAB(x)=0,所以F(x)=1.综上,函数的值域中只有一个元素1,即函数的值域为1.精要点评(1) 如果函数f(x)的定义域为A,那么f(g(x)的定义域是使函数g(x)A的x的取值范围.(2)如果f(g(x)的定义域为A,那么函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域.(3)f(g(x)与f(h(x)联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定

15、义函数值的计算,所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合,再根据图形的直观性进行分类,简单又直接.练习把本例中“AB=”变为xAB,其他条件不变,试求之.解答当xAB时,因为(AB)Í(AB),所以必有xAB.由定义,可知fA(x)=1,fB(x)=1,fAB(x)=1,所以F(x)=.故函数F(x)的值域为.1.(2014·苏北四市期末)函数f(x)=lg(2x-3x)的定义域为.答案(-,0)解析由2x-3x>0得>1,所以x<0,即函数f(x)的定义域为(-,0).2.(2014·江西卷)函数f

16、(x)=ln(x2-x)的定义域为.答案(-,0)(1,+)解析由x2-x>0,得x>1或x<0.3. 若函数y=的定义域是(-,1)2,5),则其值域是.答案(-,0)解析因为x(-,1)2,5),故x-1(-,0)1,4),所以(-,0).4.已知函数f(x)=.(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的定义域为-2,1,求实数a的值.解答(1)若1-a2=0,即a=±1.当a=1时,f(x)=,定义域为R,符合题意;当a=-1时,f(x)=,定义域为-1,+),不合题意.若1-a20,则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为

17、二次函数.由题意知g(x)0对xR恒成立,所以即解得-a<1.由可得实数a的取值范围是.(2)由题意知,不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+60的解集为-2,1,显然1-a20且-2,1是方程(1-a2)x2+3(1-a)x+6=0的两个根,所以解得a=2,即实数a的值为2.趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第910页.第5课函数的定义域与值域一、 填空题1.(2014·江苏压题卷)函数y=的定义域是.2. 函数y=+lg(2x-1)的定义域是.3. 函数y=2-的值域是.4. 函数f(x)=3x-的值域是.5. 已知函数y=的值域是0,+),那

18、么实数m的取值范围是.6.若函数y=f(x)的值域是1,3,则函数F(x)=1-2f(x+3)的值域是.7.(2014·金陵中学)已知函数f(x)=若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是.8. 定义区间x1,x2(x1<x2)的长度为x2-x1.已知函数f(x)=的定义域为a,b,值域为0,2,则区间a,b的长度的最大值与最小值的差为.二、 解答题 9. 求下列函数的值域.(1) y=4-;(2) y=2x+;(3) y=;(4) y=.10.(2015·镇江中学)已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(aR).(1)若函数f(x)的值域为0,+),求a的值;(

19、2)若函数f(x)的值域为非负数,求函数g(a)=2-a|a+3|的值域.11. 已知函数g(x)=+1, 函数h(x)=,x(-3,a,其中a>0,令函数f(x)=g(x)·h(x).(1) 求函数f(x)的解析式,并求其定义域;(2) 当a=时,求函数f(x)的值域.第5课函数的定义域与值域1.(-2,+)解析由题意得0,解得x>-2,故所求定义域为(-2,+).2. 解析由得x>.3. 0,2解析-x2+4x=-(x-2)2+44,所以02,所以02-2,所以0y2.4. (-,1解析令t=0,所以x=,即f(t)=1-t2-t=-+.当t=0时,f(t)ma

20、x=1,故所求值域为(-,1.5. 4,+)解析当m=0时,不符合题意,所以即m4.6.-5,-1解析因为1f(x)3,所以1f(x+3)3,所以-6-2f(x+3)-2,所以-5F(x)-1.7.(-,-12,+)解析易知两段函数都是增函数,当x>2时,y>4+a;当x2时,y2+a2.要使f(x)的值域为R,则4+a2+a2,解得a2或a-1.8. 3解析由函数f(x)=的图象和值域为0,2知,当a=时,b1,4;当b=4时,a,所以区间a,b的长度的最大值为4-=,最小值为1-=,所以区间长度的最大值与最小值的差为-=3.9. (1) 由3+2x-x20,得函数的定义域为-1,3.又t=3+2x-x2=4-(x-1)2,所以t0,4, 0,2,从而ymin=2