大学数学微积分

1、经济数学经济数学微积分微积分中央财经大学 )(o)(0 xxxfy若 y = f (x) 在点 x0 处有(有限)导数, 则xxfy)(0现在反过来想一想：若在 x0 点处 y = f (x) 的增量 y 可以表示为 一个线性函数与一个高阶无穷小量之和的形式那么, 我们自然要问 a = ? )0 ( )o(xxxayxxaxy )(o xy ax0lim )(0 xf 就是说, 在点 x0 处若可用关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时, 其关系式一定是 y = f (x0)x + o(x) 我们称 f (x0)x (或 ax) 为函数在点 x0 处增量的线性主部, 通常将它记

2、为 dy = f (x0)x ( dy =ax ). 微分一. 函数的微分将以上的讨论归纳一下, 可得出什么结论 ?1.微分的概念y =ax + o(x)此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。设 y = f (x) 在 u(x0) 有定义, 给 x0 以增量x , 且 x0+x u(x0) 。如果函数相应的增量可表示为则称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,记为 d y =ax , 其中, a 叫微分系数 。2.可微与可导的关系定理 ).( , )( )(000 xfaxxfxxf且处可导在点处可微在点y = f (x0)x + o(x)dy = f (x0)x 也就是

3、说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与可导性是等价的 , 且 f (x) 在点 x0 处可微 , 则解解.d , yxy求什么意思？例例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外, 当 x 为自变量时, 还可记. )( d , d22等znxxxxnn ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( , d)(d xyxfxxfy有时当即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也可称为微商.哈哈！除法, 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求

4、导公式就好理解了.3. 微分的几何意义oxyyydxxdxxx)(xfy 几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量 x, 曲线y = f (x) 在点 p(x, y) 的切线上纵坐标的改变量.2微分的运算法则 1.微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式一目了然, 不必讲了.01xaxln1x1aaxlnxexcosxsinx2secx2cscxx sectanxx csccot211x211x211x211x cxxalogxln xa xexsinxcosxtanxcotxsecxcscxarcsinxarcc

5、osxarctanxarccot0dcdxxxd1dxaxxdaln1logdxxxd1ln adxaadxxln dxeedxxxdxxdcossinxdxxdsincosxdxxd2sectanxdxxd2csccotxdxxxdsectansecxdxxxdcsccotcscdxxxd211arcsindxxxd211arccosdxxxd211arctandxxxd211cotarc2.一阶微分形式不变性 ( 复合函数微分法则 ) )( )( 可构成复合函数与设xuufy).(xfy而处可微在点若 , )(0 xxu , )( )(00且处可微在相应点xuufy)( , )u( )(0

6、 xfyxxf则内有定义在在点 x0 处可微.按微分的定义但故xxfxxyyd)(ddddxxxfd)()(xxud)(d d)(d)()(duufxxufy)( 为中间变量u 说明什么问题？ 我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为函数的一阶微分形式不变性 .解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 , 2 3处的微分在时以及当处的微分在求xxxxy

7、例例2.dd ,4 2xyyyx求设解解yyxd)42(d )2( 421dd yyxy) 42dd (yyx或例例3三. 二阶微分其二阶微分为设函数 y = f (x) 二阶可导, 当 x 为自变量时,)d)(d()d(dd2xxfyy2d)(d)(d(xxfxxf 由此看出, 当 x 为自变量时,22dd)(xyxf d 22xx 除法xxd类似可定义 n 阶微分:nnnnnnxxfxxfyyd)()d)(d()d(dd)(1)1(1nnnxyxfdd)( )(且有 注意这里 x 是自变量 四. 微分在近似计算中的应用)(o)( xxxfy由函数增量的近似值：, | , 0)( 0很小时当

8、xxfxxfxfxxfy)()()(000函数值的近似值：xxfxfxxf)()()(000)( )()()(000 xxxfxfxf将半径为 r的球加热. 如果球的半径, r估计球的体积的增量.伸长解解3334)(34rrrvrr)34(3rr 24, 343rv则由所以, 球的体积增量大约为.42rr 例例5. 3030sin 的近似值利用微分求, sin)( xxf设. 36063030 又, 360 , 6 0 xx取 , 236cos)( 0 xf而3606cos6sin)3606sin(5076. 0得3602321解解例例6xxfxfxxf)()()( 000由例例7 7.计算下列各数的近似值解解.)2(;5 .99