第7讲高阶偏导数

1、第七节第七节 高阶偏导数高阶偏导数 高阶偏导数高阶偏导数 求混合偏导数与求导顺序无关的定理求混合偏导数与求导顺序无关的定理多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. . 一般说来一般说来, , 在区域在区域 内内, , 函数函数 z = f (x, y) 的偏导数的偏导数,xzyz仍是变量仍是变量 x , y 的多元函数的多元函数, , 如果偏导数如果偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数. .依此类推依此类推, , 可定义多元函数的更高阶的导数可定义多元函数的更高阶的导数. .仍可偏导仍可偏导, , 则它们的偏导数就是原来函数则它们的偏导数就是原来函数,xzyz高

2、阶偏导数高阶偏导数 一般地一般地, , 若函数若函数 f (x) 的的 m1 阶偏导数仍可偏阶偏导数仍可偏 导导, ,则称其偏导数为原来函数的则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数阶偏导数. . 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, , 其其中中, , 关于不同变量的高阶导数关于不同变量的高阶导数, , 称为混合偏导数称为混合偏导数. .例的二阶偏导数：的二阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz xzxy xzx xzyyzxy yzx yzy22xzyxz2xyz222yz 例例1122ffxzxx 2222ffyzyy 122ffyxzxy

3、212ffxyzyx 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项例的三阶偏导数：的三阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz 22xz3322xzxzxyxzxzy2322xy22xz22yzyxz2xyz2 例例1例的三阶偏导数：的三阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz 22yzxyzyzx23223322yzyzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例2例的三阶偏导数：的三阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz yxz2xyxzyxzx32232yxzyxzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例3例的三阶偏导数：的三阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz x

4、yz2232xyzxyzxyxyzxyzy32xy22xz22yzyxz2xyz2 例例4共共 23 = 8 项项. .的三阶偏导数：的三阶偏导数：二元函数二元函数 ),( yxfz 求高阶导数与求导顺序有关例求求13323xyxyyxz的二阶偏导数的二阶偏导数. .先求一阶偏导数：先求一阶偏导数：,33322yyyxxz,9223xxyyxyz再求二阶偏导数：再求二阶偏导数：22xzxzx)33(322yyyxx26xy22yzyzy)92(23xxyyxyxyx1823 例例解解例求求13323xyxyyxz的二阶偏导数的二阶偏导数. . 例例解解二阶混合偏导数：二阶混合偏导数：yxz2)

5、33(322yyyxy19622yyxxyz2)92(23xxyyxx19622yyx 两个混合偏导数相等两个混合偏导数相等这里的两个混合偏导数均连续这里的两个混合偏导数均连续例设设0 , 0 0 , )(),(22222222yxyxyxyxxyyxf, )0, 0(xyf . )0, 0(yxf 求求需按定义求函数在点需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数处的偏导数: :)0, 0(xfxfxfx)0, 0()0,(lim00)0, 0(yfyfyfy)0, 0(), 0(lim00 )0, 0(xyfyfyfxxy)0, 0(), 0(lim01lim0yyy )0, 0(yxfxf

6、xfyyx)0, 0()0,(lim01lim0 xxx 例例解解定理若),(yxfz 的二阶混合偏导数在),u(00yx内存在且在点),(00yx处连续,则必有yxyxf),(002 .),(002xyyxf引入记号：记号：)(xf在在内有直到内有直到 k 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ,记为记为, )()(kcxf。, 2 , 1 , 0k)(),(ncyxf时时, , 则在求则在求n 阶及阶及n 阶以下的偏导数时阶以下的偏导数时, , 可大大减少运算可大大减少运算次数次数. .自变量的个数越多自变量的个数越多, , 求导与求导顺序无关的作用越求导与求导顺序无关的作用越二元函数的二元函数

7、的n 阶偏导数就有阶偏导数就有2n 项项, , 当当 明显明显. .例xzyxxye22yzyxex22xzxxz22x)2(2yxxyeyxeyxy2)42(22yzyyz22y)(22yxexyxex24xyzyxz22yxeyxx2)22(3x)(22yxex 例例解解 . 2的二阶偏导数的二阶偏导数求求yxez 例xu)(222zyxfxzyx)(222)(2222zyxfxx)(2(222zyxfx)(2222zyxf)(42222zyxfx yyxu2)(2(222zyxfx)(4222zyxfxy 22xu 例例解解 . , , , )( 2222222yxuxucfzyxfu求

8、其中设例xu 1fxzyx)( 2fxxyz)(21fyzfyxu2)(21fyzfy 11fyzyx)( 12fyxyz )(2fz yxyzfyzyxfyz)()(2221 11f 12)(fzyx 222fxyz2fz. ,22yxuxyu此时 . , , ) ,( 22yxucfxyzzyxfu求求且且设设 例例解解例 . , 0 22xzxyzez求求设设这是求隐函数的高阶偏导数这是求隐函数的高阶偏导数. .则则令令 ,),( xyzezyxfzzfxfxzxyeyzzxyeyzzxzxxz22xyeyzxz 例例解解xzxxz22xyeyzxz2)()(xyeyxzeyzxyexzyzzz32)()()(xyexyeyyzeyzxyezyzzzz32232)(22xyeezyzxyzeyzzzxyeyzxzz例 练练证具有二阶连续导数，试，其中设gfxyxgyxyfu,)()( . 0222yxuyxux 练练.,10 222yvyxuxvyuyvxu求设例利用变量代换利用变量代换,atx atx 将方程将方程22222xuatu化为关于变量化为关于变量,的方程的方程. . )(2cu令令,),(uu ,atx atx