实验九常微分方程与级数

1、实验九 常微分方程与级数实验目的:1.掌握用matlab命令dsolve求解微分方程.2.学习matlab泰勒级数展开命令taylor.3.加强对幂级数和函数概念的理解.4.如何用matlab判断数项级数的敛散性.实验内容一.用matlab命令dsolve求解微分方程 一般地,含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程在matlab中输入时应注意: 应输入dy, 应输入d2y, 应输入d3y等等.1.matlab求解微分方程的命令是dsolve,调用格式:dsolve(微分方程)给出微分方程的解析解,表示为t的函数,把y当作t的函数求解,这是系统默认的.2.dsolve(微

2、分方程,x)给出微分方程的解析解,表示为x的函数.y y y的通解求方程练习即为常数其中结果输入命令解的通解求微分方程例251) 1(121)2exp(*1:) , *2(:2:2xxydxdyecycxcansxyxdydsolvexydxdyxexp(1)+exp(2)*(-1/8*1/x4+x)*exp(2*3/8/x4-x)*exp(2*3/4/x3+x)*exp(2*3/4/x2-x)*exp(2*1/2/xy ) , )1exp() 1 ( , 0)*2exp(*4*(.04) , (. 312结果：解：输入命令下的特解在初始条件例：求微分方程，初始条件微分方程程的解，调用格式：求

3、给定初始条件微分方xyxydyxdsolveyeyeyxyxdsolvexx的的通通解解练练习习：求求解解微微分分方方程程结结果果：解解：输输入入命命令令的的通通解解。例例：求求时时，应应输输入入在在输输入入的的调调用用格格式式相相同同，只只是是程程调调用用格格式式和和一一阶阶微微分分方方求求解解二二阶阶微微分分方方程程时时，用用求求解解二二阶阶微微分分方方程程xdxdydxydxxdyyddsolveedxdydxydydymatlabx 22222x)*exp(4*c2+c1+x)*exp(2*1/4= ans) , 0)*2exp(*42(04.2. 4 求微分方程 的特解 解:输入命令

4、:dsolve(d2y=x+dy, y(0)=1, dy(0)=0, x)结果:ans =-1/2*x2+exp(x)-x0) 0 ( , 1) 0 (yyyxy二.泰勒展开式 。型余项的麦克劳林公式此式称为带佩亚诺时，当式。佩亚诺型余项的泰勒公型余项，上式又称为带称为佩亚诺称为泰勒系数，处的泰勒公式，在点此式称为函数阶导数，则有：存在直到在点若函数勒公式下面介绍四种类型的泰些函数，二阶的多项式去逼近某容。可以用二阶或高于理论分析的一个重要内算和项式逼近函数是近似计中最简单的一种，用多多项式函数是各类函数)(!)0(! 2)0( )0( )0()(0).2()(, 2 , 1!)()(!)(!

5、 2)( )( )()()().1 (. 1200000002000000peanoxoxnfxfxffxfxpeanoxxokkxfxxfxxoxxnxfxxxfxxxfxfxfnxxfnnnnknnn 余项的麦克劳林公式。余项的麦克劳林公式。此式称为带有拉格朗日此式称为带有拉格朗日）（时时当当称为拉格朗日型余项。称为拉格朗日型余项。）（中中型余项的泰勒公式，其型余项的泰勒公式，其此式称为带有拉格朗日此式称为带有拉格朗日）（，使得，使得至少存在一点至少存在一点的的导函数，则对任意给定导函数，则对任意给定阶阶内存在内存在阶的连续导函数，在阶的连续导函数，在上存在直到上存在直到在在若函数若函数1

6、0!1)(!)0(! 2)0( )0( )0()(0).4(!1)(!1)(!)(! 2)( )( )()(,.,1,)().3(1120101101002000000 nnnnnnnnnnxnxfxnfxfxffxfxxxnfxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfbabaxxnbanbaxf2.用matlab求已知函数的泰勒展开式 求已知函数的泰勒展开式用命令taylor,其几种调用格式为:(一)taylor(函数f(x) 求f(x)在x=0点的5次taylor多项式.(二) taylor(函数f(x),n) 求f(x)在x=0点的n-1次taylor多项式.(三) taylor(函数f

7、(x),a,n) 求f(x)在x=a点的n-1次taylor多项式.例:求函数y=sin(x)在x=0点处的5阶taylor展开式及在 处的6阶taylor展开式.解：输入命令：syms x;taylor(sin(x) 结果：ans = x-1/6*x3+1/120*x5taylor(sin(x),pi/3,7)结果：ans =1/2*3(1/2)+1/2*x-1/6*pi-1/4*3(1/2)*(x-1/3*pi)2-1/12*(x-1/3*pi)3+1/48*3(1/2)*(x-1/3*pi)4+1/240*(x-1/3*pi)5-1/1440*3(1/2)*(x-1/3*pi)6 3x三

8、.级数求和1.数项级数求和11n1)2)(1(1:2/1inf), 1 ,3/1 (n31inf), 1 ,(,.,lim,nnnnknnnnansnnsymsumnsymsnunusymsumsymsummatlabusssnsnkunsnun求练习结果：解：输入命令：例：求为数项级数的通项。其中，调用格式：中，级数求和用命令在称为数项级数的和，即则称数项级数收敛，如果其部分和对于数项级数2.幂级数求和函数 表示幂级数的通项。调用格式的和函数求幂级数调用格式：，的和函数也用命令中，求幂级数在即数，称为上述幂级数的和函将如果和形式的幂级数，其部分我们学习形如)(inf), 1 ,),(inf)

9、, 0 ,),()()(),(lim,10000 xunxusymsumxanxusymsumsymsumxamatlabxaxsxsxsxsxaxsxannnnnnnnnnkknnnnnnnnkn例：求幂级数 的和函数解：输入命令：syms x n;symsum(xn/(n*3n),n,1,inf)结果：ans = -log(1-1/3*x)练习：求幂级数 的和函数13nnnnx11nnnx. 0,)3(;,0)2(;1,0) 1 (lim,).(. 0,)3(;,0)2(;1,0) 1 (lim,).(. 3000100rrrxaaxarrrxaaaxaxannnnnnnnnnnnnnnn

10、nnnnn幂级数的收敛半径时幂级数的收敛半径时的收敛半径幂级数时若对于幂级数二幂级数的收敛半径时幂级数的收敛半径时的收敛半径幂级数时若对于幂级数一径两种方法求它的收敛半的收敛半径可以用以下求幂级数2, 22/1:inf),),1(2*2)1/()2*2limit(;:212,211,21:.2:1221121212即幂级数的收敛半径是所以结果输入命令解的收敛半径求幂级数例ransnnnnnnsymsnnaanananxnnnnnnnnnnn四.判断数项级数的敛散性 2nn11.1n4/3inf), 1 ,),2(*/(1 (;.,lim1ansnnnsymsumnsymssymsummatla

11、bsssssunnnnnn结果：解：输入命令：的敛散性例：判断数项级数不用求部分和命令求数项级数的和中可以直接用在级数发散。是发散数列，则称数项则称数项级数收敛，若，即收敛于的部分和数列若数项级数求部分和的极限主要用以下几种方法：判断数项级数的敛散性也发散。发散时，时，且）当（也收敛。收敛时，时，且）当（同时收敛和同时发散。和时，级数）当则（为两个正项级数，若和的极限形式正项级数的比较判别法1111111130201.lim. 2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnuvluvlvullvuvu也收敛。收敛，所以级数又因为级数结果：输入命令：做比较对象。别法，拿级数求和，我们采用比较判对其函数

12、，说明不能用含有可以看出，结果中仍然结果：输入命令：我们先对这个级数求和解的敛散性。例：判别级数11111sin11inf), 1 ,),1(*/(sin(;:1sin22nnnnnnnnmatlabsumansnnnpisymsumnsymsnnpiansinf)n,2),1)/(1/n(n*pi/(nlimit(sin(inf) . 1 = n1),+/n/(nsum(sin(pi断级数的敛散性。时，不能用这种方法判）当（发散；时，级数或）当（收敛；时，级数）当则（为正项级数，且若比式判别法的极限形式131211lim. 31111quqquqquuunnnnnnnnn的敛散性练习：判断级数发散。数由比式判别法这说明级由于结果：输入命令：解：的敛散性例：判断级数12145, 1451)45)(1(,)45()45(211nnnnnnnununnnnnnn5/4ansinf)n,n),(5/4)*1)/(n(n(5/4)*1)limit(n断级数的敛散性。时，不能用这