微分方程基本概念

1、返回常微分方程方法与应用常微分方程方法与应用基本知识数学与统计学院数学与统计学院 张齐鹏张齐鹏电话：电话箱：信箱：返回微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念返回一、问题的提出一、问题的提出返回一、问题的提出一、问题的提出返回例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxm处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdx

2、y22,1 yx时时其中其中,2cxy 即即, 1 c求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出一、问题的提出返回微分方程微分方程: :凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义返回分类分类1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. .未知函数

3、是一元函数的微分方程称为未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程常微分方程.例如例如:;22xxydxdy(2x+y)dx + xdy = 0;222xydxdydxydx都是常微分方程都是常微分方程.本章只讨论本章只讨论常微分方程常微分方程. . , yxxz 微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. .偏微分方程偏微分方程返回, 0),( yyxf一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxf).,()1()( nnyyyxfy分类分类2:

4、2:ydxdy2 例例1 中的方程中的方程 是一阶微分方程；是一阶微分方程；例例2 中的方程中的方程 4 . 022 dtsd是二阶微分方程是二阶微分方程.返回微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . 三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解例如例如: 对于微分方程对于微分方程022 ydxyd考虑函数考虑函数 y = sinx因为因为 (sinx) + sinx = sinx + sinx = 0所以所以 y = sinx 是方程是方程 的解的解.022 ydxyd返回(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任

5、意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .解解条条件件确确定定特特解解的的条条件件称称为为定定.条条件件在在这这里里我我们们仅仅讨讨论论初初始始：的初始条件为的初始条件为一般地，一阶微分方程一般地，一阶微分方程00yyxx ：件为件为二阶微分方程的初始条二阶微分方程的初始条 0000yyyyxxxx返回：

6、为为阶微分方程的初始条件阶微分方程的初始条件n )1(0)1(00000nxxnxxxxyyyyyy求微分方程满足求微分方程满足初始条件初始条件的特解的问题称为的特解的问题称为初值问题初值问题.如例如例1 是一个是一个初值问题初值问题.120 xyydxdy，是方程的通解；是方程的通解；xecy2 .2件的特解件的特解是方程满足所给初始条是方程满足所给初始条xey 返回.2004 . 00022 ttdtdssdtsd，且且，例例2 也是一个也是一个初值问题初值问题.是方程的通解；是方程的通解；2122 . 0ctcts .202 . 02件的特解件的特解是方程满足所给初始条是方程满足所给初始

7、条tty 微分方程解的图形称为微分方程的微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线积分曲线. . 通解的图形是通解的图形是积分曲线族积分曲线族, ,特解的图形是特解的图形是积分曲线族积分曲线族中的一条中的一条积分曲线积分曲线. .返回例: 已知一条曲线通过(1, 2). 且在该曲线上任意点m(x,y)处的切线斜率为2x, 求这条曲线.x0 xy(1, 2)解: 设所求的曲线为 y =y (x), 则y=x2 + c,y = 2x其中c是任意常数.又曲线过定点(1, 2). 即,2=1+c , 得 c = 1故所求曲线方程为y=x2 +1注: 微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.返回补充补充:

8、:微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)返回微分方程在实际工作中有着广泛的应用微分方程在实际工作中有着广泛的应用. .我们研究微分方程的主要问题是：我们研究微分方程的主要问题是：1.1.根据实际问题的要求和条件，建立反映变量根据实际问题的要求和条件，建立反映变量间内在联系的微分方程，并列出初始条件；间内在联系的微分方程，并列出初始条件；2.2.求出微分方程通解及满足初始条件的特解；求出微分方程通解及满足初始条件的特解；3.3.研究解的性质或物理意义研究解的性质或物

9、理意义. .在这里我们主要讨论上述第二个问题在这里我们主要讨论上述第二个问题. .从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一从微分方程作为解决实际问题的重要工具这一要求来说，要求来说，返回微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ; 初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题； 积分曲线积分曲线四、小结四、小结本节基本概念：本节基本概念：返回思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?返回思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.返回三三、设设曲曲线线上上点点),(yxp处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为q, ,且且线线段段pq被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶