第八章 、第三、四节 全微分、复合求导

1、第三节 全微分及应用一元函数一元函数 y = f (x) 的增量概念：的增量概念：)()(xfxxfy 考虑二元函数考虑二元函数 z = f ( x , y )关于关于 x 的偏增量的偏增量),(),(yxfyxxfzx 关于关于 y 的偏增量的偏增量),(),(yxfyyxfzy 全增量全增量),(),(yxfyyxxfz ,lim),(0 xzyxfxxx ,lim),(0 xzyxfyyy 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分概念：的微分概念：若函数的增量：若函数的增量：)()(xfxxfy 能表示为：能表示为：xayd 则称函数则称函数 y = f (x) 在点在点 x 处是可

2、微的，并称处是可微的，并称)(xoxay 为函数的微分为函数的微分2xs xx xx xx 2)( x 当当xxfyd )( )( xf例如：例如：2xs 22)(xxxs 2)(2xxx xxsd 2 存在时，存在时，考虑边长分别为考虑边长分别为 x 和和 y 的矩形的面积：的矩形的面积：yxs 当两边长分别取得增量当两边长分别取得增量 和和 时的改变量时的改变量x y yxyyxxs )()( yxyxxy xy yx yxs x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的线性函数的线性函数yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxyx yx0lim

3、yxyyxxs )()( yxyxxy xy yx yxs x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的线性函数的线性函数yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxyx yx0lim 0 )( oyxxys |0 yx 2)(22yx |20) | (222yxyxyx 2 定义定义 ：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz 其中其中 a 、b 与与 x , y 无关无关 ( 仅与仅与 x , y 有关有关 )22)()(yx 则称则称 z = f ( x

4、, y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，处可微，),(yxfd),(yxfdzd ybxa 并称并称 a x + b y 为为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 函函数数若若在在某某区区域域 d 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 d 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上由事实上由),( oybxaz , 0lim0 z 得得),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故

5、故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.),(),(yxfyyxxfz 又又定义定义 ：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz 则称则称 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，记作处可微，记作),(yxfdzd ybxa 问题问题1：函数函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？在什么条件下可微？问题问题2：在可微的条件下，在可微的条件下，a = ？，？，b = ？)( oybxaz )( ozd 定理定理1（必要条件）：（必要条件）

6、： 如果如果 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数处的两个一阶偏导数),(),(yxfyxfyx和和必存在，且必存在，且 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的微分为处的微分为yyxfxyxfzdyx ),(),(证明：证明： 因为因为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 可微，故可微，故 z )( oybxa 22)()(yx ),(),(yxfyyxxf （1）令）令 ，得，得0,0 yx ),(),(yxfyxxf xa xyxf

7、yxxf ),(),( xxoa ) | ( ) | (xo ),(),(yxfyyxxfz )( oybxa 22)()(yx xyxfyxxfx ),(),(lim0 xxoax ) | (lim0 ),(yxfax （2）令）令 ，同理得：，同理得：0,0 yx ),(yxfby 定义定义 ：如果函数如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oybxaz 其中其中 a 、b 与与 x , y 无关无关 ( 仅与仅与 x , y 有关有关 )22)()(yx 则称则称 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x

8、 , y ) 处可微，处可微，),(yxfd),(yxfdzd ybxa 并称并称 a x + b y 为为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 内容回顾内容回顾定理定理1（必要条件）：（必要条件）： 如果如果 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，则函数在该点处可微，则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数处的两个一阶偏导数),(),(yxfyxfyx和和必存在，且必存在，且 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的微分为处的微分为yyxfxyxfz

9、dyx ),(),(结结论论：如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分, 则则函函数数在在该该点点连连续续. 问题问题1：函数函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？在什么条件下可微？问题问题2：在可微的条件下，在可微的条件下，a = ？，？，b = ？所以，当函数可微时，全微分可写成所以，当函数可微时，全微分可写成 yyxfxyxfzdyx ),(),(若分别取若分别取 z = x 和和 z = y ，则，则 zdyxxxyx )()( x yyxyyx )()( y ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所所以以记记,),(xdyxfzdxx 分别

10、称为分别称为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处对处对 x 和和 y 的偏微分。的偏微分。xd zd,),(xdyxfzdyy zdzdzdyx yd叠加原理：叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设如设 u = f ( x , y , z ) 则有则有zdzyxfydzyxfxdzyxfudzyx),(),(),( （1）对于一元函数，可微）对于一元函数，可微 可导；可导；几点说明：几点说明：（2）对于多元函数，可微一定连续

11、，）对于多元函数，可微一定连续，（3）对于多元函数，可微，偏导数一定存在，）对于多元函数，可微，偏导数一定存在，问题问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？定可微？ 例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf试证明：在点试证明：在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。证明：证明：)0 , 0(xf, 00lim0 xx0)0 , 0( yf同理同理xfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 xxxx 000lim20例例1

12、.000),(222222 yxyxyxxyyxf试证明：在点试证明：在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。证明：证明：用反证法证明函数在点用反证法证明函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。如果如果 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有处可微，则必有)0, 0()0,0(fyxfz )( oybxa 由定理由定理1)()0, 0()0, 0( oyfxfyx 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 因此必有因此必有 220lim

13、yxyx 2200limyxyxyx 0 但当但当,)0 , 0(),(时时沿直线沿直线 kxyyxxky 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 2200limyxyxyx 22220limxkxxkxkyx 21kk 与与k有关。有关。 ,lim2200不不存存在在yxyxyx 矛盾！矛盾！),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即所以函数在点所以函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。上述例子有两个重要性上述例子有两个重要性（1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点可微。导数存在，

14、也不能保证函数在该点可微。（2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。),(),(yxfyxfyx和和定理定理2（可微的充分条件）（可微的充分条件）: 如果如果 z = f ( x , y ) 的偏导数的偏导数 在点在点 ( x , y ) 的某邻域内连续，的某邻域内连续，则则 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微。处可微。多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导例例2：计算计算yxez 解：解：,yxxeyz 12 yxxz,2e

15、 12 yxyz,22e 12 yxyxeyydexdezd222 在点在点 ( 2 , 1 ) 处的全微分。处的全微分。,yxyexz 全微分的计算全微分的计算当函数可微时，全微分可表示为当函数可微时，全微分可表示为 ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。例例3：计算函数计算函数 的全微分的全微分zyeyxu 2sin解：解：xu )2sin(zyeyxx 1 yu )2sin(zyeyxy zyezy 2cos21zu )2sin(zyeyxz zyey zdeyydezyxdudzyzy )2co

16、s21(例例 4 4 求求函函数数)2cos(yxyz ， 当当 4 x， y，4 x， y时时的的全全微微分分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 224 yxxz 2224 yxyz解答解答则则且且, 1)0, 0(, 3)0, 0( yxff思考题：若思考题：若 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义的某邻域内有定义dydxyxfd 3| ),()0,0( 若若 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 的可微，则必有的可微，则必有dydxyx

17、fd 3| ),()0,0(若若 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 的不可微，则表达式的不可微，则表达式dyfdxfyx)0, 0()0, 0( 可以存在，可以存在， 但它不代表函数在但它不代表函数在 ( 0, 0 ) 处的微分。处的微分。第四节：多元复合函数的求导法则第四节：多元复合函数的求导法则,)(,)(xuufy 设设,)(xfy 则则xdududydxdyd yuxudydxdudxdyd,),(vufz 设设,),(yxu , ),(yxv ),(,),(yxyxfz 则则),(yxf 问题：问题：如何求如何求,),(yxfxzx ),(yxfyzy ,),(v

18、ufz 设设,)(xu , )(xv )(,)(xxfz 则则)(xf zuvx xdzd xduduzxdvdvz 定理定理1：设：设 z = f (u, v ) 具有连续偏导数，具有连续偏导数，u = ( x ), v = ( x ) 在在 x 处可导，则复合函数处可导，则复合函数 z = f (x), (x) 在在 x 处可导，且处可导，且（1）中间变量均为一元函数的情形）中间变量均为一元函数的情形,)(xxu ,)(xxv ),(),(vufvvuufz )( odz 由可微性由可微性vvzuuz vu 21 由由p 21 页的公式页的公式 6其中当其中当,0,0时时 vu.0,021

19、 xzxvvzxuuz xvxu 21 两边令两边令 x 0, 有有xdvdvzdxduuzdxdz 证明：当证明：当 x 有一个增量有一个增量 x 时，有时，有,),(vufz ,)(xu , )(xv )(,)(xxfz 则则)(xf xdzd xduduzxdvdvz zvxu（1）注意公式中）注意公式中含含义义的的区区别别与与vzuzdxdz ,（2）公式可推广导二元以上的多元函数中去）公式可推广导二元以上的多元函数中去,),(wvufz 设设),(),(,)(xwxvxu xdwdwzxdvdvzdxduuzdxdz 全导数全导数)(, )(, )(xxxfz 则则,)( xf 例例

20、1：设设, )(arcsinyxz tbytaxcos,sin 求求tdzd解：解：zyxt tdzd tdxdxztdydyz 2)(11yx211 )arcsin(xx tacos 2)(11yx)sin(tb 2)(1sincosyxtbta zuvxy定理定理 2 ：设设 u = ( x , y ), v = ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 偏偏导数存在，导数存在，z = f ( u , v ) 在对应的点在对应的点 ( u , v ) 处具有连续处具有连续偏导数，则复合函数偏导数，则复合函数 z = f ( x , y ) , ( x , y ) 在点在点的两个的两

21、个 ( x , y ) 的偏导数都存在，且的偏导数都存在，且xuuzxz ,xvvz yuuzyz yvvz ,),(vufz 设设,),(yxu , ),(yxv （2）中间变量均为多元函数的情形）中间变量均为多元函数的情形 ),(),(yxyxfz 则则),(yxf 例例2：求求 的偏导数。的偏导数。yxyxz2422)3( 解：令解：令,322yxu ,24yxv 则有则有vuz zuvxy,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz )(uvuuz ,1 vuv)(vvuvz ,lnuuv 22)3(xyxxu ,6x ,2yyu ,4 xv2 yvxz xvvzxuuz xuvv61

22、 4ln uuv12422)3()24(6 yxyxyxx)3(ln)3(4222422yxyxyx )(uvuuz ,1 vuv)(vvuvz ,lnuuv 22)3(xyxxu ,6x ,2yyu ,4 xv2 yv,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz )(uvuuz ,1 vuv)(vvuvz ,lnuuv 22)3(xyxxu ,6x ,2yyu ,4 xv2 yv,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz yz yvvzyuuz yuvv21 2ln uuv12422)3()24(2 yxyxyxy)3(ln)3(2222422yxyxyx （3）中间变量既有一元函数，有有

23、多元函数的情形）中间变量既有一元函数，有有多元函数的情形 ,),(vufz 设设,),(yxu zxuvy,)(yv 这是情形（这是情形（2）中的特例，相当于）中的特例，相当于 v 与与 x 无关，无关，,xuuzxz yvvzyuuzyz 0 xv)(,),(yyxfz 则则),(yxf 情形情形 3 的几种特殊情形的几种特殊情形 ,),(yxyxfz 则则),(yxf xdxdxzxduduzxz （1）设）设 z = f ( u , x , y ) , u = ( x, y ) , zuyxxyxfxduduf yfydudufyz 看作自变量看作自变量看作中间变量看作中间变量（2）设）

24、设 z = f ( x , y ) , y = ( x ) , )(,xxfz 则则)(xf zxyxxdydyzxdxdxzxdzd xdydyfxfxdzd 看作自变量看作自变量看作中间变量看作中间变量或写成或写成（3）设）设 z = f ( u ) , u = ( x , y ) , ),(yxfz 则则),(yxf zxyu,xuudzdxz yuudzdyz 例例3：设设, )(arctanyxz xeyxcos 求求xdzd解：解：zyxx xdzd xfxdydyf 2)(1yxy211 )arctan(xx 2)(1yxx)sin(xex 2)(1sinyxxxexyx 2)c

25、os(1sincosxxexxxexxexxx （1）如果）如果,),(vufz ,)(xu , )(xv )(,)(xxfz 则则)(xf zuvx xdzd xduduzxdvdvz 复合函数微分法复合函数微分法zuvxy,),()2(vufz 设设,),(yxu , ),(yxv xuuzxz ,xvvz yuuzyz yvvz （3）,),(vufz 设设,),(yxu zxuvy,)(yv 这是情形（这是情形（2）中的特例，相当于）中的特例，相当于 v 与与 x 无关，无关，,xuuzxz yvvzyuuzyz 0 xv)(,),(yyxfz 则则),(yxf 情形情形 3 的几种特

26、殊情形的几种特殊情形 ,),(yxyxfz 则则),(yxf （1）设）设 z = f ( u , x , y ) , u = ( x, y ) , zuwxvy),(wvufz .,),(ywxvyxu zuyxxyxdvdvzxduduzxz xfxduduf yfydudufyz ,xfxuufxz .yfyuufyz 把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似),(yxufz ),(yxu 其中其中,),(yxyxfz

27、则则),(yxf zuyxxy（2）设）设 z = f ( x , y ) , y = ( x ) , )(,xxfz 则则)(xf zxyxxdydyzxdxdxzxdzd xdydyfxfxdzd 看作自变量看作自变量看作中间变量看作中间变量或写成或写成（3）设）设 z = f ( u ) , u = ( x , y ) , ),(yxfz 则则),(yxf zxyu,xuudzdxz yuudzdyz 例例3：设设, )(arctanyxz xeyxcos 求求xdzd解：解：zyxx xdzd xfxdydyf 2)(1yxy211 )arctan(xx 2)(1yxx)sin(xex

28、 2)(1sinyxxxexyx 2)cos(1sincosxxexxxexxexxx 例例4：设设, )(22yxfz 求求yxz 2解：解：zxyuxuudfdxz 22yxu xuufu )()(2ufxu yxz2)(2ufxyu )(2ufyxu xyu)(ufu22yxu xuudzdxz xuufu )()(2ufxu yxz2)(2ufxyu )(2ufyxu xyu)(ufu22yxu )(ufyu yuudufdu )()(2 ufyu yxz2)(4 ufyxu)(422 yxfyx 例例5：设设 z = x y + u , u = ( x , y ) , 求求 ,yxx

29、xxzzz解：解：zxyu令令 v = x y , 则则 yxvyxuvuz , ),(, vxz yxu xvvzxuuz 22xz 22xu yxz 2,12yxu yyxu 例例6：设设 为可微函数，求证为可微函数，求证 , )(22yxxyz 02322 yyzyxxzx证明：证明：xz )(22yxxyx xyxxy )(222 yz )(22yxxyy yyxxy )( yxvyxu , )( 令令uvxyxyx )( xvvdud ,vdudy yyx )( vddux xz ,222vdudyxy yz vdudxxy 02322 yyzyxxzx要证明等式要证明等式证明：证明

30、：xz )(22yxxyx xyxxy )(222 yz )(22yxxyy yyxxy )( yxvyxu , )( 令令uvxyxyx )( xvvdud yyx )( vddux ,vdudy xzx 2vdudyxy222 yzyx vdudyxy22 02322 yyzyxxzx所以所以/ xz ,222vdudyxy yz vdudxxy 02322 yyzyxxzx要证明等式要证明等式 例例 7 7 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ,xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212v

31、uvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxuuf ,21fyzf ),(vufw 则则yxuvzwxvvf zxw2)(xwz zf 1)(21fyzfz , )(22zfyzf y 例例 7 7 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ,xyzv ),(vufw 则则yxuvzw zxw2zf 1, )(22zfyzf y ),(11vuff yxuvz1f ),(22vuff zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 222221fxyf 例例 7 7 设设

32、),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ,xyzv ),(vufw 则则 zxw2zf 1, )(22zfyzf y ),(11vuff ),(22vuff zf1,1211fxyf zf2,2221fxyf 于是于是 zxw2)(1211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性一元函数全微分的不变性一元函数全微分的不变性),(),(xuufy 设设),(xfy 则则xddxdfyd xddxdududf uddud

33、f udufyd)( 即即xdxf)( .)(xu 其其中中设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分 dvvzduuzdz 当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有 ),(),(yxyxfz ,dyyzdxxzdz ？dvvzduuzdyyzdxxz dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz dyyzdxxzdz 所以所以dvvzduuz 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，具有连续偏导数， ),(yxu 、),(yxv , ),(),(yxyxfz 则

34、则设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，具有连续偏导数， ),(yxu 、),(yxv , ),(),(yxyxfz 则则dyyzdxxzdz dvvzduuz 全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质 无论变量无论变量 z 是作为自变量是作为自变量 u , v 的函数，还是作为的函数，还是作为中间变量中间变量 u , v 的函数，它的全微分的形式是不变的的函数，它的全微分的形式是不变的在计算全微分时不必区分变量的特征。在计算全微分时不必区分变量的特征。例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz .解：方程两边同时取全微分得解：方程两边同时取全微分得, 0)2(

35、zxyezed, 02)( dzedzxydezxy所以所以)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe, 0)(2)( zxyedzded整理得整理得所以所以由全微分的不变性有由全微分的不变性有第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法（一）一个方程的情形（一）一个方程的情形0),( yxf所确定的所确定的 y 是是 x 的隐函数的隐函数 y = f (x) , 如何求如何求 xdyd例如：例如：0 xexyy两边对两边对 x 求导求导01)( xdexdxdydy,01)( xdydexexdydy

36、yyyexexdyd 11（1）由方程）由方程问题：问题：没有统一的公式，下面给出用偏导数来没有统一的公式，下面给出用偏导数来 求的公式。求的公式。将将 y = f (x) 代入方程得：代入方程得：0 )(, xfxffxyx)(,xfxfxddxdxdxf xdydyf 0 yfxfxdyd xf xdydyf 隐隐函函数数存存在在定定理理 1 1 设设函函数数),(yxf在在点点),(00yxp的的某某一一邻邻域域内内具具有有连连续续的的偏偏导导数数， 隐函数的求导公式隐函数的求导公式且且 0),(00 yxf，0),(00 yxfy， 则方程则方程0),( yxf在点在点),(00yxp

37、的某一邻域内的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ， 并并有有 yxffdxdy . . 问题：问题：如何给出如何给出 的计算公式？的计算公式？22xdyd22xdyd)(yxffxdd 2yyxyxfxfffxf fxyxyxff xyx)(yxffx xddyffyyx)( )(2yxyyxyxfffyfffyf 3222yxyyyxxyyxxffffffff yxffdxdy ,0),( yxf,)(xfy 例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻

38、邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1

39、 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yfyxffdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd0 xexyy例例2：设：设xexyyxfy ),(解：解：求求22xdydxf,1 yeyfyex 1xdydyxff ,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 0

40、 xexyy例例2：设：设xexyyxfy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee （2）由方程由方程0),( zyxf所确定的二元函数所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,fxzyxy),(,yxfyxfx xdxdxf xzzf 0 zfxfxz zfyfyz 隐函数存在定理隐函数存在定理 2：设函数：设函数 f ( x , y , z ) 在点在点 ),

41、(000zyxp的某一邻域内有连续偏导数，的某一邻域内有连续偏导数，, 0),(000 zyxf且且, 0),(000 zyxfz则方程则方程 f ( x , y , z ) = 0 在点在点 ),(000zyxp的某一的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数函数 z = f ( x , y ) , 它满足条件它满足条件),(000yxfz 并有并有,zxffxz zyffyz 例例 3 3 设设04222 zzyx，求求 22xz . 解解令令则则,4),(222zzyxzyxf ,2xfx , 42 zfz,2zxffxzzx 22

42、xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 思路：思路：把把z看成看成yx,的隐函数对的隐函数对x求偏导数得求偏导数得 xz ， 把把x看成看成yz,的隐函数对的隐函数对y求偏导数得求偏导数得 yx ， 把把y看成看成zx,的隐函数对的隐函数对 z求求偏导数得偏导数得 zy . 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （1）解出）解出 d z 得得dzdxxyffyzffvuvu

43、1两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dyxyffzfxfvuvu 1xz ,1vuvuxyffyzff 所以所以yz ,1vuvuxyffxzff 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （2）解出）解出 d x 得得dxdyfzyffzxfvuvu 两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfyzfyfxfvuvu 1yx ,vuvufzyffzxf 所以所以zx ,1vuv

44、ufyzffxyf 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求 xz ，yx ，zy . 解：解： 令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz （3）解出）解出 d y 得得dydxfzxffzyfvuvu 两边微分得两边微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfzxfyfxfvuvu 1xy ,vuvufzxffzyf 所以所以zy ,1vuvufxzffxyf 例例5 已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde确定确定 z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdt

45、tdtttdezyxf0200cossin),(22 xf2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22 xf2)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yf0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyxsin 2)(coszyxzx zf00 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx xzzxff 42xexxyxsin 2)(

46、coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyff 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xfyfzf 0),(0),(vuyxgvuyxf二、方程组的情形二、方程组的情形由方程组由方程组在一定条件下确定两个二元隐函数在一定条件下确定两个二元隐函数, ),(yxuu , ),(yxvv 问题：问题：如何求偏导数如何求偏导数?,yvxvyuxu 0),(0),(vuyxgvuyxf, ),(yxuu , ),(yxvv 00),(),(,),(),(,yxvyx

47、uyxgyxvyxuyxf将方程两边对将方程两边对 x 求偏导求偏导fxuyxyvxfxufu ,0 xvfvxgxugu ,0 xvgv 0 vuvuggffj 假假设设系系数数行行列列式式解得：解得：vuvuvxvxggffggffxu ,),(),(vxgfj 1vuvuxuxuggffggffxv ,),(),(xugfj 1xfxufu ,0 xvfvxgxugu ,0 xvgv 0 vuvuggffj 假假设设系系数数行行列列式式同理可求得：同理可求得：vuvuvyvyggffggffyu ,),(),(vygfj 1vuvuyuyuggffggffyv ,),(),(yugfj

48、1隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxf、),(vuyxg在点在点),(0000vuyxp的某一邻域内有的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，对各个变量的连续偏导数， 在点在点),(0000vuyxp不等于零，不等于零， 又又 0),(0000 vuyxf, ,),(0000vuyxg 0 ， 且且偏偏导导数数所所组组成成的的函函数数行行列列式式（或或称称雅雅可可比比式式） vgugvfufvugfj ),(),( 则方程组则方程组 0),(0),(vuyxgvuyxf在在点点),(0000vuyxp的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一组组单单值值连连续续且

49、且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数 ),(yxuu ， ),(yxvv ， 它们满足它们满足),(000yxuu ),(000yxvv 并有并有,),(),(vxgfjxu 1,),(),(xugfjxv 1,),(),(vygfjyu 1,),(),(yugfjyv 1说明：说明：定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。例例 6: 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和 yv . 解：解： 运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边

50、对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,uxvyxux xyyxj ,22yx , vxvxxuy 在在0 j的条件下，的条件下， ,22yxyvxuxu ,22yxxvyuxv 例例 6: 设设0 yvxu，1 xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和 yv . 解：解： 运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，,22yxyvxuxu ,22yxxvyuxv 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv vueyvuexuucossin例例7：设：设 xd解：将方程两边去微分得解：将方程两边去微分得求求.

51、,yvxvyuxu )sin()(vudedu udeu )cossin(vdvuvdu ydudeu)sincos(vdvuvdu 整理得整理得xdvdvuduveu cos)sin(ydvdvuduveu sin)cos( ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu 解得解得 vueyvuexuucossin例例7：设：设解：将方程两边去微分得解：将方程两边去微分得求求.,yvxvyuxu ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu ,)cos(sinsin1 vvevxuu,)cos(sincos1 vvevyuu,)cos(sin)(cos1 vveuevxvuu)cos(sin)(sin1 vveuevyvuu（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0),()3(vuyxgvuyxf三、小结三、小结（1）设）设,),(yxxfz