第四章微分中值定理和导数的应用42洛必达法则

1、高等数学课件 (第四章第二节)4.2 洛必达洛必达 (lhospital) 法则法则 在求一些特殊类型的极限时在求一些特殊类型的极限时, 其结果呈现不确定性其结果呈现不确定性, 我们称我们称这些类型的极限为这些类型的极限为不定式不定式. 如如 : f (x) 0, g (x) 0, 称极限称极限 , 为为 型型; )()(limxgxf00 f (x) , g (x) , 称极限称极限 , 为为 型型; )()(limxgxf f (x) 0, g (x) , 称极限称极限 lim f (x) g (x), 为为 0 型型; f (x) , g (x) , 称极限称极限 lim (f (x)

2、g (x), 为为 型型; f (x) 0, g (x) 0, 称极限称极限 lim (f (x) g (x) 称为称为 0 0 型型; f (x) , g (x) 0, 称极限称极限 lim (f (x) g (x) 为为 0 型型; f (x) 1, g (x) , 称极限称极限 lim (f (x) g (x) 为为 1 型型. 高等数学课件 (第四章第二节)00(2) lim( )lim( )0;xxxxf xg x 4.2.1 关于关于 型及型及 型不定式的洛必达法则型不定式的洛必达法则00 定理定理 4-4 (lhospital 洛必达法则洛必达法则) 如果如果 f (x) 和和

3、g (x) 满足下满足下列条件列条件 : (1) 在在 x 0 的某一去心邻域内可导的某一去心邻域内可导, 且且 g (x) 0 ;0( )(3) lim( )xxfxg x 存存在在或或等等于于 ，00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxg xg x 则则高等数学课件 (第四章第二节) 证明证明 补充定义补充定义 f (x 0) = g (x 0) = 0, 则则 f (x), g (x) 在区间在区间 x, x 0 和和 x 0, x 上满足上满足 cauchy 中值定理的条件中值定理的条件, 由由 cauchy 定理定理, 在在 x 0, x 之间存在之间存在 , 使

4、得使得00( )()( )( )( )( )()( )f xf xf xfg xg xg xg 令令 x x 0, 必有必有 x 0, 从而从而000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxf xff xg xgg x 注注 1 将条件将条件 (2) 换为换为00(2) lim( )lim( ),xxxxf xg x 定理的结论仍然成立定理的结论仍然成立.高等数学课件 (第四章第二节) 注注 2 对于对于 和和 型的极限型的极限, 当极限过程为当极限过程为 x 0 , x x 0+, x , x , x + ,定理的结论仍然成立定理的结论仍然成立. 00 注注 3 当

5、极限当极限 不存在时不存在时, 不能断定极限不能断定极限 不存在不存在, 需用其他方法讨论极限需用其他方法讨论极限 .0( )lim( )xxf xg x 0( )lim( )xxf xg x0( )lim( )xxf xg x 注注 4 对于对于 和和 型数列极限型数列极限 不能直接应用罗必达法不能直接应用罗必达法则则. 00 limnnnab 高等数学课件 (第四章第二节) 例例 1 求求 332132lim.1xxxxxx 221330lim( )0321xxxx 3321320lim( )01xxxxxx 解解163lim.622xxx 高等数学课件 (第四章第二节) 例例 2 求求

6、lim(,0).nxxxnne 1lim()lim()!lim0.nnxxxxnxxxn xeene 解解 对指数函数对指数函数 a x (a 1), 幂函数幂函数 x ( 0) 和对数函数和对数函数 (log b x) (b 1, 0), 当当 x + 时时, 它们都趋于正无穷它们都趋于正无穷, 例例 2 表明表明, 指数函指数函数是比幂函数高阶的无穷大数是比幂函数高阶的无穷大, 同样同样, 幂函数是比对数函数高阶的无幂函数是比对数函数高阶的无穷大穷大. 高等数学课件 (第四章第二节) 例例 3 求求 201sinlim.sinxxxx 解解 这是这是 型的极限型的极限, 但极限但极限002

7、00111(sin)2sincoslimlim(sin)cosxxxxxxxxx 不存在不存在, 所以不能使用罗必达法则所以不能使用罗必达法则. 但可用其它方法求极限但可用其它方法求极限.2001sin1limlimsin0,sinxxxxxxx其中第一个等式使用等价无穷小替换其中第一个等式使用等价无穷小替换, 第二个等式应用无穷小量第二个等式应用无穷小量与有界变量的乘积与有界变量的乘积.高等数学课件 (第四章第二节) 例例 4 求求 4tan1lim.sin 2sin 4xxxx 4224tan10lim( )sin 40(2)sec1lim.4 cos 442xxxxxx 444tan1l

8、imsin 2sin 41tan1limlimsin 2sin 4xxxxxxxxx 解解 注注 当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零当分子或分母的某个因子的极限存在且不为零, 则可将其则可将其单独求出单独求出.高等数学课件 (第四章第二节) 例例 5 求求 20tanlim.sinxxxxx 203022020tanlimsintan0lim()01sec0lim()032 sectan1lim.63xxxxxxxxxxxxxxxx 解解高等数学课件 (第四章第二节) 例例 6 求求 221ln (1)lim.(arccot)xxx 222211ln (1)limlim(arccot)(

9、arccot)xxxxxx 22110limlimarccot0(arccot)xxxxxx （） （ ）22222211( lim)( lim)1.11xxxxxx 解解高等数学课件 (第四章第二节) 4.2.2 其他类型的不定式其他类型的不定式00100.10 0 型不定式型不定式, 可通过以下方式转化为可通过以下方式转化为 或或 型不定式型不定式,00 高等数学课件 (第四章第二节) 解解00lnlimln(0)lim()1xxxxxx 例例 7 求求 0limln (0).xxx 00111limlim0.1xxxxx 高等数学课件 (第四章第二节) 例例 8 求求 lim(arcta

10、n ).2xxx 2222lim(arctan ) (0)2arctan02lim( )1011limlim1.11xxxxxxxxxxxx 解解 注注 将将 0 型极限转换为型极限转换为 或或 型极限求解时型极限求解时, 要根据具要根据具体情况来确定体情况来确定, 避免将问题弄复杂避免将问题弄复杂, 甚至无法解出甚至无法解出00 高等数学课件 (第四章第二节)00 型的不定式通常可经过通分转换为型的不定式通常可经过通分转换为 型不定式型不定式. 例例 9 求求 11lim ().1lnxxxx 111lnln0limlim( )1ln10lnln11lim.ln22xxxxxxxxxxxxx

11、x 111lim () ()1lnln10lim( )(1)ln0 xxxxxxxxxx 解解高等数学课件 (第四章第二节) 对于对于 0 0, 0, 1 型的不定式型的不定式, 可通过指数函数与对数函数的可通过指数函数与对数函数的关系转化为关系转化为 0 的极限的极限,0 0 e 0 ln 0, 0 e 0 ln , 1 e ln 1. 例例 10 求求 1lnlim (arctan)2xxx 10lnln (arctan)12ln (arctan)limln2lnlim (arctan)(0 )2lim,xxxxxxxxxee 解解高等数学课件 (第四章第二节)11lnlim (arcta

12、n).2xxxe 所以所以22222ln (arctan)2lim()ln1111arctan12limlim1arctan2110lim()lim1,10arctan21xxxxxxxxxxxxxxxxxx 其中其中高等数学课件 (第四章第二节) 例例 11 求求 01lim (ln).xxx 00011limln (ln)ln (ln)01lim (ln)()lim,xxxxxxxxxee 解解101ln (ln)limln (ln)lim()1lim0,lnxxxxtxxxxxx 其中其中所以所以001lim (ln)1.xxex 高等数学课件 (第四章第二节) 例例 12 2lim (

13、arctan) .xxx 2ln arctanlnlim21ln (arctan)2lim (arctan)(1 )lim,xxxxxxxxxee 解解高等数学课件 (第四章第二节)222ln arctanln0lim( )10112arctan1lim,1xxxxxxx 其中其中22lim (arctan).xxxe 所以所以高等数学课件 (第四章第二节) 函数渐近线讨论函数渐近线讨论. 若若 x a 或或 x a + 时时, f (x) , 则称则称 x = a 为为函数函数 f (x) 的的铅直铅直 (垂直垂直) 渐近线渐近线. 函数可能没有铅直渐近线函数可能没有铅直渐近线, 也可能有多

14、条垂也可能有多条垂直渐近线直渐近线. 若若 x 或或 x + 时时, f (x) a, 则称则称 y = a 为为函数函数 f (x) 的的水平水平 渐近线渐近线. 函数最多有两条水平渐近线函数最多有两条水平渐近线.xyo高等数学课件 (第四章第二节) 若若成立成立, 则称直线则称直线 y = a x + b 是函数是函数 y = f (x) 的的斜渐近线斜渐近线.0)()(lim0)()(lim bxaxfbxaxfxx或或 当当 y = a x + b 是是 y = f (x) 的斜渐近线时的斜渐近线时.lim ( ( ),xbf xa x lim ( ( )()0 xf xa xb 由由

15、1( )lim( ( )()lim ()0,xxf xf xa xbaxx 得得( )lim,xf xax 所以所以oyx高等数学课件 (第四章第二节) 例例 13 试用洛必达法则求曲线试用洛必达法则求曲线 的斜渐近线的斜渐近线. 21ln (1)yxx 2120001lim (ln (1) ()11ln (1)01lim( )lim0211lim.2(1)2xxtttbxxxttttttt 所以所以, 曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线为 y = x 1.211limln (1)lim ln (1)1,xxxaxxx 解解 由由xy高等数学课件 (第四章第二节) 单元测试单元测试 1. 求下列极限求下列极限:;sinlim)1(30 xxxx 2ln(2) lim;lnxxxxx 201