复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

1、 本章学习目标1、了解复变函数积分的概念;2、了解复变函数积分的性质;3、掌握积分与路经无关的相关知识;4、熟练掌握柯西古萨基本定理;5、会用复合闭路定理解决一些问题;6、会用柯西积分公式;7、会求解析函数的高阶导数.3.1 复变函数积分的概念 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 同高等数学一样，也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤定义复变函数的积分。1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定

2、存在的。2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 udyvdxivdyudxdzzfccc tctfz dzfz tzt dt从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 1、 （ 为复常数）2、3、4 、 （ 由 与 首尾相接而成 ） 21cccdzzfdzzfdzzf ccdzzfadzzafa cccdzzgdzzfd

3、zzgzfc ccdzzfdzzf1c2c 5、设 为 的长度,若 沿 可积,且在 上满足 ,则这个性质提供了一种估计复变函数积分的模的方法 mldzzfdzzfcc zfccc mzfl 解 直线的方程可写成 又因为 容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,dzzcci 4310 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzcccccczdzc21342i解: 的方程可写成所以因此c2020201110derideriderirezzdzinninncnini

4、nc,10cnzzdz0zrn,20 ,0irezzcnnnizzdz, 0, 0, 0,210解 dzzcc; 10 ,ttytx; 1211010tdtdtiittdzzc解 :dzzcc12ccczdzzdzzdziiidtitddtt12121110103.2 积分基本定理积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯西柯西古萨（古萨（cauchygoursatcauchygoursat）基本定理）基本定理 如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即 0dzzfc定理一 如果函数 在单连通域内

5、处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.定理二 如果函数 在单通连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且 zfzf zf dzzfcc ivuzfb zf复合闭路定理复合闭路定理 设有围线 ，其中 的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在 的内部；设 为由 的内部与 的外部相交部分组成的复连通区域，若 在 内解析且在 上连续，则 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理闭路变形原理. ncccc,210nccc,210cg0cnccc,21 zfgg 0210nccccdzzf解解 : zzdz21z

6、00220111112211iidzzdzzdzzdzzdzcccc2dzzz12cdzzz22czzdz3.3 积分基本公式与高阶导数公式定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 , 为 内部的任一点,那末 公式称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示. zfdddccc0z dzzzzfizfc0021解 由柯西积分公式得dzzziz4sin21dzzziz4sin2100sinzz解 由柯西积分公式得dzzzz43211dzzzz43211dzzdzzzz4431211.62

7、.21 .2iii 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具. (见3.3.2解析函数的高阶导数). 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为: 其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 . zf , 2 , 12!100ndzzzzfi

8、nzfncnncd0zd解:由公式得;1cos5dzzzcc1 rz.121cos!1521cos545izzidzzzc3.4 原函数与不定积分下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：结论： 的任何两个原函数相差一个常数。利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。 zf定理 如果函数 在单连通域 内处处解析， 为 的一个原函数，那么这里 为区域 內的两点。 zf zfzz ,0gg zf 00zfzfdzzfzz解： zdzii2sinzdzii2siniiiizzdzzii2sin212sin212122cos1解： 1010cos01coscoszdzzzzdzzdzz10sinzdzz10sin1cos1s