2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学试卷

1、2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只第3页(共18页)有一项是符合题目要求的.）(3 分)设集合 A= x|x2-x-12>0,B = x|- 2WxW 6,则(?RA) U B=()A. RB. -3, 6C. 2, 4D. ( 3, 62.（3分）已知tana= 2,贝U叵吧及玛2sin< -cos a3.（3分）下列函数中,B. - 1C. 2在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（D. - 2A . y= logaxB. y=x3+x4.（3分）已知函数(x) =

2、4x-2x-2,则它的零点是（5.A . (- 1, 0)B. (1, 0)C. - 1（3分）在 ABC中，点D是BC延长线上一点，若 BC=2CD,C.6. （3分）设函数f （x）=W+2工，,若f(f(a) w 3,则实数-J, x>07.D. 1则 AD=()D.的取值范围为（）B. V3, +°°)C. -V3, V3D.（3分）在矩形ABCD中，AD=3, EB=2CE, P是边DC上的动点，记PD=沅,当丽+得PE|取最小值时，入=（）D.8.（3分）设aCR, bq-兀，2兀,若对任意实数 x,都有cos （4x- -)=sin (ax+b),则满足

3、条件的有序实数对（a, b）的对数为（B. 2C. 3D. 4 一n9.(3 分)已知函数 f (x) = Sin (2x+-),若存在 x1 , x2, xm 满足 0WxiVX2VV xm1U1且 |f(xi) f (x2)|+|f(x2) f(x3)|+|f(xm -1) f (xm)|=11 (m>2,6m邻*）,则m的最小值为（）A. 5B. 6C. 7D. 810. (3分)函数v= '(节口+收皿1飞 (tCR, aC(0,工)的最大值是()A. V2B. VsC. 2D. V5二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷中的横线上.)11.

4、 (4分)若f (x)为哥函数，且满足整除=8,则f (16)=.f(2)12. (4分)已知半径为120厘米的圆上，有一条弧所对的圆心角为a (0< aV兀)，若COSa=-2，则这条弧长是厘米.213. (4分)若 ABC是边长为2的正三角形，则同在正方向上的投影为.14. (4分)已知角a的终边经过点 P (3t, 1),且cos( 兀+a)=,则tan a的值为.15. (4分)已知f(x)为定义在 R上的偶函数，当x>0时，有f(x+1) = - f(x),且当xq。，1)时，f (x) = log (x+1),给出下列命题: f (2017) +f (- 2018) =

5、 0函数f (x)是周期为2的函数函数f (x)值域为(-2, 2)直线y= 2x与函数f (x)图象有2个交点其中正确的是jl316. (4 分)已知函数 f (x) = sin (兀 x+-), g (x) = alog2x- -,若存在 x1, x2 2, 4,使f (x1)=g (x2)成立，则实数a的取值范围是17. (4 分)设函数 f (x) = 4-x2+ (k3-ak2+) x+7a (a, k CR),存在 kq2, 3,若 x1, x2 心也I满足x1 qk, k+晟,x2qk+2a, k+3a有f (x“ wf(x2),则正实数a的最大值为三、解答题(本大题共 4小题，

6、共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. (8 分)已知处=(9, 2), EC=( x, y), lD= ( 1, 2).(I)若菽# CD, AC1CD,求 x, y 的值;(n)若ACCD= - 3,求|BC|的最小值.19. (10分)定义在(0, +°°)上的函数f (x)满足f (2x) =x2-2x.(I)求函数y = f (x)的解析式;(n)若关于x的方程f (x)=现2在(1, 4)上有实根，求实数 a的取值范围.5-a20. (12 分)已知函数 f (x) = Acos (cox+(f) (A> 0, w>0, 0v(f)

7、v 兀)的图象与 y 轴的交 点为(0, - 1),它在y轴右侧的第一个最小值点坐标为(xo, - 2),与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为 x0+.4(I)求函数y = f (x)的解析式；(n)求函数y = f (x)在0,兀上的单调区间；(出)若将函数y=f (x)向左平移m (m>0)个单位得到奇函数，求实数 m的最小值.21. (12 分)已知函数 f (x) =|x21| -4a, g (x) =x2ax+4a.(I)若F (x) =f (x) +g (x)在区间0, 2上有两个零点 x1，x2求实数a的取值范围；若x1x2,求上一/。的最大值；叼工2(n)记h (x) =

8、|-7|,若h (x)在(0, 1上单调递增，求实数 a的取值范围.2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析第7页(共18页)、选择题（本大题共 10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.）(3 分)设集合 A= x|x2-x-12>0,B = x|一 2WxW 6,则(？RA) u B=(B . -3, 6C. 2, 4D. ( 3, 6【分析】先求出集合A的补集，再根据并集定义求出结果【解答】解：丁 A= x|x2 - x 12> 0,(?RA) = x|x2-x- 12<0 = -3

9、, 4,B=x|- 2<x< 6 = - 2, 6(?RA) U B=-3, 6【点评】本题考查了集合并集和补集的运算，属于基础题2.（3分）已知2'则居表篙B. - 1C. 2D. - 2【分析】弦化切，即可求解.【解答】 解：已知tana= 2,3.由 minQ +白06&2sin。-cos 口tan Cl +12+12tanO-i 2X2-1【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和弦化切的思想应用，属于基本知识的考查.（3分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（A . y= logaxB . y=x3+xD. y=-x【分析】 运用奇偶性的定义

10、和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数.【解答】解：对于A.则为对数函数，定义域为（0, +8）,则函数没有奇偶性，故满足条件;对于B.定义域为 R, f ( - x) = - x3 - x= - f (x),即有f (x)为奇函数，又f' ( x) = 3x2+1 > 0,则f (x)在R上递增，故B满足条件；对于C.则为指数函数，f ( - x)丰-f (x),则不为奇函数，故 C不满足条件；对于D.则为反比例函数，定义域为(-°°,0) U ( 0, +8), f ( - x) = - f (x),则f(x)为奇函

11、数，且在(-OO, 0)和(0, +OO)均为增函数，故 D不满足条件.故选：B.【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用奇偶性和单调性的定义结合 常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题和易错题.4. (3分)已知函数f (x) =4x-2x-2,则它的零点是()A. (T, 0)B. (1, 0)C, - 1D. 1【分析】根据题意，令f (x) =0解可得2x=2,结合指数的运算性质可得 x的值，由函 数零点的定义分析可得答案.【解答】解：根据题意，函数 f (x) =4x-2x-2,若 f (x) = 4x- 2x- 2= 0,解可得 2x=2 或 2x= - 1 (舍)若

12、2x= 2,则 x= 1 ,故选：D.【点评】本题考查函数的零点的定义，关键是掌握求函数零点的方法，属于基础题.5. (3分)在 ABC中，点D是BC延长线上一点，若 BC= 2CD ,则AD=()A .2 AC - W 研B. AB - AC C. AC - AB d . gAC33332222【分析】由已知中点D是BC延长线上一点，BC = 2CD,结合向量减法的三角形法则，可得答案.【解答】解：二点D是BC延长线上一点，若 BC=2CD,BC= 2(?D,即 AC- AB =2AD-2 AC,故 AD= AC- AB, 22故选：c .【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，难度中

13、档.f 9,、d+2x, x<0 46. (3分)设函数f(x) =*，若f(f(a) w 3,则实数a的取值范围为()-E x>0A. (-8,灰B.-近,+8) C.-我，Vs D. (-OO,一英)(v2+9yy<0',分类讨论求解f (f (a) W3,综合-J,犬)0可得答案.【解答】 解：当 aw2 时，f (a) = a2+2a>0, f (f (a) = - ( a2+2a) 2W3 恒成立， 当-2vav 0 时，f (a) = a2+2aQ 1, 0), f (f (a) = ( a2+2a) 2+2 (a2+2a) & 3 恒 成立

14、，当 a = 0 时，f (a) = - a2=0, f (f (a) = - a4=0W3 成立，当 a>0 时，f (a) = - a2<0,由 f (f (a) = ( a2) 2+2 ( a2) < 3 得：3< - a2<0,解得：0<a<加综上可得：a的取值范围为(-8, VS.故选：A.PD= xPC,当而【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，不等式的解法，难度中档.7. （3分）在矩形ABCD中，AD=3, EB=2CE, P是边DC上的动点，记4 *+三二|取最小值时,A .3入=()B-1C.D.【分析】把定化为 无+示,把质化

15、为正+说,在结合E为BC的三等分点，DA=CB=3CE,化简分析可得.解：: EB二2CE,-* 1 CE=yCB,DA=CB=3CE,|PA+jPE |= |PD+DAPD+DA+4(PC + CE)I=I而+而将正玲餐I=I XpC+SCEyPCyCE |=1（入吟）PC+（3+g）CE|，当或二/时，上式取得最小值.3【点评】此题考查了平面向量基本定理，向量之间的转化，难度适中.一 一一，2718. (3 分)设 aCR, bq-兀，2可，右对任息头数 x,都有 cos (4x-) = sin (ax+b),3则满足条件的有序实数对（a, b）的对数为（A. 1B. 2C. 3D. 4第

16、11页（共18页）【分析】 由 cos(4x- 2" ) = sin (ax+b)可得i-cos4x+-sin4x= cosbsinax+sinbcosax, 322可知a= 土 4,分别讨论当a=4和a= - 4时的情况即可求出 b的值，即可得出满足条件的有序实数对（a, b）的对数.【解答】 解：cos (4x- 2" ) = sin (ax+b), 31 ，而.，.-cos4x+-sin4x= cosbsinax+sinbcosax,2 2依题意有a= ± 4,若 a = 4,贝U，cos4x+sin4x= cosbsin4x+sinbcos4x22=sin

17、b -cosb，b的终边在第四象限，又 bQ-兀，2兀,Vs .，一cos4x+sin4x= 一 cosbsin4x+sin bcos4x2于是，1 . V3 k sb，b的终边在第二象限，又 b可-兀，2兀,故 b= _5兀或 b= J2L, 66综上满足条件的(a, b)共有4对.故选：D.【点评】 本题考查了三角恒等式的运用，考查了分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题.9. ( 3 分)已知函数 f (x) = sin (2x+-),若存在 X1 , X2,Xm 满足 0WxiVX2，VXm< Tt,且 |f(xi) f(X2)|+|f(X2) f(X3)|+|f(Xm-1)

18、- f (Xm) |= 11 (m>2, 6m邻*),则m的最小值为()A. 5B. 6C. 7D. 8【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意Xi, Xj (i, j=1, 2, 3,，m),都有|f (为)-f (Xj) gf (X) max-f (x) min=2,要使n取得最小值，尽可能多让Xi ( i = 1 , 2, 3,，m)取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值.JT【解答】 解： f (x) =sin (2x+)3对任意 xi, Xj (i, j= 1, 2, 3, m),都有 |f (k)-f (Xj) |Wf(x)maxf(x)min=2,要使m取得最小值，尽可能

19、多让Xi (i=1, 2, 3,，m)取得最高点，考虑 0Wx1VX2< ,V xm<-,m|f(X1) f(X2)| + |f(X2) f(X3)|+|f(Xm 1)- f (Xm) |=11,按图取值即可满足条件，即有 |1 - ( T) |+|- 1 1|+|1 (- 1) |+|- 1 - 1|+|1 - (- 1) |+|0- 1|= 11.则n的最小值为7.故选：C.【点评】 本题考查正弦函数的图象和性质，考查正弦函数的有界性的应用，考查分析问 题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于中档题.,| （cos+V2sinO I7110. （3 分）函数 y =/*

20、（tCR, a （0,-）的最大值是（）y t -2/2tcosCl + 22A.&B. V3C. 2D.巫【分析】函数y的几何意义为点（0,0）到直线（t-Jgcosa） x+小用sinay+ （cosa+如sina）t-V2=0的距离，求得直线恒过定点P （- cos a -寸%n a, sin a - &cosa）,由题意可得原点到定点 P的距离即为所求最大值，运用两点的距离公式和同角的平方关系，即可得到所求最大值.【解答】解：函数y = $5&迪巴9回（tCR,（0,工）7t2-2V2tcosa+22I (cosQ+/2sinCt) t-V2 IJCDS 口),

21、 CVsinCL 产的几何意义为点(0, 0)到直线(t-Micosa) x+Jsinay+ (cos a+jsina) t - V2 = 0的距离，由直线(tVcosa) x+如 ysina+ (cos a+V2sin a) t- V2= 0 即为 t (x+cos a+sin a) + (Vysina V2xcosa- V2)= 0, 由 x+cos a+Vsin a= 0 且 Vysin a- Vxcos a &= 0,可得x=cos a 一Isina,y=sin a-cosa,则直线恒过定点 P (-cos a- Vsin a, sin a-V_2cos a),由题意可得原点到

22、定点P的距离即为所求最大值，可得 |OP|= :，-：i.- I - J= 孔口晨。+si n% +2si口噎+盛 / 口 =近.【点评】 本题考查函数的最值的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及转化思想, 直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题.二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷中的横线上.)11. (4分)若f (x)为哥函数，且满足邙*=8,则f (16) =64 .f【分析】设f(x) =xa,由 =8,解得a=9,从而f (x) = T,由此能求出f (16).f(2)2k【解答】解：f (x)为募函数，设f (x) =xa,满足&#

23、163;f(2)=8,=8,解得 a=,2a23_二 f (x) = *2 , 工 -f (16) =6?=64.故答案为：64.【点评】本题考查函数值的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想，是基础题.12. (4分)已知半径为120厘米的圆上，有一条弧所对的圆心角为e (0v /V兀)，若cos a=-1，则这条弧长是80兀 厘米.2【分析】由已知可求圆心角，代入扇形的弧长公式：l= a?r求出弧长即可.【解答】 解：0V a< Tt, COS a=,22na=,3，由扇形的弧长公式得：弧长l= a?r=2" X 120= 80兀cm,3故

24、答案为：80兀.【点评】 本题考查弧长公式的应用，要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示，不能用度数，属于基础题.13. (4分)若 ABC是边长为2的正三角形，则屈在正方向上的投影为1 .【分析】可先画出图形，根据投影的计算公式进行计算即可.【解答】解：如图:屈，正的夹角为60。，则：正在京方向上的投影为：|标1口5600 =2Xy-l故答案为：1 .【点评】考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，以及计算公式.14. (4分)已知角a的终边经过点 P (3t, 1),且cos (什a)=,贝U tan a的值为 -5-3_【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，先求得t的值，可得

25、tana的值.【解答】 解：,一角 a的终边经过点 P (3t, 1),且COS (时a) = - COS a=,即COS a=5-W= / 3t , t= _ _1_5 +1414贝U tan a=,3t 3故答案为：-1.3【点评】本题主要考查诱导公式，任意角的三角函数的定义，属于基础题.15. (4分)已知f(x)为定义在 R上的偶函数，当x>0时，有f(x+1) = - f(x),且当xq。，1)时，f (x) = 1口久历(x+1),给出下列命题： f (2017) +f (- 2018) =0函数f (x)是周期为2的函数函数f (x)值域为(-2, 2)直线y= 2x与函数

26、f (x)图象有2个交点其中正确的是.【分析】根据函数的奇偶性，及当 x>0时，有f (x+1) =- f (x),且当 xq0, 1)时，f (x) = 1 口氏(x+1),画出函数的图象，逐一分析四个结论的真假性.【解答】解：f(x)为定义在R上的偶函数，第13页(共18页)且当 x>0 时，有 f (x+1) =- f (x),且当 xqo, 1)时，f (x) = iOg_ (x+1),由图象知函数f (x)在定义域上不是周期函数，错误;函数f (x)的值域为(-1, 1),正确；直线y = x与函数f (x)的图象有1个交点，错误；综上，正确的命题序号有：.故答案为：.【

27、点评】 本题考查了函数的图象和性质的应用问题，根据题意画出满足条件的函数图象是解题的关键.16. (4分)已知函数八f (x) = sin ( 7tx+-3、3 - .),g (x) = alog2x- -,右存在 x1, x2 2, 4,使f (x1) =g (x2)成立，则实数 a的取值范围是 工，一L2一【分析】根据条件确定函数 f (x)的值域和g (x)的值域，进而根据 f (x1)= g (x2)成立，推断出f (x)与g (x)的值域的交集不等于空集，即可得到结论.7T IT 7T【解答】 解：xq2, 4时，2 冗+ V 必+.<4 冗,，f (x1)q 1, 1.一 一

28、，只 只x2Q2, 4时，g(x2)a-, 2a-章.-<1依题意有两函数的值域有公共元素，则”。，解得3<a4.2 >-i42故答案为±-,与.4 2【点评】本题考查的知识点是方程的根，存在性问题，集合关系的判断，其中将已知转化为两个函数的值域 A, B的有公共元素，是解答的关键.属于中档题.17(4 分)设函数 f (x) = A-x2+ (k3 - ak2+X) x+7a (a, kCR),存在 kq2, 3,若 xi, X2 2k满足xiQk, k+3,x2k+2a, k+3a有f (xi) wf(x2),则正实数a的最大值为 H .2一【分析】 由题意可得

29、（xi - x2）（上止Ll+k3-ak2+L）< o k3- ak2+X > - k - a 即为2kkaw k%F+l , kq2, 3,求得右边函数的最大值，即可得到所求a的最大值.k（k2-l）【解答】解：函数 f (x) =,x2+ (k3- ak2+l_) x+7a (a, kCR),存在 kq2, 3,若 xi, x2 满足 xiQk, k+, x2 k+2a, k+3a有 f (xi) < f (x2),2可得上xi2+(k3ak2+J_)xi+7a<x22+ (k3ak2注)x2+7a, 2k 2k即有(xi - x2) (+k3 - ak2+)<

30、; 02. k '由 x 一 x2 v 0,可得J - 2 +k3 - ak2+_L > 0 2k由 xiQk, k+宁，x2k+2a, k+3a有上. qk+a, k+，k3 - ak2+-； > - k - a,k即为 aw k + +1 kq2, 3, k(k2-l)设 g (k) = k ” +1, kq2, 3, k(k2-l)即有 g (k) = k- -+-r+广,k 2(k-l) 2(k+l),1311g ( k) = i+z-(+7)k2 2 tt-1)2 (k+l)2由 k45k2+i = o,解得 k=J亘零Iq2,3,显然k q2,计向，g （k）递

31、减, 2第#页（共18页）在kC (炉孚I, 3), g (k)递增,7g（2）g (3)9124且 g (2) v g (3),贝U 0vaw 旦L,24可得a的最大值为gL,24故答案为：il.24【点评】 本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，运用导数判断单调性，求最值，考查化简整理的运算能力，属于难题.三、解答题(本大题共 4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)18. (8 分)已知 AB= (9, 2), BC= (x, y), CD= (- 1, 2).(I )若前升而，正1CD,求x, y的值；(n )若正而=-3,求|前|的最小值.【

32、分析】(I)根据向量的垂直和平行即可求出，(II)根据向量的数量积可得 x=2y-2,再根据向量的模和二次函数的性质即可求出.【解答】解(I)由题意得 AC= (9+x, 2+y),又若前#而，AC1CD,贝U2x+y=0, (9+x) +2 (2+y) =0;解得 x= - 1, y= 2(n )由 AC CD= - 3 得-x+2y= 2 即 x= 2y 2,| BQ= Vx + y2= d(2y-2 产 + /=4(y一,:蒋,则当y=时，|前|取得最小值 织E.55【点评】本题考查了向量的数量积，以及向量的平行垂直和向量的模，属于基础题.19. (10分)定义在(0, +°&

33、#176;)上的函数f (x)满足f (2x) =x2-2x.(I)求函数y = f (x)的解析式；(n)若关于x的方程f (x)=塞2在(1, 4)上有实根，求实数 a的取值范围.5-a【分析】(I)令t = 2x,则x= 10g2t,代入函数f (x),即可得到所求解析式；(n)运用配方，求得函数 f (x)的值域，再由分式不等式的解法，可得所求范围.【解答】解：(I)令t=2x,则x=10g2t,由 f (2x) =x2-2x得 f (t) = ( 10g2t) 2- 21og2t,即 f (x) = ( log2x) 2 2log2x, x>0；(II ) f (x) = (

34、log2x) 2 210g2x= ( log2x 1) 2 1 = %+2,5一曰由 xC (1, 4),可得 10g2xC (0, 2), (1og2x 1) 2 1 q 1, 0),即1 & 玩+2 v 0,5-a即为 T+2® n 0 且 a>5 或 av-2,5-a3解得-a< - 2. 23【点评】本题考查函数的解析式的求法，以及函数方程的转化思想，考查二次函数的最值求法和二次不等式的解法，属于中档题.20. (12 分)已知函数 f (x) = Acos (cox+(f) (A> 0, w>0, 0<(f)< K)的图象与 y

35、轴的交 点为(0, - 1),它在y轴右侧的第一个最小值点坐标为( 旗，-2),与x轴正半轴的第 一个交点的横坐标为 x0+.4(I)求函数y = f (x)的解析式；(n)求函数y = f (x)在0,兀上的单调区间；(出)若将函数y=f (x)向左平移m (m>0)个单位得到奇函数，求实数 m的最小值.【分析】(I)由题意知：A=2, x=0时，y=- 1,求解 人 顶点与第一个交点的横坐标 距离是四分之一个周期，即可求解co,可得函数y=f (x)的解析式；(n)根据余弦函数的性质即可求函数y=f (x)在0,兀上的单调区间；(出)根据函数y=Acos ( cox+的图象变换规律，得到奇函数，即可求解实数m的最小值.【解答】解：(I)由题意知：A=2,图象与y轴的交点为(0, -1),即 f (0) = 2cos(j)= - 1,0V()< 兀，第一个最小值点坐标为(xO, - 2),与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+?.即T =兀那么w= 2.可得函数y=f (x)的解析式为f (x) = 2cos (2x+22L)3(n)由(I )解析式：f (x) = 2cos (2x+ 2 兀)3令 2kTt- Tt< 2x+22Lw2kTt,