2013年全国高中数学联赛二试试题及答案

1、连接ADDE. Ill ZAE = EFFB.从而2013年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1 .评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档 次.一、（本题满分40分）如图，/出是圆0的条弦，-为弧内一点,E、下为线段,48上两点，满足月上二收二所.连接PE、尸F并延长，汕I。分别相 交于点C、D.求证：EF CDAC BD .BC sin/BCE二点3到H线C尸的即圈_ BE4CsinNJCE 一点工到直线C尸的距离下点2到“

2、绞尸。的距离 AF 、BD72ZBDF 一点8到百线尸。的距离一而'另,方面,由于乙BCE =4BCP = NBDP =乙BDF .ZACE = NACP = ADP = 4ADF，故将，两式相乘可得名* = 4,即 ACBDBCADAACBD.30分山托勒密定理.4DBC = ACBD + ABCD.故由，得AB-CD = 3AC BD.即EF CDAC BD.40 分二、(本题满分40分)给定正整数，v.数列q定义如卜.： q=+ 对 整数"，21,&式=，+记S.=可+%+ 4(7 = 1.2.证明：数列'中有无穷多项是完全平方数.证明对正整数，有5*-

3、1=。1+(生 +。3)+(4+%)+(-2+小)=+ i，+ (q + +q + 了) + (% + + q + v)+- + (nyi + + %_+")= 2"(/ + v) + 2S,. .10 分所以 Sg = 2-1 ( +1) + 25= 2i ( + v) + 2( 2T ( + v) + 2S)二21( + 了) + 2=- - = (w-l)-2"-1(/ + v) + 2"-1 Q + v)= (/ + v)w-2"-1.20 分设+、，= 2，q.其中六是非负整数，g是奇数.取=/产.其中/为满足 /三八l(mod2)的

4、任意正整数，此时Sg="L2"” 注意到q是奇数.故 k- + ql: =k-i + l' =k- + (k-): = k(k- 1)三0 (mod 2).所以，Spy是完全平方数.由于/有无穷多个.故数列S.中有无穷多项是完全 平方数.40分三、(本题满分50分)次考试共有m道试题,个学生参加,其中三让2 为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有I个学生没有答对则每个答 对该题的学生得X分，未答对的学生得零分,每个学生的总分为其7 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为PU2 .二区,求a十七的最大可能值.解 对任意的k = L2.,小，设第2题没有答对

5、者有、人，则第k题答对者有 -4人，由得分规则知.这-、个人在第后题均得到七分.设个学生的得分 之和为S,则有屏,1m£pj = s = £.“（_.“）= £”一££ ，】zi-ii因为每一个人在第六道题上至多得.”分,故*i° 分*1由于故有人小+.+；f =所以 一1 一1由柯西不等式得于是，"人2都-嬴片唇J ,二-丽看哈| 以< nt（n-l）.40 分另一方面，若有一个学生全部答对，其他"-1个学生全部答错,则Pl + P. = P1 = £（"一1）=-1） M综上所述，0十

6、。”的最大值为川5-1）.50分四、（本题满分50分）设,才为大于】的整数. <2*.证明：存在24个不被整除的整数,若将它们任意分成两组,则总有一组有若干个数的和被 整除.证明先考虑为2的耳的情形.设 = 2'/N1.则7 yh 取3个2't及2A-3个1显然这些数均不被整3除.将这2"个数任意分成两组，则总有 组中含2个2t,它们的和为2,，被整除.10分现在设不是2的篝，取2片个数为-1. 一1. 一2.-22, 一.-2"-2, 1. 2, 2?,.2"t, 因为不是2的幕,故上述2无个数均不被整除. 20分若可将这些数分成两组.使得

7、每组中任意若干个数的和均不能被整 除,不妨设1在第一组，由于(T)十1 = 0，被整除，故两个-1必须在第二组: 因(T) + (-l) + 2 = 0.被整除，故2在第一组，进而推出-2在第二组.现归纳假设12,2均在第一组，而.3均在第二组，这里. K/<A-2.由仪一 1) + (-1) +(-2) + (-2') + 2.=0 .被整除，故 2封在第一 组，从而-2.在第二组.故由数学归纳法可知,1, 2,22,2-在第一组, 一1, L 2, 2-.2 J在第二组.最后，由于(-l)+(-l)+(-2)+-+(-2M)+2*-l =0.被整除,故2*t在第一组.因此1,

8、 2,2:.2"均在第一组，由正整数的二进 制表示可知，每个不超过22-1的正整数均可表示为1. 2.22.3.21中若干个数 的和，特别地，因为 4?-1.故第组中有若干个数的和为，当然被整除， 矛盾！因此.将前述2犬个整数任意分成两组，则总有一组中有若干个数之和被 整除.50分数学竞赛之窗2013年全国高中数学联合竞赛加试A卷解答及评分标准2013年全国高中数学联合竞二.（本岫满分40分）给定正将数小口数列4定义如下：q= 十 > 对部牧册21,心士 3 "#，, "J"/ I, 2/，）,证明；数列S/中有无穷多项是完全平方数.三,（本JK满

9、分50分）一次考试共有刖道试题，个学生参加，其中利2? 为给定的塔数每道题的得分规则是:若该题恰有x个学生没有答对，则每个答 对该题的学生得.丫分，未答对的学生得零分.每个学生的总分为其用道题的得分 总和将所有学生总分从高到低排列为p叱生多.2A，求出+ p.的最大可能值四、（本题满分50分）iQ.A为大I的整数，,<2证明I仃衣乂个 不疑”能除的整数,柠,将它们仃宜分成两机,则总行印兄卜式1,山"心一2013年高中数学联赛已知OO的弦AB点E、F在AB上,AE=EF=FB.点P是AB上方OO上一点, PE、PF交。O于D. C.求证 AD BC«EFDC2013年全国高中数学联赛几何题题目：如图，工3为内的任意一条弦，E、尸为工£三等分点，尸为劣弧45上的点, 延长尸打、产F分别交0。于C、口,证明：AC BD = CD EF.证明：连接8C, AD, PA. PB.由于工3 = 3防，故即证34c Bz) = 8