版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、第十章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 ab一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为ab , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限
2、” kkkks),(可得nk 10limm为计算此构件的质量,ks1kmkm),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数, 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxmd),(nk 10limks1kmkm),(kkk和对机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、如果 l 是 xoy 面上的曲线弧 ,kknkksf),(lim10lsyxfd),(如果 l 是闭曲线 , 则记为.d),(lsyxf则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 l 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.3. 性质性质szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2((k 为常数)szyxfd),()3( 由 组成) 21, sd)4( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(s
4、zyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsdyxfld)()()(, )(),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txl,d),(存在lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10lsyxfd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ,1kkktt点),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limlsyxfd),(kkkt
5、)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf机动 目录 上页 下页 返回 结束 xdydsdxyolsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 l 的方程为),()(bxaxy则有lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrl则sy
6、xfld),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dlsx其中 l 是抛物线2xy 与点 b (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyllsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 o (0,0)1lxy2xy o) 1 , 1 (b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计
7、算半径为 r ,中心角为2的圆弧 l 对于它的对称轴的转动惯量i (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,r xyolsyild2d)cos()sin(sin2222rrrdsin23 r0342sin22 r)cossin(3 r则 )(sincos:ryrxl机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dsxil其中l为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1 arl利用对称性 , 得sxild414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arlyox机动 目录 上页 下页 返回
8、结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,d2sx其中为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:
9、 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zzyyxx0 :2222zyxazyx, 则sx d2sxd) 1(2sxd2332a)131(22aasx d2sda2圆的形心在原点, 故0xax22, 如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 d d s例例6. 计算,d)(222szyxi其中为球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920id2cos221z. 1的交线与平面 zx292 z化为参数方程 21cos2x sin2y则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.
10、有一半圆弧cosrx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2rskfxdcos2rksindd2rskfydsin2rkrroxy0dcos2rkfx0dsin2rkfy0cossin2rkrk40sincos2rkrk2故所求引力为),(yx,sinry 求它对原点处单位质量质点的引力. rkrkf2,4机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(
11、21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)lszyxfd),(),(为常数szyxgld),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxllsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyllsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrllsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxl周长为a , 求syxxyld)432(22提示提示:0d2
12、sxyl原式 =syxld)34(1222sld12a12o22yx3利用对称性sxyld2sxyld2上sxyld2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧l的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zi(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxilzd)(22202atkad222222kaa(2) l的质量smld222ka 而sxld22kaa20dcostt0(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 syld22kaa20dsintt0szld22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业p131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 xyo备用题备用题1. 设 c 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求seicyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段积分xeia
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 黄山学院《电视节目制作》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 淮阴师范学院《描述统计实训》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 黄山学院《抽样查实践》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 淮阴师范学院《中学语文名篇讲析》2022-2023学年第一学期期末试卷
- 淮阴师范学院《小学课程与教学论》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 淮阴工学院《市场营销学》2021-2022学年第一学期期末试卷
- 淮阴师范学院《Python语言程序设计》2021-2022学年期末试卷
- DB6110-T 56-2024《毛木耳短袋地摆栽培技术规程》
- DB4106T132-2024电梯使用单位安全主体责任落实规范
- 一年级20以内口算、速算、练习题100道
- 液压动力滑台的PLC控制新版专业系统设计
- 2024年北京出版集团有限责任公司招聘笔试冲刺题(带答案解析)
- 24春国家开放大学《教育学》期末大作业
- 2024年长沙航空职业技术学院单招综合素质考试题库附答案(研优卷)
- MOOC 自然保护与生态安全:拯救地球家园-暨南大学 中国大学慕课答案
- 基于PLC的自动灌溉控制系统设计-本科毕业设计
- 六年级信息科技上全册教案 浙教版2023年
- 【体能大循环】聚焦体能循环-探索运动奥秘-幼儿园探究体能大循环有效开展策略课件
- 乳房下垂个案护理
- AI在航空航天领域中的应用
- 《果树嫁接技术》课件
评论
0/150
提交评论