第4讲多元函数的全微分

1、第四节第四节 全微分全微分全微分全微分二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义可微与连续的关系可微与连续的关系可微与可导的关系可微与可导的关系二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件 以二元函数为主以二元函数为主, , 所得结论可容易地推广所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中至三元和三元以上的函数中. .一一. .全微分全微分 , 0使得有关的实数若存在仅与ax)o( xxay)( , )( 0 xfxaxxf为函数处可微在点则称函数且处的微分在点 ,0 xxxxxfyd , d)(d0可微可导)u(00xxx时, 若函数在点 x0 处的全增量可则称函数在点 x0 处可微, xaz

2、yb)o(22yxzdybxa设函数)(xfz 在点),(000yxx 的某一邻域称为函数在点 x0 处的全微分, 其中, a , b 是与x)u(0x内有定义, 当0x获得增量, ),(yxx且表示为 0有关的常数.无关,仅与 x0)(lim2200yxybxazyx0| )(|lim 00xybxazyx或或22yx|x其中其中全微分概念的极限形式如果函数),(yxf在区域 中的 每一点均可微, 则称函数在区域 上可微 .可微连续可导?连续：连续：0lim00zyx可微：可微：xazyb)o(22yx函数)(xf在点 x0 处可微,则必在点 x0 处连续 .可微与连续的关系可微与连续的关系

3、( (可微的必要条件可微的必要条件) )可微连续可导?在二元函数中在二元函数中, , 可微可微连续连续可微：可微：xazyb)o(22yx则其两个则其两个处可微处可微在点在点若若 , ),( ),( yxpyxfz , , 且且均存在均存在偏导数偏导数yzxz . d d dyyzxxzz定理定理可微与可导的关系可微与可导的关系( (可微的必要条件可微的必要条件) )若函数可微若函数可微, , 则则)o(22yxybxaz , 0 , , 则则取取的任意性的任意性由由yyx) | o(xxazzxaxxxaxzyxxyx|)o(|limlim0000即即, axz同理同理, , 取取 , ,

4、0byzx得得 . )d ,d( , d d d yyxxyyzxxzz故故证可微连续可导在二元函数中在二元函数中, , 可微可微可偏导可偏导可微连续可导在二元函数中在二元函数中, , 可微可微可偏导可偏导在二元函数中在二元函数中, ,可偏导可偏导可微可微?),( yxf函数函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx 例例在点在点 (0, 0) 处偏导数存在处偏导数存在, , 但不可微但不可微. .可 微连续可导连续可导定理定理 . , ),u( ),( 00可偏导可偏导内有定义内有定义在在设设yxyxfz ),( , ),( z , z 00在在则函数则函数处连续处连续在点在点若若yxf

5、yxyx . ),( 00处可微处可微点点yx二元函数可微的充分条件二元函数可微的充分条件如果函数)(xfz 在区域中具有连续偏导数xz和yz, 则称函数. )()(1cxf)(xf为区域1c中的类函数 , 记为当不强调区域时, 记为.)(1cxf . d d dyyzxxzz . d d d dzzuyyuxxuu yxfz),( zyxgu),( . , ? 22求其全微分求其全微分若可微若可微是否可微是否可微函数函数yyxz, 2 , 2 22中连续中连续在在易知易知ryxyzyxxz . 222中可微中可微在在故函数故函数ryyxzyyzxxzzdddyyxxxyd)2(d22 例例解

6、解 .du,(2,2,1)求设zyxu )1 , 2, 2(xu 例例解解zzuyyuxxuudddd故)1 , 2, 2(1zyzxy. 4)1 , 2, 2(yu)1 , 2, 2(1lnzyzyxxz. 2ln4)1 , 2, 2(zu)1 , 2, 2(lnlnyyxxzyz. 2ln82.d2ln8d2ln4d42zyx .d,2sin) 1 (ueyxuyz求设 练习练习 .,000)2(2222232222的全微分求设zyxyxyxyxz可微连续可导偏导数连续极限存在不连续，但可微。点偏导数存在，偏导数在)0 , 0(0, 00,1sin)(),(. 322222222yxyxyxyxyxf),( . 2yxf函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx在点在