空间几何体的表面积与体积(教师版)

1、§8.2空间几何体的表面积与体积1 了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的计算公式2 会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体积以及相关元素的关系与计算， 这些内容常与三视图相结合， 以选择题、填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以及体积1 柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S 直棱柱侧 _，S 正棱锥侧 _，S 正棱台侧 _( 其中 C， C为底面周长， h 为高， h为斜高 )(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S 圆柱侧 _，S 圆锥侧 _，S 圆台侧 _(其中 r ，r 为底面半

2、径， l 为母线长 ) (3)柱或台的表面积等于_与 _的和，锥体的表面积等于 _与_的和2 柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V 棱柱 _，V 棱锥 _，V 棱台 _(其中 S， S为底面积， h 为高 )(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V 圆柱 _，V 圆锥 _，V 圆台 _(其中 r ，r 为底面半径， h 为高 )3 球的表面积与体积(1)半径为 R 的球的表面积S 球 _(2)半径为 R 的球的体积V 球 _.【自查自纠】1 (1)Ch11CC2Ch 2()h(2)2 rlrl (r r )l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2 (1)Sh33 ()1Sh1h SSS

3、 S212122(2) rh3r h3h(rrr r )3 (1)4 R2(2)4R33学习必备欢迎下载圆柱的侧面展开图是边长为6和 4的矩形，则圆柱的表面积为 ()A 6 (43)B 8 (31)C 6 (43)或 8 (31)D 6 (41)或 8 (3 2)解：分两种情况： 以边长为 6的边为高时， 4为圆柱底面周长，则2r 4，r 2， S 底 r2 4， S 侧 6×4221)； 以边长为 424， S 表 2S底 S 侧 8 24 8(3的边为高时， 6为圆柱底面周长，则 2r6，r 3.S 底 r22 9， S 表 2S 底 S 侧 18 24 6(4 3) 故选 C.

4、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()224A.3 2B. 2C. 3D.3 2解： 正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直1 1角三角形， 且直角顶点为棱锥的顶点， 侧棱长为2，V ×3 2×(2)2× 22.故选 C.3已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为()A 12B21C23D32解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为 2R.V 球 43R3 ，V 圆柱 R2·2R 2R3， V 圆柱 V 球 3 2.故选 D.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且 A

5、B 2， AD 3，AA1 1，则球面面积为 _解：长方体 ABCD-A1B1C1D 1 的 8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2AD2AA222，半径 R2.1若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为 _2，解：设圆锥底面半径为r ，母线长为 l，则r有 rl 2，r 1，h221从而可知圆锥的高lr 4 13. V3l2，33×× 3 3 故.填 3 .类型一空间几何体的面积问题如图，在 ABC 中， ABC45°， BAC90°， AD 是 BC 边上的高，沿 AD 把 ABD 折起，使

6、BDC 90°.(1)证明：平面ADB平面 BDC ；(2)若 BD 1，求三棱锥 D-ABC 的表面积解： (1)证明： 折起前 AD 是 BC 边上的高，沿 AD 把 ABD 折起后， AD DC，AD BD.又 DB DC D， AD 平面 BDC.又 AD? 平面 ADB， 平面 ADB 平面 BDC.(2)由(1)知， DA BD， BD DC， DC DA，DB DA DC1， AB BC CA 2.11从而 SDAB S DBCSDCA2×1×1 2，S ABC1× 2× 2×sin60 °3.22三棱锥 D

7、-ABC 的表面积133 3S ×322.2【评析】 充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算(2013·福建 )已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2 的正方形，则该球的表面积是 _解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2 的正方体， 正方体的体对角线为球的直径 2r 222222 2 3， S 球 4r 212故.填 12.VABCDEF类型二空间旋转体的面积问题如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，当

8、圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为，圆柱侧面积S 2×4sin×2×4cos 32sin2，当 4时，S 取最大值 32，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32故.填 32.【评析】 根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据(2012·辽宁 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 _学习必备欢迎下载类型三空间多面体

9、的体积问题一个正三棱锥 (底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心 )的底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三棱锥的体积解：如图所示为正三棱锥 S-ABC，设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的长即为该正三棱锥的高连接 AH 并延长交 BC 于 E，则 E 为 BC 的中点，且 AHBC. ABC 是边长为 6 的正三角形， AE 23×6 3 3， AH 23AE2 3.1 1在 ABC 中， SABC2BC×AE2×6×3 39 3，在 RtSHA 中， SA 15，AH 2 3， SH SA2 AH2 15 12

10、 3.11×9 3× 3 9. V 正三棱锥 ×S ABC×SH33【评析】 (1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后1应用公式V 3Sh 进行计算 (2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法： 割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积； 等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用 “等积性 ”还可求 “点到面的距离 ”如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE，BCF 均为正三

11、角形， EF AB，EF 2，则该多面体的体积为()依题意知 AEFB 为等腰梯形1易知 Rt DMERt CNF， EM NF 2.又 BF 1， BN 23.作 NH 垂直于 BC，则 H 为 BC 的中点， NH2. 212 S BNC2·BC·NH 4 . VF-BNC1·SBNC ·NF 2，32422VE-AMD VF-BNC 24， VAMD-BNC SBNC·MN 4 . V2，故选 A.ABCDEF3类型四空间旋转体的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()解：由三视图知该几何体为长 4 宽 3 高 1 的长方体的中

12、间挖去一个半径为 1 高为 1 的圆柱所成几何体，所以表面积为 2×(4 ×3 4×1 3×1) 2××12 2×1×138.故填 38.2343A.3B.3C.3D.2解：如图，过 A，B 两点分别作 AM ，BN 垂直于 EF ，垂足分别为 M， N，连接 DM ，CN，可证得 DM EF，CN EF，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积VAMD-BNC VE-AMD VF- BNC.2A8 3B832C8 2D 3解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是 V 23 1

13、15;×12×282故.选 A.33【评析】 根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算(2012·河南模拟 )已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧 (左 )视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 ()2 14 1A.3 2B.362 121C.6D.263解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是1431半球，根据三视图中的数据可得21×1×1V×× ×2 12 323(2)×16

14、.故选 C.61 几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法(2)多面体的展开图直棱柱的侧面展开图是矩形；学习必备欢迎下载正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形(3)旋转体的展开图圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长 (或宽 ) 是底面圆周长，宽 (或长 ) 是圆柱的母线长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、

15、下弧长分别为圆台的上、下底面周长注： 圆锥中母线长 l 与底面半径 r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解 圆锥和圆台的侧面积公式S圆锥侧1cl 和 S 圆台侧 1(c22c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆2 空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法(1)棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和， 对于直棱柱、 正棱锥、正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计

16、算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理3 空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握(3)利用三棱锥的 “等体积性 ”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题4 由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：(1)由三视

17、图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体， 直接代入公式求解， 如果不是规则几何体，通过 “割补 ”后，转化为规则几何体求解1已知圆锥的正视图是边长为2 的等边三角形，则该圆锥体积为 ()23A. 2B. 2C. 3D . 3解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为223，因此其体积是1232 1 ·13.故选 C.3× 32一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是()A2 3 B3 2 C6D . 6解：设长方体的长、 宽、高分别为a，b，c，则有 ab2，ac

18、3，bc 6，解得 a1，b 2，c 3，则长方体的体对角线的长 l a2 b2 c2 6.故选 D.3一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A 22 3B4 2 32323C2 3D 4 3解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为 1，高为2，体积为2，正四棱锥的底面边长为2，1223高为3，所以体积为 3×(2)×3 3. 所以该几何体的体积为232 3 .故选 C .4将长、宽分别为4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC折成直二面角，得到四面体A -BCD ，则四面体 A-BCD 的外接球的表面积为 ()A 25B 50C 5D

19、 10解：由题设知 AC 为外接球的直径，2R32425，S2表 4R2 4×(52) 25故.选 A.5设 M，N 是球 O 半径 OP 上的两点， 且 NP MN OM，分别过 N， M， O 作垂直于 OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为()A 3 56B36 8C57 9D 589解：设球的半径为 R，以 N， M 为圆心的圆的半径分别为 r 1， r2 .由题知 M， N 是 OP 的三等分点，三个圆的面积之比即2222(2R2r 1R 3 )为半径的平方比，在球的轴截面图中求得5R， r22 R2R2 8R ，故三个圆的半径的平方比为92 (3)95R28

20、R299 R 589 ，故选 D.6 (2012·全国新课标 ) 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为 ()2322A. 6B. 6C. 3D. 23解法一： ABC 的外接圆的半径r 3，点 O 到面 ABC226的距离 dR r3 ，SC为球 O 的直径 ? 点 S到面 ABC的距离为2d 2611 33.故此棱锥的体积为V3S ABC×2d3×4262× 36 .学习必备欢迎下载解：由三视图知，该几何体为底面是直角梯形，有一侧棱垂直底面的四

21、棱锥，此几何体的体积为11×(2 4) ×2× ×2 4.故填 4.328(2013·江苏) 如图，在三棱柱111A BC -ABC 中，D，E，F分别是 AB ，AC， AA1 的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为 V 1，三棱柱 A1B1C1- ABC 的体积为 V2 ，则 V1V 2 _解：设该三棱柱的高为h，则 V11h11h3S ADE × SABC×2342124V2，故 V1V21 24.故填 124.9 如图所示，球面上有四个点 P， A， B，C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA PBPC a

22、，求这个球的表面积3222S 球 4R 4×2 a 3a .10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 正视图 (或称主视图 )是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形， 侧视图 (或称左视图 )是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD.1(1)V3×(8 ×6) ×4 64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD，PBC 是全等的等腰三角形，4282且 BC 边上的高为 h1 4 2，2( )另两个侧面 PAB，PCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为 h22624 2 5，11( )因此 S 2(2×6×4 22×8×5) 40 24 2.11一个圆锥的底面半径为 R2，高为 H 6，在这