正项级数及其判敛法

1、 6.2 6.2 数数 项项 级级 数的判敛法数的判敛法12 正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法 数数列列 ns单单调调增增加加. . 若若 ns有有界界，则则nns lim必必存存在在，从从而而 1nnu收收敛敛. . （1 1）若若 1nnv收收敛敛，则则 1nnu也也收收敛敛； （2 2）若若 1nnu发发散散，则则 1nnv也也发发散散. . 证证： （1 1）设设 1nnu和和 1nnv的的部部分分和和分分别别为为nns 及及， 若若 1nnv收收敛敛，则则 n 有有界界，0 m即即，mn 使使得得. . 且且nnvu ), 2 , 1( n nnvu ), 2 , 1( n， m

2、snn ， 从从而而 有有界界ns，故故 1nnu收收敛敛. . （2 2）用用反反证证法法. .若若 1nnv收收敛敛，则则由由（1 1）知知 1nnu收收敛敛， 这这与与 1nnu发发散散矛矛盾盾，故故 1nnv发发散散. . 推论推论 设设 1nnu和和 1nnv都是正项级数，且都是正项级数，且 nkkvunn , 0 ( n,) nn ，则，则 （1 1）若）若 1nnv收敛，则收敛，则 1nnu也收敛；也收敛； （2 2）若）若 1nnu发散，则发散，则 1nnv也发散也发散. . 而而 11nn发发散散，故故 11npn发发散散. . 例例 1 1 11 npnp级级数数讨讨论论的

3、的敛敛散散性性. . ppnns1211 xxxxnnppd1d11121 . ,1, ,11 1发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数ppnpnpnpnpxpxx111 111d11 常用等比级数和常用等比级数和p p 级数作为比较判别法的比较对象级数作为比较判别法的比较对象. . .111)11(1111 pnpp例例 2 2判定判定下下列列正正项项级数的敛散性：级数的敛散性： （1 1） 12)1(4nnn ； 解解：nnn252)1(4 （ , 2 , 1 n） ， 而等比级数而等比级数 125nn收敛，收敛， 12)1(4nnn收敛收敛. . （2 2） 1)1(1nnn 解解：1

4、1)1(1 nnn（ , 2 , 1 n） ，） ， 而而 111nn发发散散， 1)1(1nnn发发散散. . 1 1 23nn收收敛敛而而， xn 证证：nnnvwu ， nnnnuvuw 0， 1nnu与与 1nnv都收敛，都收敛， )(1 nnnuv收敛，从而收敛，从而)(1 nnnuw收敛，收敛， 1nnu与与)(1 nnnuw收敛，收敛， 11)(nnnnnnwuwu收敛收敛. . 定理定理1.41.4（比较准则比较准则） 设设 1nnu和和 1nnv均均为为正正项项级级数数，且且 则则有有限限或或 , ) ( lvunnn lim（2 2）当）当0 l，

5、且，且 1nnv收敛时，收敛时， 1nnu也收敛；也收敛； （3 3）当当 l，且且 1nnv发发散散时时， 1nnu也也发发散散. . 对对02 l， nn， nn 时，有时，有 2 llvunn ，即，即232lvulnn ， 从而从而)( 232nnvluvlnnn ， 由由比比较较判判别别法法可可知知结结论论成成立立. . 证证： （1 1）lvunnn lim， （2 2）0lim nnnvu， 1 nnvu，)( nnvunn ， 由由比比较较判判别别法法可可知知，当当 1nnv收收敛敛时时， 1nnu也也收收敛敛. . （3 3） nnnvulim，0lim nnnuv， 由由反

6、反证证法法及及（2 2）即即知知结结论论成成立立. . 对对1 ， nn， nn 时时，有有 例例 4 4判判别别下下列列正正项项级级数数的的敛敛散散性性 （1 1） 12sin1nnn 解解 对对级级数数的的通通项项先先作作分分析析： 12sin1nnn发发散散. . 当当 n时时，n2sinn2，从从而而nn2sin1 n2. . （2 2）nnnn2ln1113 对对级级数数的的通通项项先先作作分分析析： 当当 n时时，311 n31n，)21ln(2lnnnn n2， 从从而而nnn2ln113 342n. . 解解：212lim12ln11lim3434343 nnnnnnnn， n

7、nnn2ln1113 收收敛敛. . 而而 1341 nn收收敛敛， （3 3） 1ln nnn 解解： nnnnnnlnlim1lnlim， 而而 11 nn发发散散， 1ln nnn发发散散. . （1 1）当）当时时 1 ，收敛收敛 1 nnu； 证证： （： （1 1）当）当1lim1 nnnuu时，时， , 021 取取有有时时使使当当则则 , , nnnn , 1 nnuu 1 nnuu. 1 21 q ),( 1nnquunn 因此因此 由由比比较较判判别别法法和和级级数数性性质质 3 3 可可知知，级级数数 1nnu收收敛敛. . ,1223 nnnuqquu, 12 nnqu

8、u即即,111 nkknknuqquu（2 2）当）当,)( 1lim1时时或或 nnnuu nn 必必， 使使时时当当 nn ，有有 11 nnuu). ( 0 1nnuunn 这这表表明明当当nn 时时正正项项级级数数的的通通项项nu是是递递增增的的， 从从而而0lim nnu，故故 1nnu发发散散. . 但但当当时时 1 p，级级数数发发散散 p；当当时时 1 p，级级数数收收敛敛 p. . , 11)1(1limlim1 ppnnnnnnuu例例 5 5判判定定下下列列正正项项级级数数的的敛敛散散性性: : 解解：nnnuu1lim nnn332lim1 nnnnn3tan23tan

9、2lim11 , 132 级级 数数 13tan2nnn收收 敛敛 . . ;3tan2 ) 1 (1 nnn （2 2） 155nnn； 解解：nnnuu1lim nnnnn5)1(5lim551 , 15)1(5lim5 nnn解解： nnnnnnnxnnxnuu)( ! )1( ! 1limlim11 当当 ex ，即即1 ex时时，级级数数收收敛敛； 当当ex ，即即1 ex时时，级级数数发发散散； 当当ex 时时，比比值值法法失失效效. . ,)11( ,)11( enennn 有有且收敛于且收敛于,)11 (limexnxnn ) , 2 , 1 ( 1)11 ( nnennnnnxuuex)11 ( , 1 时时当当. ; 0 )0( )( ! 1时时发发散散当当时时收收敛敛当当级级数数综综上上可可知知exexxnxn，nn 例例 7 7判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性. . 1)2(lnarctannnn发发散散. . , 12ln12ln)2(0 ;)2(lnarctan ) 1 (1 nnn（2 2）)0()1(1 anannn. . 当当1 a时时，级级数数收收敛敛；当当1 a时时，级级数数发发散散； 当当1 a时时，根根值值判判别别法法失失效效. . 当当1 a时时，级级数数发发