对坐标的曲面积分

1、第五节第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分概念与 性质二、对坐标曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系1、双侧曲面 假定曲面是光滑的， z=z(x,y)表示的曲面，有上侧、下侧之分， x=x(y,z)表示的曲面，有前侧、后侧之分， y=y(z,x)表示的曲面，有右侧、左侧之分， 一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧、内侧之分；一、对坐标的曲面积分的概念与性质2、有向曲面 可通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧；. ,:. ,),(:则认定曲面的外侧量的指向朝外对于闭曲面，如取法向又例如则取定曲面的上侧的指向朝上如果取法向量例如nyxzz3、有向曲面的投影区域.cos

2、,)(, 有相同的符号弦的余轴的夹角上各点处的法向量与假定此投影区域的面积记为面上得一投影区域影到投将取一小块曲面上在有向曲面为设zsxoyssxy0cos 00cos )(0cos )()( :)(xyxyxyxyssxoys为面上的投影在规定;)( 以一定的正负号附面上的投影区域的面积在实际就是xoyssxy.)()( zxyzsszoxyozs及面上的投影面及在类似地可以定义4、定义上在函数总存在，则称此极限为时最大值当各小块曲面的直径的任意取定的一点，如果上是，面上的投影为在，面积块小曲面的同时又表示第块小曲面分成任意有界，把上在函数光滑的有向曲面为设 ),()(,(lim ,0),(

3、)()(),(, 10zyxrsrssxoysissnzyxrxyiiiiniiiiixyiiii有向曲面记作：的、对坐标. yx曲面积分做叫，叫做其中 ),(zyxr dd),(yxzyxr即：xyiniiiisryxzyxr)( ),(limdd),(10被积函数积分曲面.：的、对坐标上在有向曲面可定义函数类似地 ),(, zyzyxpyziniiiispzyzyxp)( ),(limdd),(10曲面积分的曲面积分：、对坐标上在有向曲面也可定义函数xzzyxq),( 注意：以后总假定p、q、r在 上连续.zxiiiinisqxzzyxq)(,(limdd ),(10以上三个曲面积分称为第

4、二类曲面积分.5、合并形式 应用上出现较多的是合并形式：yxzyxrzdxzyxqzyzyxpdd),( d),(dd),(yxzyxrxzzyxqzyzyxpdd),(dd),(dd),(即：6、 性质:, ) 1 (21则若yxrxzqzypyxrxzqzypyxrxzqzypdddddddddddd dddddd 21.,) 1 (21几部分的情形分成可以推广到公式n: , )2(则面，的有向曲取相反侧与表示是有向曲面设.dd),(dd),(,dd),(dd),(,dd),(dd),(yxzyxryxzyxrxzzyxqxzzyxqzyzyxpzyzyxp注意： 对坐标的曲面积分必须注意

5、积分曲面所取的侧.二、 对坐标的曲面积分的计算法. ),()4(; ),()3(; )2(; ),( ) 1 (上在被积函数上具有在面上的投影区域为在给出曲面上侧在zyxrdyxzzdxoyyxzzxyxy结论是：xydyxyxzyxryxzyxrdd),(,dd),( 1、条件为一阶连续偏导数连续xyiiiinisryxzyxr)(,( limdd),(10左边推导:由定义得xyixyis)()( , 0cos上侧，取),( ),( iiiiiiz一点上为又xyiiiiiinixyiiiinizrsr)(),(, )(,( :11有xyiiiiinizr)(),(,lim010，则令符合二重

6、积分定义.成立右边上式 dd),(,dd),( dd),(, yxyxzyxryxzyxryxyxzyxrdxydxy;),( ) 1 (面上的投影区域在为，计算，其中可化为对坐标的xoydyxzzxy注意：曲面积分二重积分,dd),(,dd),( )()( 0cos , 2)(yxyxzyxryxzyxrsdxyxyixyi有，此时下侧的取若曲面积分yxyxzyxryxzyxrxyddd),(,dd),( ),),(下侧取负曲面上侧取正yxzz 从而有：2、另外二公式 :,),( ) 1 (则有给出由若zyxx ),),( 后侧取负曲面前侧取正zyxx zyzyzyxpzyzyxpyzddd

7、,),(dd),( :,),( )2(则有给出由若xzyy ),),( 左侧取负曲面右侧取正xzyy xzzxzyxqxzzyxqzxddd),(,dd),(例1 计算曲面积分czbyaxzyxyxzxzyzyx0 ,0 ,0 ),(,dddddd 222的整个表面的外侧长方体是其中解: 将有向曲面 分为六部分:, )0 ,0( :1的上侧byaxcz, )0 ,0( 0:2的下侧byaxz, )0 ,0( :3的前侧czbyax, )0 ,0( 0:4的后侧czbyx, )0 ,0( :5的右侧czaxby.)0 ,0( 0:6的左侧czaxy面上投影为零其余四片曲面在外、除yoz,43bc

8、azyzyazyxzyxzyxyzyzdd222222 dd0dd dddddd 34abcyxzacbxzy2222dd ,dd:类似地abccbaabcacbbcayxzxzyzyx)( dddddd :222222故所求曲面积分为例2 计算曲面积分.001,dd 222的部分，外侧在球面是其中yxzyxyxxyz).( )( 1: ,1: 212222112122注意曲面也有正负取上侧，取下侧而注意方程本身有正负与为分解：将yxzyxzxyxyddyxyxxyyxyxxydd)1( dd1 222212dddddd yxxyzyxxyzyxxyzyxyxxyxyddd1222),0, 0

9、( 1:,2221yxyxdxoydxyxy面上的投影区域在与为其中dd1cossin2 dd122222rrrryxyxxyxyxydd1521521d1d2sin102320r-rr152ddyxxyz三、 两类曲面积分之间的联系szyxryxzyxrdcos),(dd),(. ),(, ),(, ),( :连续上在一阶连续偏导数上具在区域为面上的投影在给出，由条件为推导zyxrdyxzdxoyyxzzxyxy 1、先看一个联系公式:yxzzszzzzzzzzyxyxyxyyxxdd1d ,11cos ,1cos ,1cos 22222222右边yxyxzyxryxzyxrxyddd),(

10、, dd),( ,) 1 (左边讨论上侧取若yxyxzyxrszyxrxyddd),(,dcos),( 故右边成立故有 dcos),( dd),( szyxryxzyxrxydyxyxzyxryxzyxrdd),(,dd),( )2(左边取下侧若xyxyddyxyxyxzyxrszyxrzzdd),(, dcos),( 11cos 22故右边成立 dcos),(dd),( szyxryxzyxrszyxqxzzyxqszyxpzyzyxpdcos),(dd),(dcos),(dd),(2、类似可推另二个联系公式3、两类曲面积分的联系公式，三式合并有srqpyxrxzqzypd)coscoscos( dddddd.),(coscoscos法向量的方向余弦处的点上为、其中zyx例3 计算曲面积分yxzzyxzdddd)(2.20)(2122之间的部分的下侧及介于平面旋转抛物面是其中zzyxz解：将原式分为二式yxzzyxzdddd)(2讨论第一式:sxzzyxzdcos)(dd)(22代入上式而 ddcos1dyxsyxxzddcoscos)(2第一式为：