隐函数的求导公式93911

1、第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组得情形二、方程组得情形三、小结三、小结 思考题思考题0),(. 1 yxf一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxf在点在点),(00yxp的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxf，0),(00 yxfy，则方程，则方程0),( yxf在点在点),(00yxp的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件

2、)(00 xfy ，并，并有有 ddxyfyxf . . 隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令1),(22 yxyxf则则,2xfx ,2yfy , 0)1 , 0( f, 02)1 , 0( yf依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy ddxyfyxf ,yx 0d0,dxyx 例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求ddyx. 解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxf

3、y ddxyfyxf .xyyx 隐函数存在定理隐函数存在定理2 2 设函数设函数),(zyxf在点在点,(0 xp),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0 xf0),00 zy，0),(000 zyxfz，则方程，则方程,(yxf0) z在点在点),(000zyxp的某一邻域内恒能唯一确的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ，它满足条件，它满足条件),(000yxfz ，并有并有 zxffxz ， zyffyz . .0),(. 2 zyxf解解令令 这个函数的定义域是这个函数的定义

4、域是yzzxzyxfln),( 0, yzzyxd即第即第，卦限之并，并且有卦限之并，并且有221,1,1zzxzzxfyfzfzyx )(,2zxyzffyzzxzffxzzyzx 所以，在所以，在 内使内使 的点即第的点即第，卦限卦限内的点及第内的点及第，卦限内不在平面卦限内不在平面 上的上的点的某个领域内，方程点的某个领域内，方程 ,即即能唯一确定具有连续偏导数的函数能唯一确定具有连续偏导数的函数 且有且有d0 zx0 zx0),( zyxfyzzxln ),(yxfz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数

5、对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数得得yx ，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(z

6、yxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 0),(0),(vuyxgvuyxf二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 3 3 设设),(vuyxf、),(vuyxg在在点点),(0000vuyxp的某一邻域内有对各个变量的连续的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且偏导数，且0),(0000 vuyxf, ,),(0000vuyxg0 ，且偏导数所组成的函数行列式，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（或称雅可比式）式） vgugvfufvugfj ),(),(在点在点),(0000vuyxp不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyx

7、f、 0),( vuyxg在点在点),(0000vuyxp的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxggffggffvxgfjxu vuvuxuxuggffggffxugfjxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyggffggffvygfjyu .),(),(1vuvuyuyuggffggffyugfjyv 例例5 5 设设0 yvxu，1 xvyu， 求

8、求 xu ，yu ，xv 和和yv .解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxj ,22yx 在在0 j的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv （分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxf0),()2( zyxf 0),(0)

9、,()3(vuyxgvuyxf三、小结三、小结已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求? yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxf , 则则zfx1 ，,1)(zzyfy ,)()(22zyzyzxfz ,)(zyyxzffxzzx ,)()(zyyxzyzffyzzy 于是于是zyzyxzx .一、一、 填空题填空题: : 1.1.设设xyyxarctanln22 , ,则则 ddyx _._. 2.2.设设zxyz , ,则则 xz_,_, yz_._. 二、二、 设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz 练

10、练 习习 题题三、三、 如 果 函 数如 果 函 数),(zyxf对 任 何对 任 何t恒 满 足 关 系 式恒 满 足 关 系 式),(),(zyxfttztytxfk , ,则称函数则称函数),(zyxf为为 k次齐次函数次齐次函数, ,试证试证: :k次齐次函数满足方程次齐次函数满足方程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . . 四、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数四、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: : 1.1.设设 203222222zyxyxz , ,求求dd,.ddyzxx 2.2.设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求，求.,xvxu （其中（其中

11、gf ,具有一阶连续偏导数）具有一阶连续偏导数） 五、五、 设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定, , 且且d0,0,.dghuyzx 求求( (hgf,均可微均可微) ) 六、六、 设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxf所确定所确定的的yx,的函数的函数, ,求求d.dyx 七、七、 设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxf =0=0 所确定所确定, , 证明证明: :xyzyzyxzx . . 一、一、1.1.yxyx ； 2. 2. 2ln,lnlnzzzxzy y xzy . . 四、四、1.1.d(61) d,d2 (31) d31yxzzxx