Ch234函数间断点

1、四、函数的间断点及其分类四、函数的间断点及其分类:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf1.1.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数处无定义则称点处无定义则称点在点在点

2、或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例1 1.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112是可去间断点。是可去间断点。所以，所以，1 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义可去间断点只要改变或者补充间断点处函数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .的

3、间断点。的间断点。求函数求函数例例11)(22 xxxf解：解：为为间间断断点点。处处无无定定义义，所所以以在在函函数数11)( xxxf2)1(lim11lim)(lim1211 xxxxfxxx由由于于的的可可去去间间断断点点。是是所所以以，)(1xfx 2)1( f补充定义补充定义 12111)(2xxxxxf即即2.2.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但右右极极限限都都存存在在处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 例例3 3.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解

4、解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x3.3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在一个不存一个不存处的左、右极限至少有处的左、右极限至少有在点在点如果如果xfxxxf例例4 4.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0为为函

5、函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断断点点这这种种间间断断点点称称为为无无穷穷间间).()(0, 0,000 或或时时，或或或或当当见见的的间间断断点点，它它起起因因于于注注：无无穷穷间间断断点点是是最最常常xfxxxxxx例例5 5.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为振振荡荡间间可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0

6、xoyx0 x第一类间断点第一类间断点: :可去型可去型, ,跳跃型跳跃型. .第二类间断点第二类间断点: :无穷型无穷型, ,振荡型振荡型. .间间断断点点例例6 讨论函数讨论函数 )6222 xxxxxxf（的间断点和连续区间的间断点和连续区间.解：解： 232)62222 xxxxxxxxxxxf（为为间间断断点点2, 3, 0 xxx 31232lim0020 xxxxxfx 31232lim0020 xxxxxfx 0000 ff 232lim)(lim33 xxxxxxfxx3 x为第二类间断点（无穷间断点）为第二类间断点（无穷间断点）间间断断点点）为为第第一一类类间间断断点点（跳

7、跳跃跃0 x 31lim3xx 513limlim22 xxxxfxx2 x为可去间断点为可去间断点连续区间为：连续区间为： ），（ 22 , 00 , 33,注：注：。使函数无定义的其它点使函数无定义的其它点，以及，以及往考虑使分母为零的点往考虑使分母为零的点求函数的间断点时，往求函数的间断点时，往例例7 7 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型. .xxexf 111)(解解: : 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点为无穷间断点; ;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故故1x为跳跃间断点为跳跃间断点. . 例例8型型如如有有间间断断

8、点点，指指出出其其类类的的连连续续性性讨讨论论函函数数.lim)(2nnnnnxxxxxf 解解：时时，当当0 x11lim)(222 nnnxxxf 1101012xxxx上是初等函数，上是初等函数，在在而而)1(),10()01(),1()( xf因因而而连连续续。1)(lim, 1)(lim0101 xfxfxx而而1)(lim, 1)(lim0101 xfxfxx而而, 1)(lim0 xfx而而是是第第一一类类间间断断点点。所所以以，0, 1, 1 xxx五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质定义定义: :.)()()()()()()(,),(0000值值小小上上的的最

9、最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间ixfxfxfxfxfxfixixxfi 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y 定理定理( (最值定理最值定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: :1.1.若区间是开区间若区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立

10、; ; 2. 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, , 定理不一定成立定理不一定成立. .1 1、最值定理、最值定理xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 推论推论( (有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(mxfm 有有,maxmmk 取取.)(kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf定义定义: :.)(,0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx 2.2.介值定理与零点存在定理介值定理与零点存在定理定定理理（

11、介介值值定定理理）,)(,)(mbaxfbaxf上上的的最最大大值值为为在在上上连连续续，且且在在若若,m最小值为最小值为,mmcmm 之之间间的的任任何何值值与与则则对对介介于于使使得得，至至少少存存在在一一点点,ba cf )( 几何解释几何解释:.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧cyxfy mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两

12、个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 例例8 8.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点存在定理由零点存在定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx例例9 9.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxf 令令,)(上连续上连续在在则

13、则baxfaafaf )()(而而, 0 由零存在点定理由零存在点定理, ,使使),(ba , 0)()( ffbbfbf )()(, 0 .)( f即即例例1010证证),()()(axfxfxf 令令, 0)(上上连连续续在在则则axf)()0()0(afff 而而)2()()(afafaf ).()(, 0),2()0(,2 , 0)(affaaffaxf 使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数若若 00 f即即)()0(aff 则则a或或0 0)0()(ffaf , 0)()()( afff 使使), 0(a 由零点定理由零点定理,若若 00 f则则0)()0( af

14、f综合以上所述可得，综合以上所述可得， a, 0 存在存在使得使得)()(aff )(. 1xf0 x第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在在点在点间断的类型间断的类型内容小结内容小结则则设设, ,)(bacxf ,)(bacxf 2.设设则则上有界上有界;,)()1(baxf在在,)()2(baxf在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;,)()3(baxf在在上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值; ;（4）当）当时时,使使必存在必存在0)()( bfaf),(ba 0)( f)1)()( xaxbexfx有无穷间断点有无穷间断点0 x及可去间断点及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim练习：练习：1. 设函数设函数试确定常数试确定常数 a 及及 b .2.2.求求1( )arctan1f xxx的间断点的间断点,