第四章4344泰勒级数与洛朗级数

1、12. 幂级数的分析性质幂级数的分析性质即即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收敛圆内可以在收敛圆内可以逐项积分逐项积分，即即)(zf(1) 函数函数在收敛圆在收敛圆 内内解析解析。rzz |0设设性质性质,|,)()(000rzzzzazfnnn 则则(2) 函数函数 的导数可由其幂函数的导数可由其幂函数逐项求导逐项求导得到，得到，)(zf三、三、幂级数的性质幂级数的性质p87 .)(1010 nnnzzna zzdzzfzf0)()(2解解利用逐项求导性质利用逐项求导性质)(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z把函数把函数例例表示成形如表示成

2、形如 0nnnza2)1(1z 的幂级数。的幂级数。3解解利用逐项求导性质利用逐项求导性质把函数把函数例例表示成形如表示成形如 0)(nnniza2)1(1z 的幂级数。的幂级数。nniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin .2| iz)()1(1izi 44.3 泰勒级数泰勒级数一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理二、将函数展开为泰勒级数的二、将函数展开为泰勒级数的方法方法5z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)(

3、)(00 nnnzzazf则当则当 时，有时，有rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 d 内解析，内解析，)(zfc 为为 d 的边界，的边界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (1) 对于一个给定的函数，在给定点处的泰勒展开式对于一个给定的函数，在给定点处的泰勒展开式是唯一的。是唯一的。6z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf则当则当 时，有时，有rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 d 内解析，内解析，)(zfc 为为 d 的边界，的边界

4、，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (2) 解析函数解析函数在圆域在圆域 上上展开为幂级数，展开为幂级数，rzz |0而不是在整个解析区域而不是在整个解析区域 d 上。上。7z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf则当则当 时，有时，有rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 d 内解析，内解析，)(zfc 为为 d 的边界，的边界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (3) 函数在

5、一点解析的充要条件是它在这点的领域内函数在一点解析的充要条件是它在这点的领域内可以展开为幂级数。可以展开为幂级数。8z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf则当则当 时，有时，有rzz |0定理定理 设函数设函数 在区域在区域 d 内解析，内解析，)(zfc 为为 d 的边界，的边界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (4)在区域在区域若函数若函数)(zfd内有奇点，内有奇点，)(zf则则显然，该奇点正好在收敛圆周上。显然，该奇点正好在收敛圆周上。|,|0zr 其中，

6、其中， 为为0z的奇点中的奇点中距离展开点距离展开点最近的一个奇点最近的一个奇点。 p89说明说明(2) 9二、将函数展开为泰勒级数的二、将函数展开为泰勒级数的方法方法1. 直接展开法直接展开法.!)0()(nfann 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数将函数 在在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。例例zzfe)( 0 z解解,1)0(0)(e zznf,!1!)0()(nnfann .| zp90 例例4.6 ,! 212 nzzzn 0!e)(nnznzzf10二、将函数展开为泰勒级数的二、将函数展开为泰勒级数的方法方法1. 直接展开法直接展开法.!)0()

7、(nfann 利用泰勒定理，直接计算展开系数利用泰勒定理，直接计算展开系数 02)!2()1(cosnnnnzz 012)!12()1(sinnnnnzz 同理可得同理可得.| z,! 4! 2142 zz,! 5! 353 zzz.| z11二、将函数展开为泰勒级数的二、将函数展开为泰勒级数的方法方法2. 间接展开法间接展开法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式,! 3! 21!032e nnzzzznz.|

8、z,111320zzzzznn .1| z12zzfzd)(0 )0()(fzfzzf 11)(1)解解将函数将函数 分别在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)(11z ,)1(0 nnnz.1| z,d)1(00 nznnzz 01,1)1()(nnnznzf.1| z00p92 例例4.11 修改修改 01,1)1(nnnzn13zzfzd)(0 011,)1(112)1()1()(nnnnznfzfzzf 11)(2)解解将函数将函数 分别在分别在 点展开为幂级数。点展开为幂级数。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)1(21 z.2| 1|

9、 z,d)1(2)1(001 nznnnzz 02)1()1(21nnnnz2/ )1(1121 z,) 1(2) 1(01 nnnnz11 011,)1(112)1(2ln)(nnnnznzf.2| 1| zp92 例例4.11 修改修改 14(1)21 z21121z ,201 nnnz.2| z解解12)(2 zczbzazf,12212 zzz122 zz(2)(122zz ,)1()2(02 nnnzz.1| z,)1()1(22)(0120201 nnnnnnnnnzzzzf.1| z将函数将函数例例在在0 z)1)(2(32)(22 zzzzf点展开为幂级数。点展开为幂级数。15

10、,4sin!)2()(0 nnnznnzf 00!)1 (21!)1 (21nnnnnnzniiznii解解izfz iz iz2)(eee )(21)1()1(eezizii .| z 0!)1()1(21nnnnzniii.| z将函数将函数例例在在0 zzzfzsin)(e 点展开为幂级数。点展开为幂级数。 0!ennznz164.4 洛朗级数洛朗级数一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理三、将函数展开为洛朗级数的三、将函数展开为洛朗级数的方法方法17一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析

11、设想设想 这样一来，在整个复平面上就有这样一来，在整个复平面上就有若若 ，,1|1 z1| z有有 从而可得从而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz18一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”1. 问题分析问题分析启示启示 如果如果不限制不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开复平面上展开( (除了奇点所在的圆周上除了奇点所在的圆周上) )。 在引入了

12、负幂次项以后，在引入了负幂次项以后，“幂级数幂级数”的收敛特性如何呢？的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数下面将讨论下列形式的级数:.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0洛朗洛朗级数级数19一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”分析分析2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0将其分为两部分：将其分为两部分：正幂次项部分正幂次项部分与与负幂次项部分负幂次项部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(a) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(b)(1) 对于对于

13、 (a) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为;|20rzz (2) 对于对于 (b) 式，其收敛域的形式为式，其收敛域的形式为;|10rzz 根据上一节的讨论可知：根据上一节的讨论可知：20一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛， nnnzza)(0.|201rzzr 则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域： 如果只含如果只含正正幂次项幂次项( (或者加上有限个负幂次项或者加上有限个负幂次项) )，特别地特别地则其收敛域为：则其收敛域为：rzz |00.|00rzz

14、或或 如果只含如果只含负负幂次项幂次项( (或者加上有限个正幂次项或者加上有限个正幂次项) )，则其收敛域为：则其收敛域为：.|0 zzr21一、含有负幂次项的一、含有负幂次项的“幂级数幂级数”结论结论2. 级数级数 的收敛特性的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数如果级数 收敛，收敛， nnnzza)(0.|201rzzr 则其收敛域则其收敛域“一定一定”为环域：为环域：而且具有与幂级数同样的而且具有与幂级数同样的运算性质运算性质和和分析性质分析性质。(2) 级数级数 在收敛域内其在收敛域内其和函数和函数是是解析解析的的, nnnzza)(0下面定理将给出如何将一个函数在其解析环域内

15、展开下面定理将给出如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。为上述形式的级数。22r2z0r1d二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理设函数设函数 在圆环域在圆环域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfc 为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。的任何一条简单闭曲线。0z解析解析,201|:rzzrd 内内在此在此圆环域中展开圆环域中展开为为则则 一定能一定能)(zf,d)()(2110 cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中，证明证明 ( (略略) ) c p94定理定理 4.7 23注注 (1) 洛朗级数中的洛朗级数中的正幂次项正幂次项和

16、和负幂次项负幂次项分别称为洛朗级数分别称为洛朗级数二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(2) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数的级数是唯一的是唯一的。(3) 若函数若函数 在圆环在圆环 内解析，则内解析，则 在在rzz |00)(zf)(zf在此圆环内的洛朗展开式就是在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式泰勒展开式。24三、将函数展开为洛朗级数的三、将函数展开为洛朗级数的方法方法1. 直接展开法直接展开法 根据洛朗定理，在根据洛朗定理，在指定指定的解析环上的解析环上.d)()

17、(2110 cnnzfia r2 z0r1cd直接计算展开系数：直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！有点繁！有点烦！25三、将函数展开为洛朗级数的三、将函数展开为洛朗级数的方法方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式两个重要的已知展开式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 间接展开法间接展开法26解解)(e432313! 41! 31! 2111 zzzzzzz,! 41!

18、 31! 223 zzzz在在 内展开成洛朗级数。内展开成洛朗级数。例例 把函数把函数zzzf13e)( | z |0.0 | z |27三、将函数展开为洛朗级数的三、将函数展开为洛朗级数的方法方法都都需要根据函数的奇点位置需要根据函数的奇点位置，将复平面，将复平面( (或者题目指定或者题目指定无论是无论是直接展开法直接展开法还是还是间接展开法间接展开法，在求展开式之前，在求展开式之前，注意注意的展开区域的展开区域 ) )分为若干个解析环。分为若干个解析环。比如比如 设函数的奇点为设函数的奇点为,321zzz展开点为展开点为,0z则复平面则复平面被分为四个解析环：被分为四个解析环：0z1z2z

19、3zr1r2r3;|010rzz ;|201rzzr .|03 zzr;|302rzzr 2812函数函数 有两个奇点：有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点以展开点 为中心，为中心，0 z将复平面分为三个解析环：将复平面分为三个解析环：解解 (1) 将复平面分为若干个将复平面分为若干个解析环解析环;1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 根据需要将函数进行适当的分解变形根据需要将函数进行适当的分解变形)2( )1(1)( zzzf.2111zz p97 例例4.13 将函数将函数例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf点展开为洛朗级数。点展开为洛朗级数。29解解12 当当 时，时，1|

20、0 z(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz将函数将函数例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf点展开为洛朗级数。点展开为洛朗级数。p97 例例4.13 30解解12 当当 时，时，2|1 z(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分别展开zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz将函数将函数例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf点展开为洛朗级数。点展开为洛朗级数。p97 例例4.13 31解解12 当当 时，时， |2z(3) 将函数在每个将函数在每个解析环解析环内分别展开内分